Конспект лекций по ТАУ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения»
_________________________________________________________________
М. В. Бураков
Теория автоматического управления.
Часть 1
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2013
УДК 681.5
ББК
Рецензенты:
Кандидат технических наук Д. О. Якимовский
(Федеральное государственное предприятие «НИИ командных приборов»).
Кандидат технических наук доцент А. А. Мартынов
(Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения)
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Бураков М.В.
Д79
Теория автоматического управления: учеб. пособие. Часть 1/
М. В. Бураков;– СПб.: ГУАП, 2013. -258 с.: ил.
ISBN
В учебном пособии рассматриваются основы теории автоматического
управления – базового курса при подготовке инженеров в области автоматизации и управления.
Приводятся основные понятия и принципы управления, рассматриваются
математические модели и методы анализа и синтеза линейных и дискретных
систем управления на базе аппарата передаточных функций.
Учебное пособие предназначено для подготовки бакалавров и магистров
по направлению 220400 «Управление в технических системах», а также студентов других специальностей, изучающих дисциплины «Теория автоматического управления» и «Основы теории управления».
УДК 681.5
ББК
ISBN
2
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2013
© М. В. Бураков, 2013
©
СОДЕРЖАНИЕ
1.
2.
3.
БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1. Краткая история развития ТАУ
1.2. Основные понятия ТАУ
1.3. Способы описания объектов управления
1.4. Линеаризация
1.4. Критерии качества управления
1.5. Регуляторы по отклонению
Вопросы для самопроверки
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
2.1. Преобразование Лапласа
2.2. Понятие передаточной функции
2.3. Типовые динамические звенья
2.4. Временные характеристики
2.5. Передаточная функция системы с обратной
связью
2.6. Частные передаточные функции
2.7. Точность в установившихся режимах
2.8. Преобразование структурных схем
2.9. Сигнальные графы и формула Мейсона
2.10. Инвариантные системы
Вопросы для самопроверки
КОРНЕВЫЕ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ И КАЧЕСТВА
3.1. Необходимое и достаточное условие устойчивости
3.2. Алгебраический критерий устойчивости
3.3. Структурно неустойчивые системы
3.4. Корневые показатели качества переходного
процесса
3.5. Выбор параметров регулятора
3.6. Корневой годограф
6
6
17
26
32
37
39
44
47
47
55
64
69
74
78
81
90
94
102
107
83
83
86
89
92
95
100
3
4.
5.
4
Вопросы для самопроверки
ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА
4.1. Преобразование Фурье
4.2. Логарифмические частотные характеристики
4.3. Частотные характеристики разомкнутой системы
4.4. Частотные критерии устойчивости
4.4.1. Критерий устойчивости Михайлова
4.4.2. Критерий устойчивости Найквиста
4.4.3. Критерий Найквиста для систем с запаздыванием
4.5. Частотные критерии качества
4.5.1. Запасы устойчивости
4.5.2. Точность при гармоническом воздействии
4.6. Синтез корректирующих устройств
4.6.1. Оценка качества следящей системы по виду
ЛАЧХ разомкнутой системы
4.6.2. Коррекция с помощью дифференцирующего
устройства
4.6.3. Коррекция с помощью интегродифференцирующей цепи
4.6.4. Синтез корректирующего звена общего вида
4.7. Аналоговые корректирующие звенья
4.7.1. Пассивные корректирующие звенья
4.7.2. Активные корректирующие звенья
Вопросы для самопроверки
ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
5.1. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование
5.2. Реализация ЦАП и АЦП
5.3. Z - преобразование
5.4. Теорема о сдвиге
5.5. Синтез цифровых систем из непрерывных
5.6. Устойчивость дискретных систем управления
104
106
106
109
116
119
119
122
125
127
127
129
132
132
133
134
136
141
141
144
150
152
152
155
157
160
162
168
6.
5.7. Идентификация динамического объекта
5.7.1. Задача идентификации
5.7.2. Детерминированный идентификатор
5.7.3. Построение МНК-модели по кривой разгона
Вопросы для самопроверки
АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
6.1. Классификация адаптивных систем
6.2. Экстремальные системы управления
6.3. Адаптивное управление с эталонной моделью
Вопросы для самопроверки
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Библиографический список
168
168
170
171
173
175
175
176
181
187
188
189
5
− БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
o
Краткая история развития теории автоматического управления
Можно определить теорию автоматического управления как
науку о методах определения законов управления какими-либо
объектами, допускающих реализацию с помощью технических
средств.
Первые автоматические устройства были разработаны человеком еще в глубокой древности, об этом позволяют судить дошедшие до нас письменные свидетельства. В работах древнегреческих и древнеримских ученых даны описания различных
автоматических устройств: годометр – автоматическое устройство для измерения расстояния на основе пересчета количества
оборотов колеса повозки; автоматы для открывания дверей и
продажи воды в храмах; автоматические театры с кулачковыми
механизмами; устройство для метания стрел с автоматической
их подачей. На рубеже нашей эры арабы снабдили поплавковым
регулятором уровня водяные часы (рис. 1.1).
В Средние века получила развитие «андроидная» автоматика,
когда конструкторы-механики создавали устройства, подражающие отдельным действиям человека. Название «андроид»
подчеркивает человекоподобность автомата. Функционировали
андроиды на основе часовых механизмов.
Можно выделить несколько факторов, вызвавших необходимость разработки систем управления в XVII – XVIII:
1. развитие часового дела, вызванного потребностями бурно развивающегося мореплавания;
2. развитие мукомольной промышленности и необходимость регулирования работы водяных мельниц;
3. изобретение паровой машины.
6
Рис. 1.1. Конструкция водяных часов
Хотя известно, что еще в средние века применялись центробежные уравнители скорости в водяных мукомольных мельницах, первой системой управления с обратной связью считается регулятор температуры голландца Корнелиуса Дреббеля
(1600 г.). В 1675 г. X. Гюйгенс встроил в часы маятниковый регулятор хода. Дени Папен в 1681 г. изобрел первый регулятор
давления для паровых котлов.
Паровая машина стала первым объектом для промышленных регуляторов, так как она не обладала способностью устойчиво работать сама по себе, т.е. не обладала «самовыравниваем» (рис. 1.2).
7
Рис.1.2. Паровая машина с регулятором
Первыми промышленными регуляторами являются автоматический поплавковый регулятор питания котла паровой машины, построенный в 1765 г. И. И. Ползуновым, и центробежный регулятор скорости паровой машины, на который в 1784 г.
получил патент Дж. Уатт (рис. 1.3).
Эти первые регуляторы являлись системами прямого регулирования, т. е. для приведения в действие регулирующих органов
не требовались дополнительные источники энергии – чувствительный элемент непосредственно перемещал регулирующий
орган (современные системы управления являются системами
непрямого регулирования, так как практически всегда сигнал
ошибки недостаточен по мощности для управления регулирующим органом).
8
Рис. 1.3. Центробежный регулятор Уатта.
Паровая машина не случайно стала первым объектом для
применения техники и теории регулирования, так как она не обладала способностью устойчиво работать сама по себе, не имела
самовыравнивания.
Следует отметить также важность создания первого программного устройства управления ткацким станком от перфокарты (для воспроизведения узоров на коврах), построенного в
1808 г. Ж. Жаккаром.
Изобретение Ползунова было не случайным, поскольку в
конце 18-го века металлургическая промышленность России занимала лидирующие позиции в мире. В дальнейшем российские
ученые и инженеры продолжали вносить большой вклад в развитие теории автоматического управления.
Первая работа по теории регулирования появилась в 1823 г.,
и написана она профессором Петербургского университета Чижовым.
9
В 1854 г. К. И.Константинов предложил использовать разработанный им «электромагнитный регулятор скорости вращения» вместо конического маятника в паровых машинах. В нем
вместо центробежного механизма используется электромагнит,
регулирующий впуск пара в машину. Предложенный Константиновым регулятор обладал большей чувствительностью, чем
конический маятник.
В 1866 г. А. И. Шпаковский разработал регулятор для парового котла, который отапливался с помощью форсунок. Подача
топлива через форсунки была пропорциональна изменению
давления пара в котле. Если давление падало, расход топлива
через форсунки увеличивался, что приводило к увеличению
температуры и , как следствие, к увеличению давления.
В 1856 г. в Москве во время коронации Александра III было
установлено шесть мощных электродуговых ламп с автоматическим регулятором Шпаковского. Это был первый практически
осуществленный опыт изготовления установки и длительной
эксплуатации серии электромеханических регуляторов.
С 1869–1883 гг. В. Н. Чиколев разработал ряд электромеханических регуляторов, в том числе дифференциальный регулятор для дуговых ламп, который сыграл важную роль в истории
техники регулирования.
Датой рождения теории автоматического управления (ТАУ)
называют обычно 1868 г., когда вышла в свет работа Дж. Максвелла «О регуляторах», в которой дифференциальное уравнение было использовано как модель регулятора.
Большой вклад в развитие ТАУ внес русский математик и
инженер И. А. Вышнеградский. В работе «Об общей теории регуляторов», опубликованной в 1876 г. он рассмотрел паровую
машину и центробежный регулятор как единую динамическую
систему. Вышнеградский сделал наиболее практически важные
выводы по устойчивому движению систем. Он впервые ввел понятие линеаризации дифференциальных уравнений, таким образом, значительно упростив математический аппарат исследова10
ния систем регулирования и заложив математические основы
линейной ТАУ.
Значительную роль в развитии теории автоматического регулирования сыграли работы выдающегося математика и механика П. Л.Чебышева. В 1871 г. вышла в свет его работа «О центробежном регуляторе», где была решена задача астатического регулятора.
С 1870 г. начинают разрабатываться автоматические системы
и регуляторы, работающие с использованием электрической
энергии. В 1880 г. А. П.Давыдов создает первую электрическую
следящую систему пушечной установки со счетно-решающим
устройством.
В 1898 г. К. Э. Циолковский предложил «автоматический регулятор горизонтального руля с электрическим приводом», который предназначался для стабилизации полета дирижабля. Эта
работа легла в основу дальнейших исследований по созданию
автопилотов для различного вида летательных аппаратов. В
1899 г. Н. В. Попов разработал электрический регулятор для паровой машины.
«Отец русской авиации» Е. Н. Жуковский много времени
уделял проблеме устойчивости движения. В 1909 г. издается его
курс лекций, который стал настольной книгой разработчиков
регуляторов. В 1912 г. Жуковский создает теорию управления
летательных аппаратов.
Во всем мире известны работы А. М. Ляпунова. В 1892 г.
вышла в свет его работа «Общая задача об устойчивости движения». В ней впервые дано строгое определение устойчивости и
предложены два метода решения задачи об устойчивости: исследование устойчивости «в малом» и «в большом». Ляпунов
обосновал и установил точные границы применимости анализа
нелинейных систем по линейным уравнениям. Теоремы, доказанные Ляпуновым, являются математическим обоснованием
всей теории устойчивости в «малом», т.е. линейных систем.
11
Второй метод Ляпунова позволяет исследовать устойчивость
и при конечных отклонениях (в «большом»). Работы Ляпунова
по проблемам устойчивости движения определили целую эпоху
в развитии механики и теории автоматического регулирования.
В целом, в начале ХХ века продолжилось формирование ТАУ
как общетехнической дисциплины. В СССР развивались научные школы и решались важные практические задачи разработки
систем автоматического управления.
Советский ученый И. Н. Вознесенский проводит исследования в области систем автоматического регулирования паровых и
гидравлических турбин. По разработкам Вознесенского были
созданы первые отечественные высококачественные регуляторы
мощных турбин. Это позволило в последующие годы отечественному турбостроению занять ведущее место в мире. Вознесенский впервые четко высказал мысль о теории регулирования
как дисциплине общетехнического характера.
С 1932 г. появляются работы В. С. Кулебакина, развивающего
теорию автоматического регулирования применительно к электрическим машинам и регуляторам.
Следует отметить, что перед второй мировой войной развитие теории и практики управления в Европе и США шло несколько иным путем, чем в СССР. На Западе основной упор делался на применение обратной связи в телефонии и электронных
усилителях. Главные достижения здесь принадлежат Г. Боде, X.
Найквисту и Блейку, которые предложили использовать частотные характеристики для описания работы усилителей с обратной связью. В 1932 г. появляется работа Найквиста, в которой
предлагается критерий устойчивости радиотехнических усилителей с обратной связью.
В СССР, напротив, делался упор на анализ систем во временной области с использованием дифференциальных уравнений.
Важную роль в развитии теории автоматического регулирования сыграли работы А. В. Михайлова. Они послужили основой для создания и развития частотных методов в теории регу12
лирования. Михайлов впервые обратил внимание на общность
теории ламповых усилителей с обратной связью, разработанную
Найквистом, с теорией линейных систем автоматического регулирования и предложил использовать частотный критерий устойчивости для анализа устойчивости автоматических систем. В
своих работах Михайлов предложил новый критерий устойчивости линейных систем, основанный на графическом представлении функции комплексного переменного, представляющего
собой левую часть характеристического уравнения и показал его
связь с критерием А. Гурвица. Ему также принадлежит идея
введения типовых элементарных звеньев и структурных методов
анализа.
В 1939 г. В. В. Солодовников сформулировал условия качества регулирования и применил преобразование Лапласа для получения общих уравнений системы регулирования в операторной форме и разработал основы частотного анализа качества.
Им же частотный метод анализа устойчивости и качества был
обобщен на системы с распределенными параметрами.
В 1932г. Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов создали метод гармонического баланса. В основу этого метода были положены
асимптотические разложения, представляющие собой дальнейшее развитие методов теории возмущений. Впервые этот метод
был применен для решения нелинейных задач теории регулирования Л. С. Гольдфарбом в 1940 г.
Вторая мировая война дала толчок развитию систем автоматического регулирования во всем мире, поскольку возникла потребность создания автопилотов, систем орудийной наводки,
станций радарного слежения и других систем, требующих использования принципа обратной связи.
В СССР после войны начинается период массового применения регуляторов в промышленности. ТАУ становится дисциплиной, необходимой для широкого круга инженеров и конструкторов. В это время частотный метод анализа и синтеза, дающий
единую и взаимосвязанную методику решения основных задач
13
линейной теории регулирования, становится основным методом
расчета и проектирования систем автоматического регулирования, допускающих линеаризацию.
Наряду с частотными методами развивались методы анализа
качества процессов регулирования, основанные на исследовании
расположения полюсов и нулей передаточной функции и методы интегральных оценок. В частности, Я. З. Цыпкиным и П. В.
Бромбергом было введено понятие степени устойчивости, а С.
П. Стрелковым исследовано влияние расположения полюсов и
нулей на качество воспроизведения внешних воздействий.
Широкое применение следящих систем, работающих в условиях помех, выдвигает проблему динамической точности следящих систем, находящихся под влиянием случайных воздействий. Возникает и развивается новый раздел в теории управления
– статистическая динамика для стационарных и нестационарных
систем.
Усилия исследователей направляются на разработку общих
основ теории нелинейных систем. Продвинуться в этом направлении удалось тогда, когда из множества частных видов нелинейных систем были выделен для исследования класс систем, в
которых выделяются две связанные части – линейная часть и
безынерционный элемент с нелинейной статической характеристикой. Для систем этого класса были разработаны методы исследования устойчивости, определения условий возникновения
автоколебаний.
Теоретические основы дискретных систем автоматического
регулирования были развиты Я. З. Цыпкиным, который в 1948 г.
предложил частотный критерий устойчивости дискретных систем, а затем на основе дискретного преобразования Лапласа создал основы общей теории дискретных систем, подобной теории
линейных непрерывных систем. Им успешно были решены проблемы качества и динамической точности дискретных систем,
разработаны методы синтеза дискретных корректирующих уст14
ройств. Цыпкин является также одним из основоположников
теории адаптивных и самонастраивающихся систем.
Решению задач анализа и синтеза релейных систем автоматического регулирования посвящены работы А. А. Фельдбаума.
Большой вклад в разработку теории исследования нелинейных систем внесли Б. В. Булгаков, Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Е. П. Попов, И. П. Пальтов.
Общее решение оптимальных по быстродействию систем автоматического регулирования было дано в работах Л. С. Понтрягина и его учеников.
Первые работы в области экстремальных систем регулирования были выполнены В. В. Казакевичем, где он рассматривает
различные алгоритмы поиска экстремума, вопросы устойчивости и качества экстремального регулирования. Существенные
результаты в теории экстремальных регуляторов были получены
А. А. Красовским. Он решил общую задачу синтеза линейной
непрерывной системы экстремального регулирования.
В США в послевоенные годы также происходило бурное развитие ТАУ.
В 1948 г. вышла знаменитая книга Н. Винера «Кибернетика
или управление и связь в живом организме и машине», в которой основное внимание было уделено информационной стороне
процессов управления. Такой подход оказал решающее влияние
на превращение ТАУ из раздела прикладной механики в самостоятельную универсальную научную дисциплину.
В 1950 г. В. Р. Ивэнсом был предложен графо - аналитический метод корневого годографа.
В 1952 г. Л. Заде и Дж. Рагазини разработали метод zпреобразования для дискретных систем. Этот метод стал классическим и широко применяется при создании систем автоматического управления на базе ЭВМ и цифровых фильтров.
В 1956 г. была создана Международная федерация по автоматическому управлению (International Federation of Automatic
Control (IFAC)).
15
В 1957 г. Р. Беллман предложил метод динамического программирования.
Важным результатом стала изданная в 1963 г. книга Л. Заде и
Ч. Дезоера «Теория линейных систем (метод пространства состояний)», в которой изложен качественно новый подход в теории линейных систем. Идеи, представленные на страницах этой
книги, стали основой так называемой «современной теории
управления», получившей развитие в 1970-е годы.
В 1965 г. вышла статья Л. Заде «Нечеткие множества», заложившая математические основы систем нечеткого логического
управления.
В 80-е годы 20-го века началось массовое использование
компьютеров в системах управления. Методы теории автоматического управления были распространены на экономические и
организационные системы. Появление микроконтроллеров позволило создавать встроенные системы управления. Получили
развитие распределенные системы управления на базе вычислительных сетей. Были созданы программные комплексы для автоматизированного проектирования систем управления.
Современный этап развития теории автоматического управления характеризуется широким использованием методов технического искусственного интеллекта, таких как нейронные сети, нечеткие системы, эволюционные алгоритмы. Эти методы
опираются на проведение вычислительных экспериментов с моделями систем управления с целью извлечения знаний о процессе управления, что позволяет рассматривать самые сложные задачи. Вместе с тем на практике новые подходы органично взаимодействуют с классическими приемами анализа и синтеза систем управления.
Настоящее учебное пособие является первой частью лекционного курса по ТАУ, основное содержание которого посвящено использованию аппарата передаточных функций в задачах
анализа и синтеза систем управления.
16
o
Основные понятия ТАУ
Теория автоматического управления выявляет общие закономерности, присущие САУ различной физической природы, а на
основе этих закономерностей разрабатывает принципы построения систем управления.
По виду используемой для управления энергии существуют
электрические, пневматические, гидравлические и механические
САУ. Однако, при изучении процессов управления в ТАУ абстрагируются от физических и конструктивных особенностей систем и вместо реальных систем рассматривают их адекватные
математические модели, при этом основным методом исследования является математическое моделирование.
Теория автоматического управления опирается на развитый
математический аппарат, в том числе: теория дифференциальных уравнений, операционное исчисление, гармонический анализ, векторно-матричная алгебра, нечеткая логика, нейронные
сети и т. д.
Система автоматического управления (САУ) состоит из объекта управления и управляющего устройства.
Объект управления (ОУ) – система, в которой происходит
подлежащий управлению процесс. ОУ имеет входы и выходы.
Одномерными (скалярными) называют объекты, имеющие
один вход и один выход (рис. 1.4, а), многомерными (векторными) – объекты, имеющие несколько входов и выходов, причем
число входов необязательно равно числу выходов (рис. 1.4, б).
Объект управления называется динамическим, если текущее
значение выходного сигнала (y на рис. 1.4) зависит не только от
текущих, но и более ранних значений внешних воздействий
(входных сигналов).
Управление – процесс на входе ОУ (u на рис. 1.4), обеспечивающий такое протекание процессов на выходе ОУ, при котором достигается заданная цель управления.
a)
б)
f1
f2
17
fk
f
u
y
u1
y1
Рис. 1.4. Виды объектов управления
Возмущения − воздействия на ОУ, не зависящие от системы
управления (обозначены буквой f на рис. 1.4).
Например: система управления курсом судна, в которой ОУ –
это судно, u – угол перекладки руля, y – курс судна, f – ветроволновые воздействия.
По характеру сигналов, циркулирующих в системе, САУ
подразделяются на непрерывные (аналоговые), дискретные и
дискретно-непрерывные (гибридные).
Под непрерывной системой будем понимать техническое
устройство, которое осуществляет преобразование непрерывного сигнала x(t) в другой непрерывный сигнал y(t) в соответствии
с заданным оператором F.
В зависимости от вида оператора F непрерывные системы
могут быть:
1. линейными или нелинейными;
2. стационарными или нестационарными;
3. физически реализуемыми или нереализуемыми;
4. детерминированными или стохастическими.
Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, который заключается в том, что реакция системы на любую комбинацию внешних воздействий равна сумме реакций на каждое
из этих воздействий в отдельности. Непрерывная система называется линейной тогда и только тогда, когда ее оператор F обла18
дает свойствами аддитивности и однородности для любых a и
x(t):
F(x1(t) + x2(t)) = F(x1(t)) + F(x2(t)),
F(ax(t)) = aF(x(t)).
К линейным операторам относятся операторы интегрирования и дифференцирования:
dx (t )
dx (t )
d
(αx1 (t ) + βx2 (t )) = α 1 + β 2 ,
dt
dt
dt
y (t ) = ∫ (αx1 (t ) + βx2 (t ))dt = α ∫ x1 (t )dt + β ∫ x2 (t )dt.
y (t ) =
Операторы логарифмирования или возведения в степень не
обладают свойством линейности:
ln( x1 (t ) + x2 (t )) ≠ ln( x1 (t )) + ln( x2 (t ))),
( x1 (t ) + x2 (t )) n ≠ x1n (t ) + x2n (t ).
Реальные объекты управления являются нелинейными, однако во многих случаях точность, даваемая линейным приближением, является вполне достаточной. Если объект относится к
классу линейных, то его поведение можно описать системой линейных дифференциальных уравнений.
Система называется стационарной (инвариантной во времени), если ее параметры (коэффициенты дифференциального
уравнения) не изменяются во времени, иначе система нестационарная.
Свойство стационарности можно описать следующим образом:
Если y(t) = F(x(t)), то y(t – t0) = F(x(t – t0)),
для любого значения t0.
Система называется физически реализуемой, если выходной
сигнал в текущий момент времени не зависит от значений входного сигнала в последующие моменты времени.
19
Детерминированной называется система, оператор которой
детерминирован, т.е. устанавливает однозначное соответствие
между входными и выходной переменными.
Стохастической называется система, оператор которой является случайным. Выходная величина стохастического объекта
всегда случайна, даже при наличии детерминированных входных переменных.
Дискретными являются релейные, импульсные и цифровые
САУ. Они имеют отличное от непрерывных САУ математическое описание, основанное на использовании разностных уравнений для описания дискретных сигналов.
По характеру изменения задающего воздействия САУ делятся на системы стабилизации, следящие системы и системы программного регулирования.
Следящие системы предназначены для изменения регулируемой величины по заранее неизвестному закону.
Системы стабилизации служат для поддержания требуемого
значения регулируемой величины относительно неизменного
значения задающего воздействия.
Системы программного регулирования – это системы, в которых задающее воздействие изменяется по заданной программе.
Система автоматического управления называется адаптивной, если она может изменять закон управления, отслеживая изменение параметров системы или внешней среды и поддерживая
высокое качество управления.
Если выбор структуры и (или) параметров САУ производится
из условия достижения экстремума каким-либо критерием качества, то такие САУ называются оптимальными.
По точности регулирования САУ бывают статическими и астатическими. В статических САУ по окончанию переходного
процесса ошибка становится равной некоторой постоянной величине, называемой статической ошибкой. В астатических системах ошибка по окончанию переходного процесса равна нулю.
20
Структурной схемой называется схема САУ, изображенная в виде соединения составляющих ее звеньев.
Структурная схема показывает строение автоматической системы, наличие внешних воздействий и точки их приложения,
пути распространения воздействий и выходную величину. Динамическое или статическое звено изображается прямоугольником. Воздействия на систему и влияние звеньев друг на друга
(сигналы) изображаются стрелками. В каждом звене воздействие передается только от входа звена к его выходу.
На динамическое звено может воздействовать лишь одна
входная величина, поэтому используются блоки суммирования
и сравнения (вычитания) сигналов (рис. 1.5а и 1.5б, где черный
сектор означает вход со знаком минус). Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы одной и той же физической природы.
а)
б)
y = x1 + x2
x1
x2
x1
y = x1 – x2
x2
Рис. 1.5. Обозначение блоков суммирования и вычитания
Структурная схема может быть составлена по дифференциальным уравнениям системы.
Принцип разомкнутого управления является самым простым
и распространенным в технических системах (рис. 1.6). Он применяется для управления стационарными объектами, в которых
возмущающие воздействия f не оказывают влияния на выходную величину y, или если влияние изменений параметров объекта и возмущающих воздействий известно заранее и может быть
учтено в законе управления u(t).
21
f(t)
u(t)
Объект
управления
y(t)
Рис. 1.6. Разомкнутое управление
Таким образом, при разомкнутом управлении не производится контроль состояния объекта, т.е. САУ работает на основе заранее известной информации. Примерами САУ с разомкнутым управлением являются, например, системы числового программного управления металлообрабатывающими и ткацкими
станками, а также программные системы, предназначенные для
включения, переключения режимов работы и выключения объектов различного назначения.
Принцип управления по отклонению основан на использовании сигнала отрицательной обратной связи, с помощью которого вычисляется ошибка управления. Например, рассмотрим
задачу управления скоростью автомобиля (рис. 1.7).
желаемая
скорость
регулятор
ошибка
Водитель
Педали
газа и
тормоза
Визуальная
оценка
Автомобиль
скорость
Рис. 1.7. Система управления скоростью автомобиля
Система, показанная на рис. 1.7, не является автоматической,
поскольку в качестве регулятора здесь выступает человек, на22
жимающий педали газа и тормоза. Однако алгоритм управления
здесь очевидно прост, и может быть легко реализован с помощью автоматического устройства.
Система управления с обратной связью называется замкнутой, поскольку с помощью обратной связи осуществляется контроль выходной величины. Общий вид замкнутой системы
управления показан на рис. 1.8.
f1(t)
g(t)
e(t)
u(t)
f2(t)
Объект
управления
Регулятор
y(t)
Датчик
Рис. 1.8. Система управления с обратной связью
Задающее воздействие g(t) описывает желаемое значение выхода объекта управления y(t). Ошибка управления e(t) = g(t) –
y(t) используется регулятором для формирования сигнала
управления u(t). Объект представляет собой динамическую систему, которая может быть неустойчивой или обладать плохими
динамическими свойствами. Регулятор служит для улучшения
динамического поведения объекта. На входе и выходе объекта
присутствуют шумы f1(t) и f2(t) (при синтезе регулятора ими часто пренебрегают).
Регулятор представляет собой аналоговое или цифровое электронное устройство, преобразующее электрические сигналы.
Сигнал управления поступает на усилительные и преобразовательные устройства, входящие в состав объекта управления.
В процессе разработки САУ требуется решить две задачи –
анализ и синтез САУ.
23
При анализе САУ необходимо определить ее свойства (показатели качества регулирования) при заданной структуре с конкретными параметрами.
При синтезе САУ, наоборот, имея необходимую информацию об объекте управления, задаются свойствами системы, определяют конкретные требования к ней и затем отыскивают условия (структуру, элементы, параметры регулятора), при которых будут выполняться эти требования.
Задача синтеза регулятора в САУ может рассматриваться как
задача синтеза обратной модели объекта (рис. 1.9).
g(t)
y(t)
F-1
F
Рис. 1.9. Идеализированная разомкнутая система управления
Если F – оператор объекта, а F-1 – оператор регулятора, то
при любых условиях выполняется
y(t) = g(t) F-1 F = g(t),
т. е. выходной сигнал в точности соответствует входному сигналу.
Однако в реальности точное получение обратной модели объекта обычно невозможно, и задача синтеза решается приближенно.
В целом процесс проектирования САУ может быть описан с
помощью алгоритма, показанного на рис. 1.10.
24
начало
Определение целей управления, выбор
управляемых переменных и формулировка требований к этим переменным
Выбор конфигурации системы и исполнительного устройства
Получение модели системы управления
Оптимизация параметров регулятора и
анализ качества управления
нет
Качество хорошее?
конец
Рис. 1.10. Алгоритм проектирования системы управления
Порядок уравнений динамики САУ зависит от сложности
процессов, протекающих в нем, и от принятых допущений. Если
же снизить порядок не удается, то существует прием, называемым методом разделения движения, который существенно упрощает расчет и проектирование систем управления. Если в
САУ есть движения, не сопоставимые по времени протекания
(медленные и быстрые процессы), то тогда систему можно разделить на две системы. Каждая из них описывают поведение
25
САУ, но в различных масштабах времени. Например, изменение
угла тангажа летательного (или подводного) аппарата является
более быстрым процессом, чем движение по траектории.
o
Способы описания объектов управления
Разработка модели объекта управления является центральной
задачей при проектировании САУ. Никакая модель не может
быть полностью адекватной объекту, поэтому при построении
модели всегда оговариваются условия, при которых ее можно
использовать.
Существуют два подхода к построению модели объекта
управления:
1. используется аналитическое описание с помощью дифференциальных уравнений, которое опирается на «глубинные»
знания, полученные на основе законов физики, химии, биологии
и других фундаментальных наук. Это модель типа «белый
ящик»;
2. используется модель типа «черного ящика», у которого известны входы и выходы. Задача модели – наилучшим образом
подражать поведению этого «черного ящика». Внутренние механизмы поведения объекта не рассматриваются.
В обоих случаях возникает задача идентификации – настройки параметров модели с целью достижения наибольшего
сходства между ее выходом и выходом объекта.
Рассмотрим модели типа «белый ящик». Они используют
фундаментальные законы, которые сами по себе являются моделями. Например, закон Ома или 2-й закон Ньютона являются
моделями, которые можно использовать для описания физических процессов. Такие модели представляют собой дифференциальные уравнения (уравнения динамики), описывающие движение системы. Из уравнений динамики, положив все производные равными нулю, можно получить уравнения статики, ко26
торые описывают поведение системы в установившемся режиме.
Пример 1.1. Предположим, что у нас есть подвижная масса
(тележка), пружина и демпфер (рис. 1.11, где b – коэффициент
демпфирования; k – коэффициент жесткости пружины; F –
внешняя сила (вход объекта); x – горизонтальная координата
(выход)).
b
F
M
k
x
Рис. 1.11. Пример динамического объекта
В соответствии со 2-м законом Ньютона можно записать
уравнения динамики:
M&x& = F − kx − bx& ,
а также уравнение статики:
F = kx.
Пример 1.2. Двигатель постоянного тока (рис. 1.12, где
u(t) - напряжения якоря (вход), θ(t) – угол поворота вала (выход
объекта), ω(t) - угловая скорость вращения, e(t) – электродвижущая сила (ЭДС) якоря, i(t) – ток якоря, R – сопротивление
якорной цепи.
27
R
ω(t)
u(t)
e(t)
i(t)
Рис. 1.12. Двигатель постоянного тока
Вал двигателя начинает вращаться, когда приложено напряжение питания. Если u(t) не меняется, угловая скорость вращения ω(t) остается постоянной, при этом угол θ(t) равномерно
увеличивается. Чем больше напряжение, тем быстрее вращается
вал. Если подключить нагрузку, скорость вращения постепенно
уменьшается до нового значения, при котором вращающий момент двигателя будет равен моменту сопротивления нагрузки.
Если подключить к валу двигателя нагрузку, то скорость
вращения постепенно уменьшается до нового значения, при котором вращающий момент двигателя будет равен моменту сопротивления нагрузки. Пока эти моменты равны, скорость вращения остается постоянной и ее производная равна нулю.
В механике уравнение вращательного движения обычно записывают в виде
J
dω(t )
= M (t ) − M (t ) ,
H
dt
где M(t) – вращающий момент (H·м), MH(t) – момент нагрузки
(возмущение, H·м). Буквой J обозначен момент инерции механизма, приведенного к валу двигателя (в кг·м2). Величина мо28
мента инерции говорит о том, насколько легко «разогнать» двигатель (чем больше момент инерции, тем сложнее «разогнать»).
Электромагнитный момент двигателя вычисляется по формуле
M (t ) = CM Φi(t ),
где Cм – коэффициент, Φ – магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения (измеряется в веберах).
Ток в цепи может быть найден из уравнения:
u (t ) = e(t ) + Ri (t ).
Электродвижущая сила рассчитывается через магнитный поток и частоту вращения:
e(t ) = Cω Φω(t ),
где Cω – коэффициент.
Вводя обозначения: k1 = CмΦ и k2 = CωΦ, можно записать модель двигателя в виде системы уравнений
 dω(t )
 J dt = k1i − M H (t );

e(t ) = k2ω(t );
,

ω(t ) = dθ(t ) ;

dt
u (t ) = e(t ) + Ri (t ).

Рассматривая последние три уравнения, найдем i(t):
i (t ) =
u (t ) − k2
R
dθ
dt .
Таким образом:
29
dθ 

k1  u (t ) − k2 
d θ
dt 
− M H (t ) .
J 2 = 
dt
R
2
d 2θ k1k2 dθ k1u (t )
J 2 +
=
− M H (t ) .
dt
R dt
R
Вводя обозначения для констант, и деля на MH:
a1
d 2θ
dθ
+ a2
+ 1 = bu(t ) .
2
dt
dt
Это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка.
При рассмотрении моделей типа «черный ящик» необходимо
использовать экспериментальную информацию о поведении
объекта, которая должна быть достаточно разнообразной для
выявления свойств объекта. Далее выбирается структура модели, в качестве которой может выступать разностное уравнение,
искусственная нейронная сеть, набор нечетких правил или иная
математическая конструкция, сложность которой соответствует
сложности объекта. Затем решается задача идентификации, т. е.
такого подбора параметров, при котором выход модели будет
наиболее близок экспериментальным данным.
Экспериментальные методы определения динамических характеристик объектов управления делятся на два класса:
− методы определение временных характеристик объекта
управления;
− методы определение частотных характеристик объекта
управления.
Временные методы определения динамических характеристик делятся, в свою очередь, на две группы: активные и пассивные.
Активные методы предполагает подачу на вход объекта
пробных тестирующих сигналов, а пассивные лишь фиксируют
естественное движение объекта в процессе его нормального
30
функционирования. Активные методы позволяют получить более точное описание, но их можно применять не для всех объектов.
При определении временных динамических характеристик
объекта обычно на его вход подается ступенчатый пробный сигнал. Выходная реакция объекта называется кривой разгона.
При снятии кривой разгона необходимо выполнить ряд условий.
− Если проектируется система стабилизации, то кривая разгона должна сниматься в окрестности рабочей точки процесса.
− Кривые разгона необходимо снимать как при положительных, так и отрицательных скачках управляющего сигнала.
По виду кривых можно судить о степени асимметрии объекта.
− При наличии зашумленного выхода желательно снимать
несколько кривых разгона с получением усредненной кривой.
− Необходимо выбирать наиболее стабильные режимы
процесса, когда действие внешних случайных возмущений маловероятно.
− При снятии кривой разгона амплитуда пробного входного
сигнала должна быть, с одной стороны, достаточно большой,
чтобы четко выделялась кривая разгона на фоне шумов, а с другой стороны она должна быть достаточно малой, чтобы не нарушать нормального хода технологического процесса.
Сняв кривую разгона, можно определить параметры соответствующей передаточной функции (см. раздел 4.7).
Частотные методы определения динамических характеристик предполагают, что на вход объекта подается периодический сигнал с известной частотой и амплитудой. Модуль амплитудно-фазовой характеристики определяется как отношения амплитуды выходной гармоники к амплитуде входной. Фазовая
характеристика характеризует фазовый сдвиг между этими гармониками на различных частотах пробного сигнала. Эти характеристики могут определяться непосредственно по графикам
входного и выходного сигналов объекта.
31
Частотные характеристики несут большую информацию об
объекте, чем его кривая разгона. Однако методы определения
частотных характеристик более трудоемки и требуют наличия
специальной аппаратуры.
Существуют также статистические методы определения
динамических характеристик объекта управления, которые
предполагают, что входной и выходной сигналы объекта представляют собой реализации случайных процессов. В связи с
этим их обработка должна производиться статистическими методами. При этом входной сигнал может быть либо искусственно сформирован от генератора шума, либо быть естественным
шумовым компонентом в условиях нормальной эксплуатации
объекта.
o
Линеаризация
Пусть поведение системы описывается линейным дифференциальным уравнением вида:
d n y (t )
d n −1 y (t )
dy (t )
+
a
+ ... + a1
+ a0 y (t ) =
n
−
1
n
n −1
dt
dt
dt
d m x (t )
d m −1 x (t )
dx (t )
= bm
+
b
+ ... + b1
+ b0 x (t ),
m
m
m −1
dt
dt
dt
an
где x(t) – входной сигнал, y(t) – выходной сигнал. При x(t) =
const по окончании переходного процесса выполняется условие:
a0 y = b0 x
⇒
y=
b0
x.
a0
Это уравнение прямой, следовательно, статическая характеристика линейной системы представляет собой прямую линию
(рис. 1.13).
32
y
arctg(b0/a0)
x
Рис. 1.13. Статическая характеристика линейной системы
Для нелинейной системы вход - выходная зависимость описывается некоторой кривой.
Дифференциальные уравнения САУ и ее элементов, составленные в соответствии с физическими законами их функционирования и факторами, от которых зависят переменные уравнений, практически всегда являются нелинейными. Отсутствие
однозначных аналитических методов решения нелинейных
дифференциальных уравнений затрудняет создание общих методов анализа и синтеза нелинейных САУ. Именно это и послужило причиной развития идеи линеаризации, т.е. замены исходной нелинейной модели линейной, близкой по решению к исходной модели в определенном диапазоне изменения начальных
условий и параметров. Линеаризация проводится по методу малого отклонения, который основан на разложении нелинейных
функций в ряд Тейлора.
Во многих случаях линейная модель может достаточно точно
отражать свойства реальной системы. Так, например, линейные
модели адекватно описывают процессы в электрических цепях,
содержащих сопротивления, индуктивности и емкости.
Процесс линеаризации поясняет рис. 1.14, где изображена
статическая нелинейность f(x).
33
f(x)
f(x0)
x0
x
Рис. 1.14. Линеаризация в рабочей точке
Рассматривая установившееся значение входной переменной
x0 (рабочую точку), можно рассмотреть малые приращения: x =
x0 + ∆x. Тогда в точке x0
df ( x) ∆f ( x)
≈
,
dx
∆x
∆f ( x) ≈
df ( x)
∆x.
dx
(1.1)
Точность аппроксимации зависит от кривизны функции f(x) в
рабочей точке и от величины приращения ∆x. Более точное приближение можно получить при разложении функции в ряд Тейлора.
Пример 1.3. Линеаризация уравнений движения математического маятника (рис. 1.15, где M – масса груза; L – длина стержня; x – угол отклонения маятника).
34
L
x
Mg
Рис. 1.15. Математический маятник
Уравнение движения маятника имеет вид:
L d 2 x(t )
= − sin x(t ).
g dt 2
Это уравнение описывает изменение угла наклона маятника,
и оно нелинейно в силу присутствия нелинейной функции sin.
Для линеаризации необходимо выбрать рабочую точку x0 ,
относительно которой рассматриваются малые движения системы.
Произвольную функцию f можно представить в виде разложения в ряд Тейлора:
∞
f k ( x0 )
( x − x0 ) k =
k
!
k =0
f ' ( x0 )
f ' ' ( x0 )
= f ( x0 ) +
( x − x0 ) +
( x − x0 ) 2 + ....
1!
2!
f ( x) = ∑
35
Это выражение можно представить в виде, который соответствует (1.1):
f ( x) − f ( x0 ) = ∆f ( x) = f ' ( x0 )( x − x0 ) + ...
При линеаризации обычно оставляют первые два слагаемых
разложения в ряд Тейлора. Таким образом, для функции sin
имеем
sin( x) ≈ sin( x0 ) + cos( x0 )( x − x0 ).
Маятник совершает колебания относительно точки равновесия, поэтому выберем x0 = 0 град.
sin( x ) ≈ sin( 0) + cos( 0)( x − 0) = x.
Тогда оказывается возможным записать линейное уравнение
динамики маятника:
d 2 x(t ) g
+ x(t ) = 0.
dt 2
L
Рассмотрим разложение в ряд Тейлора еще для нескольких
нелинейных функций при x → 0:
e x ≈ e 0 + e 0 ( x − 0) + e 0
( x − 0) 2
( x − 0) 3
x2 x3
+ e0
+ ... = 1 + x + + + ...
2!
3!
2! 3!
cos( x ) ≈ cos(0) − sin(0)( x − 0) − cos(0)
( x − 0) 2
x2 x4
+ ... = 1 − +
+ ...
2!
2! 4!
2
1
−2
−3 ( x − 0 )
≈ 1 + (1 − 0) ( x − 0) + 2(1 − 0)
... = 1 + x + x 2 ...
1− x
2!
Таким образом, линеаризация позволяет получить описание
объекта в виде линейного дифференциального уравнения или
набора таких уравнений. Обычно эти уравнения имеют постоянные коэффициенты, что позволяет использовать аппарат преобразования Лапласа и передаточных функций.
36
o
Критерии качества управления
В зависимости от сложности и целей функционирования САУ
критериями качества управления могут выступать различные
функции входных и выходных переменных системы. Однако для
широкого класса линейных САУ существует набор критериев,
которые определяются непосредственно по виду кривой переходного процесса.
Если система линейная, то любой сложный входной сигнал
можно описать как комбинацию простых входных сигналов,
следовательно, при настройке САУ достаточно использовать
простой тестовый сигнал. В качестве такого сигнала обычно выступает единичное скачкообразное воздействие (температура,
давление, частота вращения, напряжение и т п.), обозначаемое
как 1(t).
Реакция объекта на ступенчатое входное воздействие называется переходной функцией или кривой разгона (см. рис. 1.16).
К характеристикам переходного процесса относятся (рис.
1.16):
− время нарастания tн, т.е. время, за которое переменная y(t)
возрастает до установившегося значения yуст(t);
− установившаяся (статическая) ошибка eуст = yуст(t) − 1(t);
− время регулирования tр (время от начала переходного процесса до момента, когда y(t) не покидает интервал yуст(t) ± ∆:
y − y уст ≤ ∆, где ∆ = 1 - 5% ;
− перерегулирование:
δ=
ymax − yуст
yуст
⋅100%.
Обычно требуется, чтобы δ ≈ 10 ÷ 30%, но иногда может быть
предъявлено требование δ = 0%.
37
y
y(t)
+5%
ymax
–5%
g(t)=1(t)
eуст
y(∞)
1
tн
tр
t
Рис. 1.16. Характеристики переходного процесса
По характеру установившегося значения выходной величины
объекта (при подаче на вход единичного скачка) все объекты
делятся на две группы: с самовыравниванием и без самовыравнивания.
Самовыравниванием называется свойство регулируемого
объекта после изменения входного сигнала самостоятельно вернуться к новому установившемуся состоянию. Самовыравнивание облегчает работу регулятора. Устойчивое функционирование объекта управления без самовыравнивания невозможно без
регулятора.
Перерегулирование, время регулирования и установившаяся
ошибка САУ должны находиться в допустимых пределах, которые устанавливаются для каждого конкретного объекта индивидуально.
38
Рассмотренные выше оценки качества относятся к прямым.
Существуют также косвенные оценки качества, среди которых
наиболее часто используются линейная и квадратичная интегральные оценки.
Линейная интегральная оценка равна площади, ограниченной
кривой ошибки:
tp
J 0 = ∫ ( y (t ) − g (t ))dt.
0
Эта оценка может быть применена только при монотонных
переходных процессах при отсутствии колебаний.
Квадратичная интегральная оценка применяется как при монотонных, так и при колебательных переходных процессах и
определяется следующим соотношением:
tp
J 0 = ∫ ( y (t ) − g (t )) 2 dt
0
Недостаток квадратичной интегральной оценки заключается
в том, что различные по характеру переходные процессы могут
иметь одну и ту же величину оценки.
o
Регуляторы по отклонению
Простейший линейный регулятор по отклонению реализует
закон управления путем умножения входной ошибки на заданную константу (коэффициент пропорциональности):
u(t) = kp(g(t) - y(t)) = kpe(t).
Такой регулятор называется П-регулятором, его структура
показана на рис. 1.17.
39
g(t)
e(t)
u(t)
Объект
управления
kp
y(t)
Рис. 1.17. Управление, пропорциональное ошибке
Графически закон пропорционального управления представляет собой прямую, проходящую через начало координат под
углом α. Так что
kp = tg(α).
В реальной системе всегда существуют физические ограничения на значение сигнала управления, так что пропорциональный закон управления имеет вид, показанный на рис. 1.18.
+umax
α
e
-umax
Рис. 1.18. График пропорционального закона управления
40
Предельным вариантом П-регулятора является регулятор релейного типа, который работает по знаку ошибки:
u(t) = umaxsign(e).
Такой закон управления обеспечивает минимальное время
нарастания, но может вызывать большое перерегулирование.
В промышленности массово используются аналоговые и
цифровые регуляторы по отклонению, называемые ПИДрегуляторами (сокращение от пропорционально-интегральнодифференциальный).
Основное уравнение ПИД-регулятора имеет следующий вид:
t

1
de(t ) 
u (t ) = u0 + k e(t ) + ∫ e( τ)dτ + Td
,
T
dt
i
0


где k – усиление регулятора; Ti и Td – постоянные времени интегрирования и дифференцирования; u0 – поправочное значение
(смещение), которое может быть нулевым.
Раскрывая скобку при u0 = 0, можно записать:
t
u (t ) = kP e(t ) + ki ∫ e(τ )dτ + kd
0
de(t )
,
dt
где kp, ki, kd – коэффициенты, выбираемые в процессе проектирования.
Таким образом, закон управления включает три слагаемых,
каждое из которых оказывает свое влияние на переходный процесс (рис. 1.19).
Увеличение коэффициента kp уменьшает время нарастания и
установившуюся ошибку. Увеличение коэффициента ki эффективно устраняет установившуюся ошибку. Рост kd увеличивает
устойчивость системы, уменьшает перерегулирование и улучшает переходную характеристику.
41
kd
d/d
g(t)
e(t)
u(t)
kp
∫
Объект
управления
y(t)
ki
ПИД-регулятор
Рис. 1.19. Структура ПИД–регулятора
Влияние каждого коэффициента на переходный процесс в
замкнутой системе показано в табл.1.1.
Таблица 1.1
Влияние коэффициентов ПИД-регулятора
tн
δ
tр
eуст
kp
Уменьшает
Увеличивает Слабо влияет Уменьшает
ki
Уменьшает
Увеличивает
kd
Слабо влияет
Уменьшает
Увеличивает
Исключает
Уменьшает Слабо влияет
На практике часто используются упрощенные версии ПИДрегулятора: П-, И-, ПД- и ПИ-регуляторы, в которых используются не все три, а одно или два слагаемых из формулы ПИДрегулятора. Популярность ПИД-регуляторов вызвана тем, что
их использование возможно без процедуры построения математической модели объекта управления. При этом лишь предпола42
гается, что объект управления принадлежит к классу объектов,
для которого ПИД-регулятор может выступать в качестве приближенной обратной модели (см. рис. 1.9). Экспериментально
подбирая значения коэффициентов закона управления, можно
получить приемлемое качество переходного процесса.
Например, рассмотрим метод Зиглера–Николса настройки
ПИД-регулятора для объекта с самовыравниванием.
Перепишем закон управления ПИД – регулятора в виде:

1 
.
H ( s) = kp 1 + Td s +
Ti s 

Рассмотрим первый вариант (замкнутая система).
3. Коэффициенты kd и ki устанавливаются равными нулю, а коэффициент kp увеличивается до тех пор, пока в системе не возникнут автоколебания.
4. Обозначим предельное значение kp как P, а период
автоколебаний как T. Значения коэффициентов П, ПИ или
ПИД-регулятора рассчитываются в соответствии с табл. 1.2.
Таблица 1.2.
Расчет коэффициентов регулятора
KP
Ti
П
0,5P
ПИ
0,45P
T/1,2
ПИД
0,6P
T/2
Td
T/8
Однако такой подход не может обеспечить высокое качество
управления, которое может быть достигнуто только при использовании математического описания САУ.
43
Вопросы для самопроверки
− Для решения каких задач разрабатывались в древности
первые автоматические устройства?
− Какие автоматические устройства получили распространение в средневековье?
− Какие задачи решали первые регуляторы в промышленности?
− Что такое системы прямого и непрямого регулирования?
− Кто первым предложил использовать дифференциальное
уравнение в качестве модели регулятора?
− Кто первым ввел понятие линеаризации дифференциальных уравнений?
− Кем были заложены основы создания автопилотов?
− Кем была создана теория управления летательными аппаратами?
− Кто заложил математические основы теории устойчивости?
− Кем было предложено использовать частотные характеристики для анализа и синтеза систем управления?
− Из каких частей состоит система автоматического
управления?
− Какая система управления является одномерной (скалярной)?
− Какая система управления является многомерной (векторной)?
− Что такое динамический объект управления?
− Какая система управления является непрерывной?
− Какие существуют виды непрерывных систем?
− Что такое принцип суперпозиции?
− Какая система называется стационарной?
− Какая система называется физически реализуемой?
− Какая система называется детерминированной?
44
− Какая система называется стохастической?
− Какая система называется дискретной?
− Что такое следящая система?
− Что такое система стабилизации?
− Что такое система программного регулирования?
− Что такое адаптивная система управления?
− Что такое статическая и астатическая система?
− Как описывается структурная схема системы автоматического управления?
− Что такое разомкнутая система управления?
− Что такое замкнутая система управления?
− В чем заключается задача анализа САУ?
− В чем заключается задача синтеза САУ?
− Какие этапы включает в себя процесс проектирования
САУ?
− Что такое метод разделения движений при синтезе САУ?
− Какие два подхода могут быть использованы при разработке модели объекта управления?
− Что такое модель типа «черный ящик»?
− С какой целью используется линеаризация?
− Какой вид имеет статическая характеристика линейной
системы?
− Что такое рабочая точка?
− Как выполняется линеаризация дифференциального
уравнения?
− В чем смысл задачи идентификации модели?
− Какой входной сигнал используется для получения переходной функции?
− Какие условия должны выполняться при получении кривой разгона объекта управления?
− Что такое частотные характеристики объекта управления?
45
− Какие характеристики используются для описания переходного процесса?
− Что такое время нарастания?
− Что такое время переходного процесса?
− Что такое перерегулирование?
− Какое свойство объекта управления называется самовыравниванием?
− Какая формула описывает закон пропорционального
управления?
− Какой формулой описывается работа релейного регулятора?
− Что представляет собой ПИД-регулятор?
− Какое влияние оказывает на переходную характеристику
пропорциональная компонента ПИД-регулятора?
− Какое влияние оказывает на переходную характеристику
дифференциальная компонента ПИД-регулятора?
− Какое влияние оказывает на переходную характеристику
интегральная компонента ПИД-регулятора?
− В чем заключается методика экспериментальной настройки ПИД-регулятора?
46
2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
2.1. Преобразование Лапласа
Рассмотрим систему автоматического управления, описываемую линейным дифференциальным уравнением вида
d n y (t )
d n −1 y (t )
dy (t )
+
a
+ ... + a1
+ a0 y (t ) =
n −1
n
n −1
dt
dt
dt
d m u (t )
d m −1u (t )
= bm
+
b
+ ... + b0u (t ),
m −1
dt m
dt m −1
an
где u(t) – входной процесс; y(t) – выходной процесс; ai, bi, – постоянные коэффициенты; n, m – постоянные числа.
В реальных системах всегда выполняется условие физической реализуемости системы n >= m.
Если ввести обозначение p для оператора дифференцирования p = d/dt, то можно записать уравнение в операторной форме:
( a n p n + a n −1 p n −1 + ... + a1 p + a0 ) y (t ) =
= (b m p m + b m −1 p m −1 + ...b1 p + b0 )u (t ).
Вводя обозначения для полиномов, получаем
A( p) y (t ) = B( p)u(t ).
Рассмотрим отношение выходного сигнала системы к ее
входному сигналу:
47
y (t ) B( p)
=
= W ( p) .
u (t ) A( p)
Это выражение дает нестрогое определение W(p) – передаточной функции системы. Строгое определение может быть дано с использованием преобразования Лапласа, которое заменяет
дифференциальное уравнение алгебраическим.
Преобразованием Лапласа называют интегральное преобразование
∞
X ( s) = ∫ x(t )e −st dt ,
0
определяющее соответствие между функцией x(t) вещественного переменного и функцией X(s) комплексного переменного s.
При этом x(t) называют оригиналом, а X(s) –изображением по
Лапласу.
Предполагается, что оригинал обладает следующими свойствами:
3. функция x(t) определена (не имеет точек разрыва) и дифференцируема на всей положительной числовой полуоси;
4. функция x(t) = 0 при t < 0;
5. существуют такие числа М и α, что
x(t ) ≤ Meαt ,
0 ≤ t ≤ ∞.
Практически во всех случаях эти условия выполняются.
Символическая запись преобразования Лапласа:
X(s) = L{x(t)},
где L{ }– оператор преобразования Лапласа.
Рассмотрим пример.
−at
∞
∞
L{e } = ∫ e e dt = ∫ e −( s+a )t dt =
0
48
−at − st
0
1
.
s+a
На практике обычно нет необходимости вычислять преобразование Лапласа для заданного оригинала, поскольку для большинства важнейших функций времени изображения по Лапласу
известны (см. табл. 2.1).
Преобразования Лапласа
Таблица 2.1
Оригинал
Изображение
Лапласа
Единичная импульсная функция
δ(t)
1
Единичная ступенчатая
функция
1(t )
1
s
Наименование
Степенная
функция
t n ⋅1(t )
n!
s n +1
Экспонента
e −αt ⋅ 1(t )
1
s+α
Экспонента
t n e −αt ⋅ 1(t )
1
(s + α )n +1
Смещенная экспонента
Синусоида
1
(1 − e − αt ) ⋅ 1(t )
a
sin βt ⋅ 1(t )
1
s( s + α)
β
s + β2
2
49
cosβt ⋅ 1(t )
p
s + β2
Затухающая синусоида
e−αt sin βt ⋅ 1(t )
β
(s + α )2 + β 2
Затухающая косинусоида
e−αt cos βt ⋅ 1(t )
s+α
( s + α) 2 + β 2
Косинусоида
2
Обратное преобразование Лапласа описывается формулой
σ + j∞
1
x(t ) =
X ( s )e st ds.
2πj σ −∫j∞
В символических обозначениях:
x(t) = L-1{X(s)}.
Рассмотрим ряд свойств преобразования Лапласа, которые
потребуются в дальнейшем изложении.
1) Линейность преобразования:
L{αy1(t) + βy2(t)} = αL{y1(t)} + βL{y2(t)} = αY1(s) + βY2(s).
2) Дифференцирование оригинала:
L{dY(t)/dt} = sY(s) – y(0),
где y(0) – начальное условие.
В табл. 2.2 показаны правила преобразования по Лапласу для
производных различных порядков.
Дифференцирование оригинала
50
Таблица 2.2
Оригинал
Изображение
y(t)
Y(s)
dy(t)/dt
sY(s) – y(0)
d2y(t)/dt2
s2Y(s) – sy(0) – dy(0)/dt
dny(t)/dtn
snY(s) – sn-1y(0) – sn-2dy(0)/dt … –s0dn-1y(0)/dtn-1
Таким образом, при нулевых начальных условиях справедливо:
 d n y(t ) 
n
L
 = s Y (s)
n
dt


3) Интегрирование оригинала. Эта операция сводится к делению изображения на s:
t
 Y ( s)
L ∫ x(t )dt  =
s
0

4) Теорема запаздывания. Для любого положительного числа
τ справедливо:
L{y (t − τ )} = e − sτ L{ y (t )} = e − sτ Y ( s ) .
Таким образом, функции y(t) и y(t – τ) описывают один и тот
же процесс, но процесс, описываемый функцией y(t – τ), начинается с опозданием на время τ. В области изображений это соответствует умножению на e-sτ.
5) Теорема умножения изображения. Если y1(t) и y2(t) – оригиналы, а Y1(s) и Y2(s) – их изображения, то
t
t
0
0
Y1 ( s)Y2 ( s) ≡ ∫ y1 ( τ) y2 (t − τ)dτ = ∫ y2 ( τ) y1 (t − τ)dτ = y2 (t ) * y1 (t ),
где * - обозначение операции свертки.
51
6) Теорема о предельном значении. Если y(t) – оригинал, а
Y(s) – его изображение, то
x(∞ ) = lim x(t ) = lim sX ( s ) .
t →∞
s →0
Последняя теорема, как будет показано ниже, используется
для расчета установившей ошибки систем управления.
До начала эпохи массового использования компьютеров задача нахождения решения дифференциального уравнения вызывала большие трудности, и преобразование Лапласа являлось
эффективным инструментом для решения этой задачи.
Решение дифференциального уравнения, полученное с помощью преобразования Лапласа, представляет собой рациональную дробь. Для выполнения обратного преобразования необходимо разложить это решение на простейшие дроби. Для
выполнения этой операции необходимо найти корни характеристического полинома. Разложение выполняется по правилам:
1) если корень λ действительного типа, то ему соответствует
дробь вида
A
;
s−λ
2) если корень λ действительного типа имеет кратность n, то
ему соответствует сумма дробей:
A1
sA2
s n −1 An
+
+
...
+
;
s − λ (s − λ )2
(s − λ )n
3) паре комплексно-сопряженных
дробь вида
корней
соответствует
A1s + B
;
s + as + b
2
4) комплексно-сопряженным корням кратности n соответствует сумма дробей:
52
A1s + B1
A2 s + B2
An s + Bn
+
+ ... +
.
2
n
s + as + b s 2 + as + b
s 2 + as + b
(
2
)
(
)
Пример 2.1. Дано дифференциальное уравнение
2 &x& + 6 x& + 4 x = 1(t ) ,
и начальные условия: x(0) = 1; x&(0) = 3. Требуется определить
x(t).
Решение.
На первом шаге записываем уравнение в изображениях:
(
)
1
2 s 2 X ( s ) − s − 3 + 6(sX ( s ) − 1) + 4 X ( s ) = .
s
На втором шаге определим x(s):
X (s) =
2 s 2 + 12 s + 1
s 2 + 6 s + 0 .5
=
.
s 2 s 2 + 6 s + 4 s s 2 + 3s + 2
(
) (
)
Знаменатель имеет три различных корня действительного типа: s1 = 0, s2 = –2, s3 = –1, поэтому можно записать:
s 2 + 6 s + 0 .5 A
B
C
X (s) =
= +
+
.
2
s s + 3s + 2
s s + 2 s +1
(
)
Откуда следует
s 2 + 6 s + 0.5 = A( s + 2)( s + 1) + Bs ( s + 1) + Cs ( s + 2).
Приравнивая значения при одинаковых степенях s, получаем
систему трех уравнений:
 1= A+ B +C
 A = 0,25


6 = 3 A + B + 2C ⇒  B = −3,75.
 0,5 = 2 A
 C = 4,5


53
Таким образом
X (s) =
0,25 3,75 4,5
.
−
+
s
s + 2 s +1
Выполняя обратное преобразование, получаем:
x(t ) = 0,25 ⋅ 1(t ) − 3,75e −2 t + 4,5e − t .
Пример 2.2. Дано изображение функции
s2 + 2
X ( s) =
.
(s + 1)3 (s − 2)
Знаменатель имеет корни действительного типа: s1 = 2 и s2 = –
1 с кратностью n = 3, поэтому можно записать:
s2 + 2
A
A2
A3
A
X ( s) =
= 1 +
+
+ 4 .
3
2
3
(s + 1) (s − 2) s + 1 (s + 1) (s + 1) s − 2
Откуда следует
s 2 + 2 = A1 (s + 1) (s − 2) + A2 (s + 1)(s − 2) + A3 (s − 2) + A4 (s + 1) .
2
3
A1 + A4 = 0,


A2 + 3 A4 = 1,


 A3 − A2 − 3 A1 + 3 A4 = 0,
− 2 A3 − 2 A2 − 2 A1 + A4 = 2.
Решение этой системы дает ответ: А1 = –2/9, A2 = 1/3, A3=–1,
A4 = 2/9.
2
1
1
2
s2 + 2
.
X ( s) =
=−
+
−
+
3
2
3
(s + 1) (s − 2) 9(s + 1) 3(s + 1) (s + 1) 2(s − 2)
54
2
1
1
2
x(t ) = L−1 ( X ( s )) = − e −t + te −t − t 2 e −t + e 2t .
9
3
2
9
Пример 2.3. Найти оригинал по его изображению
F (s) =
2s − 5
.
s − 6 s + 11
2
Решение.
Преобразуем данную дробь: выделим в знаменателе дроби
полный квадрат и по свойству линейности получим
F (s) =
= 2⋅
2s − 5
2( s − 3) + 1
2( s − 3)
1
+
=
=
=
2
2
2
2
s − 6s + 11 ( s − 3) + 2 ( s − 3) + ( 2 )
( s − 3) + ( 2 ) 2
2
s −3
1
2
+
⋅
.
2
2
2
( s − 3) + ( 2 )
2 ( s − 3) + ( 2 ) 2
Обратное преобразование Лапласа для этого выражения дает
решение:
f ( t ) = 2e3t cos 2t +
1 3t
e sin 2t.
2
2.2. Понятие передаточной функции
Передаточной функцией (ПФ) системы называется отношение преобразования по Лапласу выходной переменной к преобразованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных условиях:
y ( s ) B( s )
=
= W (s) ,
x( s ) A( s )
где s – комплексная переменная.
Степень полинома знаменателя называют порядком ПФ.
55
Можно также определить ПФ как отношение оператора воздействия к собственному оператору (оператор воздействия –
дифференциальный оператор при входной переменной, собственный оператор – дифференциальный оператор при выходной
переменной).
Если система имеет несколько входов, то при определении
ПФ относительно какой-либо одной входной переменной остальные переменные полагают равными нулю (рис. 2.1).
Аналогично можно определить ПФ для объекта с несколькими входами и выходами.
Передаточную функцию линейной стационарной системы
можно представить в виде
W (s) =
x1(s)
x2(s)
B( s) bn ( s − ν1 )(s − ν 2 )...(s − ν m )
=
,
A( s) an ( s − λ1 )(s − λ 2 )...(s − λ n )
W1(s) =
W2 (s) =
y(s)
x1(s)
y(s)
y(s)
x2 (s)
Рис. 2.1. Передаточные функции объекта с двумя входами
Комплексные числа νi, являющиеся корнями многочлена B(s),
называются нулями передаточной функции, а λi – корни многочлена A(s) – полюсами.
56
Передаточная функция называется минимально-фазовой, если
все ее нули и полюсы располагаются в левой полуплоскости,
если же хотя бы один нуль или полюс располагается в правой
полуплоскости, то ПФ – неминимально-фазовая.
Если ПФ имеет нуль или полюс на мнимой оси, то ее называют маргинальной.
Если известна ПФ системы и входной сигнал, то можно определить выходной сигнал:
y ( s) = W ( s) x( s).
Пример 2.4. Дано дифференциальное уравнение при нулевых
начальных условиях:
3&y& + 2 y& + 6 y = 5x& + x.
Требуется найти соответствующую передаточную функцию.
Решение.
3s 2 y ( s ) + 2 sy ( s ) + 6 y ( s ) = 5sx( s ) + x( s ),
y ( s )(3s 2 + 2 s + 6) = x( s )(5s + 1),
y (s)
5s + 1
W (s) =
= 2
.
x( s ) 3s + 2 s + 6
Пример 2.5. Дана ПФ и описание входного сигнала:
W ( s) =
1
;
( s + 1)( s + 3)
x(t ) = e −2t ⋅ 1(t ).
Определить выходной сигнал.
Решение.
X ( s) =
1
;
s+2
Y (s ) = W (s) X ( s) =
1
.
( s + 1)( s+2)( s + 3)
57
Знаменатель имеет три корня: s1 = –1, s2 = –2, s3 = –3, поэтому
можно записать:
Y (s) =
1
A
B
C
=
+
+
.
(s + 1)(s + 2)(s + 3) s + 1 s + 2 s + 3
Откуда следует
A( s + 2)(s + 3) + B( s + 1)(s + 3) + C (s + 1)(s + 2) = 1,
A( s 2 + 5s + 6) + B( s 2 + 4s + 3) + C ( s 2 + 3s + 2) = 1.
Следовательно
 As 2 + Bs 2 + Cs 2 = 0,
 A + B + C = 0,
 A = 0.5,



5 As + 4 Bs + 3Cs = 0, ⇒ 5 A + 4 B + 3C = 0, ⇒  B = −1,
 6 A + 3B + 2C = 1.
C = 0.5.
6 A + 3B + 2C = 1.



Таким образом:
y (s) =
1
0,5
1
0,5
=
−
+
;
(s + 1)(s + 2)(s + 3) s + 1 s + 2 s + 3
y (t ) = 0,5e − t − e − 2t + 0,5e − 3t .
Пример 2.6. Дана ПФ и описание входного сигнала:
W (s) =
1
;
( s + 1)( s + 3)
x(t ) = 1(t ) − 1(t − 2).
Требуется определить выходной сигнал.
Решение.
1
1
x ( s ) = − e −2 s ;
s
s
1
y ( s) = W ( s ) x( s) =
(1 − e −2 s ).
s ( s + 1)( s + 3)
58
1
1 1

 1 1 - (t-2) 1 - 3(t - 2) 
y (t ) =  - e -t + e- 3t 1(t ) -  - e
+ e
1(t − 2).
6
6

3 2

3 2
Пример 2.7. Дана ПФ и описание входного сигнала:
W (s) =
20 s 2 + 180
;
s 3 + 9 s 2 + 27 s + 27
x(t ) = 2 sin(3t ) + 1.
Требуется определить установившийся выходной сигнал.
Решение.
X (s) =
1
6
+ 2
.
s s +9
Таким образом:

6 
20s 2 + 180
1
 =
Y ( s) = W ( s) X ( s) =  + 2
 3
2
 s s + 9  s + 9 s + 27 s + 27 
(
)
6  20 s 2 + 180  20 s 2 + 180
6
20 s 2 + 9
1

= + 2
=
+
=

3
3
s 2 + 9 (s + 3)3
s (s + 3 )
 s s + 9  (s + 3) 
(
=
)
20s 2 + 180
120
20 s 2 + 120s + 180
+
=
.
3
3
s (s + 3 )
(s + 3)3
s (s + 3 )
20s 2 + 120s + 180
A
A2
A3
A
Y ( s) =
= 1 +
+
+ 4.
3
2
3
s + 3 (s + 3) (s + 3)
s
s(s + 3)
Откуда следует
20s 2 + 120s + 180 = A1 (s + 3) s + A2 (s + 3)s + A3 s + A4 (s + 3) .
2
3
180 = 27 A4 ,

120 = 9 A + 3 A + A + 27 A ,

1
2
3
4

 20 = 6 A1 + A2 + 27 A4 ,

A1 + A4 = 0.
59
Решение этой системы дает ответ: А1 = –6,66, A2 = –120, A3 =
360, A4 = 6,66.
Y ( s) =
20s 2 + 120s 2 + 180
6.66
120
360
6,66
=−
−
+
+
.
3
2
3
(s + 1) (s + 1) (s + 1)
s
s(s + 1)
y (t ) = L−1 (Y ( s )) = −6,66e − t − 120te − t + 360t 2e − t + 6,66 ⋅ 1(t ).
Пример 2.8. Известно описание входного и выходного сигналов:
x(t ) = 1(t ),
y (t ) = 2e − 2t .
Требуется определить передаточную функцию.
Решение.
1
2
y (s)
2s
x(s) = ,
y (s) =
, W ( s) =
=
.
s
s+2
x( s ) s + 2
Рассмотрим, как получаются ПФ некоторых простейших схем
(см. рис. 2.2).
R
L
u
R
u1
i
а)
C
i
u2
б)
Рис. 2.2. Простейшие электронные схемы
Для схемы на рис. 2.1, а будем считать входным сигналом
приложенное напряжение u, а выходным – ток в цепи i. Тогда
процессы в схеме описываются уравнением
60
u (t ) = L
di (t )
+ Ri (t ),
dt
которое в изображениях по Лапласу приобретает вид
U ( s) = LsI ( s) + RI (s) = I (s)(Ls + R).
Передаточная функция между входом и выходом схемы:
W ( s) =
I ( s)
1
1R
k
=
=
=
,
U ( s ) Ls + R (L / R )s + 1 Ts + 1
где k = 1/R – коэффициент передачи, T = L/R – постоянная времени.
Для схемы на рис. 2.1, б будем считать входной величиной
напряжение u1, а выходной – u2. При расчете передаточной
функции должны выполняться два условия:
− цепь не нагружена (никаких элементов к выходным зажимам не подключено, либо эти элементы имеют сопротивление, стремящееся к бесконечности);
− сопротивление источника входного напряжения настолько мало, что им можно пренебречь.

u1 (t ) = i (t ) R + uc (t ),

u2 (t ) = uc (t ),

duc (t )
.
 i (t ) = C
dt

Переходя к изображениям по Лапласу, имеем
U1 ( s) = ( RCs + 1)U c ( s),

U 2 ( s) = U c ( s ).
Передаточная функция
61
W ( s) =
U 2 (s)
U c (s)
1
,
=
=
U1 ( s) ( RCs + 1)U c ( s) Ts + 1
где T = RC – постоянная времени.
Рассмотрим далее ПФ для RLC-цепи, показанной на рис. 2.3.
R
L
u1
C
u2
i
Рис. 2.3. RLC-цепь
Здесь справедливы соотношения:
di

 u1 (t ) = i (t ) R + L dt + u c (t ),

1
u c (t ) = ∫ idt ,
C

(
)
=
u
t
uc .
 2

Преобразование Лапласа дает:

1 

 U 1 ( s ) = I ( s ) R + Ls + sC ,



1
U 2 ( s ) =
I ( s ).

sC
W ( s) =
62
1
1
U 2 ( s)
=
=
.
2
2
U1 ( s ) LCs + RCs + 1 T1s + T2 s + 1
Пример 2.9. Рассчитает закон изменения выходного напряжения при известных параметрах RLC- цепи и известном входном
напряжении.
Дано: u1 = 10 В, R = 3 Ом, L = 1 H, C = 0.5 Ф. Найти u2(t).
Решение.
W ( s) =
U 2 ( s)
1
2
=
=
.
2
U1 ( s ) 0.5s + 1.5s + 1 (s + 1)(s + 2)
U 2 ( s ) = U1 ( s )W ( s ) =
20
10 20
10
= −
+
.
s (s + 1)(s + 2) s s + 1 s + 2
u2 (t ) = 10 − 20e −t + 10e −2t .
Рассмотрим далее построение ПФ для механической системы
с линейным перемещением y(t) (рис. 2.4).
63
fПР= –k1y(t)
fТР= –k2dy(t)/dt
M
y
f(t)
Рис. 2.4. Механическая система с линейным перемещением
На тело массой M действует три силы: внешняя сила f(t),
сила трения fТР(t), пропорциональная скорости, и сила упругости
пружины fПР (t), пропорциональная перемещению.
Под действием этих сил тело массой M движется согласно закону Ньютона, который гласит, что сумма сил, действующих на
тело, равна произведению массы тела на его ускорение:
d 2 y (t )
dy (t )
M
= f (t ) − k2
− k1 y (t ),
2
dt
dt
а передаточная функция
W(s) =
Y(s)
1
=
.
2
F(s) Ms + k 2 s + k1
Это выражение определяет зависимость положения y(t) от
действующей силы f(t).
Как показали приведенные примеры для RLC-цепи и механической системы с линейным перемещением, разным по своей
64
физической природе объектам может соответствовать одна и та
же ПФ. Этим определяется универсальный характер аппарата
ПФ.
2.3. Типовые динамические звенья
Поскольку произвольный полином можно разложить на множители, сложную ПФ можно представить в виде произведения
простых ПФ с порядком не выше 2-го. Такие простые ПФ называют элементарными или типовыми (табл. 2.3).
Таблица 2.3
Типовые динамические звенья
№
Название звена
1
Интегрирующее
2
Дифференцирующее
Усилительное
ПФ звена
k
W (s) =
s
W (s) = ks
W ( s) = k
3
4
(безынерционное)
Апериодическое 1 -го
порядка
(инерционное)
Апериодическое 2-го
порядка
5
(все корни вещественные)
W (s) =
W (s) =
k
Ts + 1
k
;
T s + T1 s + 1
2 2
2
T1 ≥ 2T2
65
Продолжение табл. 2.3
6
Колебательное*
7
Консервативное
W (s) =
Интегрирующее с запаздыванием
8
k
; T1 < 2T2
T s + T1 s + 1
k
W (s) = 2
Ts + 1
2 2
2
W ( s) =
(реальное интегрирующее)
Дифференцирующее
9
с запаздыванием
10
(реальное дифференцирующее)
Форсирующее
11
Изодромное
12
Звено с чистым запаздыванием
k
s (Ts + 1)
W (s) =
ks
Ts + 1
W (s) = k (Ts + 1)
k (Ts + 1)
W (s) =
s
W (s) = e−τs
* часто используется описание колебательного звена в виде
W ( s) =
K
;
T s + 2ξTs + 1
2 2
T = T2 ,
ξ=
T1
.
2T2
Большинство реальных динамических объектов допускает
описание с помощью ПФ первого или второго порядка (возможно – с запаздыванием), так что типовое описание объекта управления имеет вид
66
W ( p) =
k exp( − τs )
;
(T1s + 1)(T2 s + 1)
T1 > 2T2 .
(2.1)
Для объектов управления с явно выраженной преобладающей
постоянной времени передаточная функция упрощается
W ( p) =
k exp( − τs )
,
Ts + 1
(2.2)
где K, T, τ – коэффициент усиления, постоянная времени и запаздывание, которые должны быть определены в окрестности
номинального режима работы объекта.
Для объекта управления без самовыравнивания передаточная
функция имеет вид
ke − τs
W ( s) =
.
(2.3)
s
Рассмотрим метод касательной – экспериментальный метод
определения временных динамических характеристик объекта
управления (2.2), который предполагает подачу на вход объекта
пробного тестирующего сигнала – прямоугольного ступенчатого
сигнала. Кривая переходного процесса (кривая разгона) показана на рис. 2.5.
Коэффициент усиления k показывает, во сколько раз данное
звено усиливает входной сигнал, таким образом:
k=
y уст
g
.
Точка перегиба соответствует переходу кривой от режима ускорения к режиму замедления темпа нарастания выходного сигнала. Постоянная времени Т определяется в соответствии с графиком рис. 2.5.
67
y(t), g(t)
yуст
y(t)
0.63yуст
g(t)
0.1yуст
τ0.
τз τ
t
T
Рис. 2.5. Кривая разгона динамического объекта
Достаточно точной считается также оценка вида:
T = τ 0.63 − τ з .
Динамическое запаздывание τ также определяется по графику, и складывается из двух компонент:
τ = τз + τd,
где τз – чистое (емкостное) запаздывание; τd – транспортное запаздывание.
Для объекта без самовыравнивания вида (2.3) динамический
коэффициент усиления K определяется как отношение установившейся скорости изменения выходной величины y к величине
скачка входного сигнала. При единичном скачке:
68
k=
∆y
.
∆t
Таким образом, при описании апериодического звена 1-го порядка используются два коэффициента, которые имеют четкий
физический смысл: K – коэффициент усиления; T – постоянная
времени.
При описании колебательного звена также желательно иметь
параметры, отражающие физический смысл. С этой целью применяется следующая форма записи:
W ( p) =
ωn2
.
s 2 + 2ξωn s + ωn2
(2.4)
где ξ – безразмерный коэффициент затухания; ωn – собственная
частота колебаний (частота при отсутствии затухания).
Пример 2.10. Дана ПФ колебательного звена:
W ( s) =
1425
.
s + 20s + 1500
2
Требуется записать ПФ в форме (2.4).
Решение.
ω2n = 1500 ⇒ ωn = 38,73 .
2ξωn = 20 ⇒ ξ = 0,258 .
Таким образом,
1425
ωn2
W (s) = 2
= 0,95 2
.
s + 20s + 1500
s + 2ξωn s + ω2n
Наиболее универсальным алгоритмом определения параметров модели следует признать метод наименьших квадратов
(МНК). С его помощью можно построить модель не только второго, но и более высоких порядков. Для использования МНК
69
необходимы массивы значений входных и выходных сигналов
объекта, снятых через некоторый интервал времени (период
квантования).
2.4. Временные характеристики
О динамических свойствах звена (или системы) судят по реакции на типовые входные воздействия (единичное ступенчатое
(рис. 2.6, а), единичное импульсное (рис. 2.6, б), с постоянной
скоростью – рамповое (рис. 2.6, в) и т. д.).
a)
б)
в)
x(t)
δ(t)
∞
1(t)
1
0
t
0
t
0
t
Рис. 2.6. Типовые входные воздействия
Единичное ступенчатое воздействие (единичная функция или
функция Хевисайда) – это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным:
0
1(t ) = 
1
при
t < 0,
при
t ≥ 0.
1
L (1(t )) = .
s
70
δ-функция (единичный импульс или функция Дирака) – это
импульс, площадь которого равна единице при длительности,
равной нулю, и высоте, равной бесконечности:
при
при
при
0

δ(t ) = ∞
0

t < 0,
t = 0,
t > 0.
Согласно определению δ-функции справедливо:
∞
∫ δ(t )dt = 1(t ).
−∞
L(δ(t )) = 1.
Единичное рамповое воздействие (воздействие с постоянной
скоростью).
x = t ⋅ 1(t );
L(t ⋅ 1(t )) =
1
.
s2
Изменения во времени выходной величины звена (системы)
называют временными характеристиками звена (системы) или
кривыми отклика.
Переходная характеристика – аналитическое выражение отклика звена на единичное ступенчатое входное воздействие при
нулевых начальных условиях:
1

h(t ) = L−1  W ( s ) .
s

Произведение ПФ на изображение единичного ступенчатого
воздействия, стоящее в квадратных скобках, соответствует изображению переходной характеристики. Графическое изображение переходной функции – кривая разгона.
71
Импульсная переходная характеристика (весовая функция) –
аналитическое выражение отклика звена на единичное импульсное входное воздействие при нулевых начальных условиях:
w(t ) = L−1 (W (s ) ⋅ 1) = L−1 (W (s) ).
Графическое изображение импульсной переходной функции
– кривая веса.
Как нетрудно заметить:
sL(h(t )) = L(w(t ) ).
Таким образом, чтобы найти w(t), достаточно продифференцировать h(t).
Рамповая переходная характеристика – аналитическое выражение отклика звена на единичное рамповое входное воздействие при нулевых начальных условиях:
1

x (t ) = L−1  W ( s ) 2 .
s 

Переходная, импульсная переходная и рамповая переходная
характеристики являются частными случаями временных характеристик (см. рис. 2.5).
Пример 2.11. Найти реакцию апериодического звена 1-го порядка при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия
и единичного импульса.
W (s) =
1
;
Ts + 1
1
x( s ) = .
s
 1 1
B 
T 
A
−1  1
 = L−1  +
h(t ) = L−1 
=L  −
=
 s Ts + 1 
 s Ts + 1 
 (Ts + 1) s 
1
− t
1
 T 
= L−1   − L−1 
 = 1(t ) − 1(t )e T .
s
 Ts + 1 
72
1
dh(t ) 1 − T t
w(t ) =
= e
.
dt
T
Пример 2.12. Дана переходная функция
h(t ) = 1 + 2te−4t .
Определить ПФ.
Решение.
Переходная функция – это реакция на единичное ступенчатое
воздействие:
h(t ) = L−1 (W ( s ) x( s ) ),
где
1
x( s) = .
s
 2 
1
=
h(t) = 1(t ) + 1(t )2te −4t = L−1   + L−1 
2 
s
 (s + 4) 
(
(
) .
) 
2
2
1
2 
−1  s + 10 s + 16 
−1  1 s + 10 s + 16




= L−1  +
=
L
=
L
2 
 s s 2 + 8s + 16
 s(s + 4)2 

 s (s + 4 ) 


Таким образом:
W ( s) =
s 2 + 10 s + 16
.
s 2 + 8s + 16
Пример 2.13. Рассмотрим временные характеристики колебательного звена.
Передаточная функция колебательного звена
W (s) =
k
,
T s + 2ξTs + 1
2 2
где k – коэффициент усиления; T – постоянная времени; ξ – коэффициент затухания.
73
Колебательное звено меняет свои свойства и название в зависимости от величины ξ:
1) если 0 < ξ < 1, то звено называется колебательным, так как
его временные характеристики носят колебательный характер;
2) если ξ ≥ 1, то звено называется апериодическим звеном
второго порядка и колебания отсутствуют;
3) если ξ = 0, то звено называется консервативным (т. е. консервирующим колебания).
Определим переходную характеристику колебательного звена.

1
1

h(t ) = L−1  W ( s )  = kL−1 
2 2
s

 s T s + 2Tξs + 1
(
1
T 2 s 2 + 2Tξs

= kL  − 2 2
 s T s + 2Tξs + 1
−1
(
)

.

Введем обозначение λ – показатель затухания:
λ=
ξ
,
T
и ω – угловая частота колебаний:
ω=
1 − ξ2
.
T
Тогда переходная характеристика равна
74
)

 =

 1 1 T 2 s 2 + 2Tξs 
=
h(t ) = kL−1  − 2
2
2 
 s T (s + λ ) + ω 
ξ


s+


ξ
ω
−1 1
T
=
= kL  −
−
2
2
2
2
 s (s + λ ) + ω ωT (s + λ ) + ω 


1

s+λ
λ
ω
⇔
= kL−1  −
−
2
2
2
2 
 s (s + λ ) + ω ω (s + λ ) + ω 
λ


⇔ k 1 − e− λt cos(ωt ) − e − λt sin(ωt ).
ω


Импульсная переходная характеристика
w(t ) =
dh(t )
k − λt
=
e sin ωt.
dt
ωT 2
Пример 2.14. Временные характеристики консервативного
звена.
Здесь λ = 0 и ω = 1/T, поэтому справедливо:
λ


h(t ) = k 1 − e − λt cos(ωt ) − e − λt sin (ωt ) = k (1 − cos(ωt )),
ω


k
w(t ) = kω sin(ωt ) = sin(ωt ).
T
2.5. Передаточная функция системы с обратной
связью
Рассмотрим передаточную функцию одномерной системы с
отрицательной обратной связью (рис. 2.7, где W – передаточная
функция разомкнутой системы; WOC – передаточная функция
обратной связи).
75
g(t)
e(t)
y(t)
W
yoc(t)
WOC
Рис. 2.7. Система с отрицательной обратной связью
Здесь справедливы следующие зависимости:
y ( s ) = W ( s )e( s ),
yOC ( s ) = WOC ( s ) y ( s ),
e( s ) = g ( s ) − yOC ( s ),
g ( s ) = e( s ) + yOC ( s ).
Тогда ПФ замкнутой системы Wз получается по формуле:
y (s)
W ( s )e ( s )
W ( s)
W (s)
=
=
=
=
g ( s) e( s) + yOC ( s) 1 + yOC ( s) 1 + W y ( s)
OC
e( s )
e( s )
W ( s)
=
.
1 + WOC ( s)W ( s)
Wз ( s) =
При положительной обратной связи в знаменателе сумма
превратится в разность.
Если отрицательная обратная связь единичная, то
Wз ( s ) =
76
y (s)
W ( s)
=
.
g ( s) 1 + W ( s)
(2.5)
Формула (2.5) показывает, что коэффициент усиления замкнутой системы меньше коэффициента усиления разомкнутой
системы.
Рассмотрим вариант, когда WOCW >> 1, тогда
Wз ( s ) =
W (s)
1
≈
,
1 + WOC ( s )W ( s ) WOC ( s )
и выходной сигнал
y(s) =
1
WOC ( s )
g ( s ).
При WOC = 1 выходной сигнал становится равным входу, однако условие WOCW >> 1 может привести к потере устойчивости
системы.
Таким образом, введение обратной связи позволяет сформировать сигнал, пропорциональный ошибке управления, так что
уменьшается влияние изменений параметров объекта управления на выходной сигнал, т.е. снижается чувствительность системы управления.
Чувствительность системы S определяется как отношение
процентного изменения ПФ системы к процентному изменению
ПФ объекта.
Передаточная функция системы равна отношению выходного
сигнала к входному:
WS =
Y (s)
.
G(s)
Поэтому чувствительность разомкнутой системы S = 1.
Для замкнутой системы:
S=
∆WS ( s ) / WS ( s ) ∂WS ( s ) / WS ( s ) ∂WS ( s ) W ( s )
=
=
⋅
.
∆W ( s ) / W ( s )
∂W ( s ) / W ( s )
∂W ( s ) WS ( s )
Поскольку
77
WS ( s ) =
W (s)
,
1 + WOC ( s )W ( s )
Получаем
S=
∂WS ( s ) W ( s )
1
⋅
=
.
∂W ( s ) WS ( s ) 1 + WOC ( s )W ( s)
Часто бывает нужно определить чувствительность относительно параметра α ПФ объекта W(s). Здесь можно использовать
формулу:
Sα =
∂WS / WS ∂WS α
=
⋅
.
∂α / α
∂α WS
Пример 2.15. Рассмотрим систему с обратной связью, показанную на рис. 2.8.
g(t)
e(t)
y(t)
1
s+α
Рис. 2.8. Система с варьируемым параметром α
Здесь
WS ( s ) =
1
,
s + α +1
Sα = −
α
.
s + α +1
Пример 2.16. Исследуем чувствительность системы 2-го порядка относительно коэффициента усиления К (рис. 2.9).
78
g(t)
y(t)
e(t)
K
s +s
2
Рис. 2.9. Система с варьируемым коэффициентом усиления
WS ( s ) =
K
,
s+α+K
SK = −
s2 + s
.
s2 + s + K
Исследования чувствительности выполняются при проектировании робастных систем, сохраняющих высокое качество
функционирования при наличии неопределенных факторов.
2.6. Частные передаточные функции
В соответствии с принципом суперпозиции, можно выразить
любой выходной сигнал линейной системы через любой входной сигнал при условии, что все остальные входные сигналы
равны нулю и имеются нулевые начальные условия.
Рассмотрим одноконтурную систему, т.е. такую систему, у
которой при размыкании в какой-либо точке замкнутого контура
получается цепь без параллельных и обратных соединений (рис.
2.10).
79
F(s)
U(s)
E(s)
Y(s)
W1(s)
Yoc(s)
W2(s)
Woc(s)
Рис. 2.10. Система управления с обратной связью
Цепь по ходу сигнала от точки приложения входного сигнала до точки съема выходного сигнала называется прямой цепью. Прямая цепь представляет собой последовательное соединение звеньев, включая сумматоры (передаточная функция сумматора по входу плюс равна единице, а по входу минус – минус
единице). На рис. 2.12 для входного сигнала U(s) и выходного
сигнала Y(s) прямая цепь W1(s)W2(s).
Существует правило вычисления ПФ замкнутой одноконтурной системы: передаточная функция Wxy одноконтурной системы относительно внешнего воздействия x и выхода y равна
ПФ прямой цепи, деленной на единицу минус ПФ контура:
Wxy ( s ) =
WП ( s )
Y (s)
=
.
X ( s) 1 − WK ( s)
Главная ПФ или ПФ замкнутой системы:
Wзс ( s ) =
Y ( s)
W1 ( s )W2 ( s )
=
.
U ( s ) 1 + W1 ( s )W2 ( s )Woc ( s )
При нулевом входном сигнале U(s) = 0, ПФ по возмущению
(от возмущения к выходу). Рис 2.10 преобразуется к виду, приведенному на рис. 2.11.
80
Y(s)
F(s)
W2(s)
U(s) = 0
W1(s)
Yoc(s)
Woc(s)
Рис. 2.11. Система управления при отсутствии входного сигнала
Таким образом, ПФ по возмущению:
W f (s) =
Y ( s)
W2 ( s )
=
.
F ( s ) 1 + W1 ( s )W2 ( s )Woc ( s )
Эта ПФ позволяет выразить влияние возмущения на выходной сигнал.
Окончательно выходной сигнал системы выражается формулой
Y ( s ) = Wзс ( s )U ( s ) + W f ( s ) F ( s ).
Можно легко найти и другие частные ПФ. Помимо входного
и выходного сигналов в системе, важными являются сигналы
ошибки, возмущающего воздействия и сигнал обратной связи.
По отношению к этим сигналам имеется несколько часто использующихся ПФ. Так, для сигнала ошибки имеем
E ( s ) = We ( s )U ( s ) + Wef ( s ) F ( s),
где We(s) – передаточная функция по ошибке; Wef(s) – ПФ по
ошибке и возмущению (от возмущения к ошибке).
Передаточная функция по ошибке и возмущению (от возмущения к ошибке):
81
Wef ( s ) =
E (s)
− W2 ( s )Woc ( s )
=
.
F ( s ) 1 + W1 ( s )W2 ( s )Woc ( s )
Передаточная функция по ошибке:
We ( s ) =
1
E ( s)
.
=
U ( s ) 1 + W1 ( s )W2 ( s )Woc ( s )
Можно получить эту формулу иначе.
Поскольку E(s) = U(s) – Yос(s), и ПФ по обратной связи
WYoc ( s ) =
Yoc ( s )
W1 ( s )W2 ( s )Woc ( s )
=
,
U ( s ) 1 + W1 ( s )W2 ( s )Woc ( s )
то
We ( s ) =
E (s)
W1 ( s )W2 ( s )Woc ( s )
1
= 1−
=
.
U (s)
1 + W1 ( s )W2 ( s )Woc ( s ) 1 + W1 ( s )W2 ( s )Woc ( s )
При единичной обратной связи (Wос(s) = 1):
We ( s) =
E ( s)
1
=
.
U ( s) 1 + W1 ( s )W2 ( s )
Передаточная функция We(s) позволяет выразить ошибку e(t)
в системе при известном входном воздействии. Это основное
средство исследования точности САУ.
2.7. Точность в установившихся режимах
При проектировании систем управления часто требуется оценить ошибку слежения в установившемся режиме
e уст = lim e(t ) .
t →∞
82
Эта ошибка зависит как от свойств системы, так и от вида
входного сигнала.
Величина установившейся ошибки может быть найдена с помощью теоремы о предельном значении оригинала:
e уст = lim e(t ) = lim se( s ) .
t →∞
s→0
Пример 2.17. Рассмотрим разомкнутую систему управления,
заданную передаточной функцией H(t) (рис. 2.12).
g(s)
y(s)
e(s)
H(s)
Рис. 2.12. Установившаяся ошибка разомкнутой системы
Пусть
H ( s) =
1
;
0,1s + 0,02s + 1
2
2
g (s) = .
s
Тогда по теореме о предельном значении получаем
eуст = lim s ( g ( s ) − g ( s ) H ( s ) ) = lim s ( g ( s )(1 − H ( s )) ) =
s →0
s →0
 
 0,2 s 2 + 0,04 s 
1



 = 0.
= lim 21 −
=
lim

2
2

s →0
  0,1s + 0,02 s + 1   s → 0  0,1s + 0,02 s + 1 
Рассмотрим более сложный входной сигнал: g(t) = 3t + 2. Ему
соответствует изображение по Лапласу:
g ( s) =
3 2
+ .
s2 s
83
Для этого сигнала:
eуст = lim s( g ( s ) − g ( s ) H ( s ) ) = lim s ( g ( s )(1 − H ( s )) ) =
s →0
s →0
 3
 0,1s + 0,02 s  
 =
= lim  + 2 
2
s →0
 0,1s + 0,02s + 1  
 s
 0,3s + 0,06
0,2 s 2 + 0,04 s 
 = 0.06
= lim
+
s → 0 0,1s 2 + 0,02 s + 1
0,1s 2 + 0,02 s + 1 

2
Рассмотрим далее вариант, когда ПФ имеет коэффициент
усиления k:
H ( s) =
k
;
0,1s + 0,02s + 1
2
2
x( s ) = .
s
Тогда по теореме о предельном значении получаем
eуст = lim s ( g ( s ) − g ( s ) H ( s ) ) = lim s( g ( s )(1 − H ( s )) ) =
s →0
s →0
 
 0,2 s 2 + 0,04 s + 2 − 2k 
k



 =
= lim 21 −
  = lim
2
2
s →0
s →0
0
,
1
s
+
0
,
02
s
+
1
0
.
1
s
+
0
,
02
s
+
1






= 2 − 2k .
И при k = 3, например, получаем ошибку –4.
В замкнутой системе управления также можно использовать
теорему о предельном значении:
e уст = lim e(t ) = lim se( s ) .
t →∞
s→0
Рассмотрим замкнутую систему управления с единичной обратной связью (рис. 2.13).
84
g(s)
e(s)
y(s)
H(s)
Рис. 2.13. Система с единичной обратной связью
e( s ) = g ( s ) − y ( s ) = g ( s ) − H ( s ) e ( s ) ⇒
1
e( s ) =
g ( s ) = We g ( s ),
1 + H (s)
где We(p) – передаточная функция по ошибке.
Таким образом:
eуст = lim e(t ) = lim se( s ) = lim s (We ( s ) g ( s ) ) .
t →∞
s→0
s→0
Обычно точность САУ определяют для типовых режимов
работы. Простейшими из них являются режимы:
1. при постоянной величине внешнего воздействия:
1
1

eуст = lim s We ( s)  =
,
s →0
s
 1+ K
K = lim(H ( s) );
s →0
2. при изменении внешнего воздействия с постоянной скоростью:
1
 1
eуст = lim s 2 We ( s )  =
,
s →0
s
 KV
KV = lim(sH ( s ) );
s →0
85
3. при изменении с постоянным ускорением (параболическое
воздействие).
1
 1
eуст = lim s 3 We ( s )  =
,
s→0
s
 KA
(
)
K A = lim s 2 H ( s ) .
s →0
Пример 2.18. Дана передаточная функция разомкнутой системы
W ( s) =
3
.
2s + 4s + 1
2
Требуется найти установившуюся ошибку замкнутой системы при входном воздействие g(t) = 2.
Решение.
We ( s ) =
2s 2 + 4s + 1
,
2s 2 + 4s + 4
 2  2s 2 + 4s + 1  
  = 0,5.
e уст ( s ) = lim s  2
s →0
 s  2s + 4s + 4  
Пример 2.19. Определить статическую ошибку системы, приведенной на рис. 2.14 при g(t) = 1 + 2t .
86
g(t)
e(t)
5
y(t)
s(2 s + 1)
Рис. 2.14. Пример замкнутой системы
Решение.
eуст = lim e(t ) = lim se ( s ) = lim s (We ( s ) g ( s ) ) .
t →∞
s→0
s →0




1
1 2 

=
eуст = lim s ( g ( s )We ( s ) ) = lim s  + 2 
s →0
s →0  s
5

s

1+

s (2s + 1) 

  2  s (2s + 1) 
 s (2s + 1)
2(2 s + 1) 
 = lim
 = 0,4.
lim 1 + 
+
s →0
s  s (2s + 1) + 5  s → 0  s (2s + 1) + 5 s (2s + 1) + 5 

Передаточную функцию разомкнутой системы H(s) можно
представить в следующем виде:
H ( s) =
k (bm s m + bm −1s m −1 + ... + b1s + 1) k R(s)
=
,
s r (an s n + an −1s n −1 + ... + a1s + 1) s r Q(s)
где k – коэффициент усиления разомкнутой системы; r – количество нулевых полюсов в системе (порядок астатизма).
Тогда
We ( s ) =
1
1
s r Q( s)
g ( s) =
g (s) = r
g ( s) .
kR( s )
1 + H ( s)
s
Q
(
s
)
+
kR
(
s
)
1+ r
s Q( s)
87
Введем обозначения для систем с разным порядком астатизма:
H 0 (s) =
kR( s )
kR( s )
kR( s )
; H1 ( s ) =
; H 2 ( s) = 2
.
Q( s)
sQ( s )
s Q( s )
Рассмотрим установившуюся ошибку при различных значениях входного сигнала.
1) Пусть на вход замкнутой системы подан постоянный
сигнал:
g
g (t ) = g 0 = const , g ( s ) = 0 ,
s
g
1
g0
eуст = lim s 0
= lim
.
s →0
s
→
0
s 1 + H ( s)
1 + H ( p)
При H(s) = H0(s) получаем
eуст = lim
s →0
Q( s )
g
g0 = 0 .
Q( s ) + kR( s )
1+ k
Как видно из этой формулы, для уменьшения величины
ошибки надо увеличивать общий коэффициент усиления k разомкнутой цепи системы. Поэтому величина k именуется добротностью системы.
Признак статической системы – отсутствие нулевых полюсов
у ПФ разомкнутой системы.
При H(s) = H1(s) получаем
eуст = lim
s →0
sQ( s )
g0 = 0 .
sQ( s ) + kR( s )
Аналогичный результат получается при r = 1, 2…
88
В следящей системе интегрирующим звеном, создающим
астатизм, является исполнительный двигатель. Угол поворота
вала (или линейное перемещение) будет пропорционален интегралу от входного управляющего сигнала (напряжения).
2) Движение с постоянной скоростью.
g (t ) = g 0 + g1 t ,
g 0 = const ,
eуст
g1 = const .
g
g
g (s) = 0 + 21 .
s s
g 
1
g
= lim s 0 + 21 
;
s →0
 s s  1 + H (s)
При H(s) = H0(s) получаем
sQ( s )
 g 0 g1 
 + 2 =∞.
s →0 Q( s) + k R( s)
 s s 
eуст = lim
При H(s) = H1(s) получаем
s 2Q(s)
 g0 g1  g1
eуст = lim
 + 2= .
s → 0 sQ( s ) + k R( s )
 s s  k
Эта ошибка называется скоростной ошибкой системы.
При H(s) = H2(s) получаем
s 3Q(s)
 g0 g1 
eуст = lim 2
 + 2  = 0.
s → 0 s Q( s ) + k R( s )
 s s 
3) Движение с постоянным ускорением
g (t ) = g 0 + g1t + g 2t 2 ,
g (s) =
g 0 g1 g 2
+ + .
s s2 s3
89
При H(s) = H0(s) получаем
s Q(s )
 g 0 g1 g 2 
 + 2 + 3 =∞.
s →0 Q( s) + k R( s)
s 
 s s
eуст = lim
При H(s) = H1(s) получаем
s 2 Q( s )
 g0 g1 g2 
eуст = lim
 + 2 + 3  = ∞.
s →0 sQ( s ) + k R( s )
s 
 s s
При H(s) = H2(s) получаем
s 3 Q( s )
 g0 g1 g2  g2
.
 + 2 + 3 =
2
s → 0 s Q( s ) + k R( s )
s  k
 s s
eуст = lim
Это ошибка системы по ускорению.
Величина
g
k= 2 .
eуст
называется добротностью по ускорению системы.
Она может использоваться для оценки точности только систем с астатизмом второго порядка.
Пример 2.20. Рассмотрим установившуюся ошибку в системе
с П-регулятором (рис. 2.15).
g(t)
e(t)
u(t)
Kp
5
s +1
Рис. 2.15. Пример П-регулятора
Пусть g(t) = 40, тогда g(s) = 40/s и
90
y(t)
e уст




 40  1 
= lim s ( g ( s )We ( s ) ) = lim s  
=
s →0
s →0 
 s  1 + 5K p 


s +1 

 40(s + 1) 
 ≈ 40 .
= lim

s →0 s + 5 K + 1 
p

 5K p + 1
Пример 2.21. Рассмотрим установившуюся ошибку в системе
с ПИ-регулятором (рис. 2.16).
Kp
g(t)
e(t)
u(t)
5
y(t)
s +1
Ki
s
Рис. 2.16. Пример ПИ-регулятора
Пусть g(t) = 40, тогда
91




1
 40 
=
eуст = lim s( g ( s)We ( s) ) = lim s  
s →0
s →0 
 s  1 + 5(K p + K i / s ) 


s +1







1
40s(s + 1)
 40 

 = lim
 = 0.
= lim s  
s →0 
 s  1 + 5(K p s + K i )  s → 0  s(s + 1) + 5(K p s + K )i 


s(s + 1) 

При подаче линейно растущего входного сигнала: g(s) = 40/s2

 40
40(s + 1)
=
eуст = lim s ( g ( s )We ( s ) ) = lim
.
s →0
s → 0  s (s + 1) + 5(K s + K ) 
5
K
p
i
i


2.8. Преобразование структурных схем
Структурная схема САУ состоит обычно из множества
блоков, описываемых с помощью ПФ. Различные способы преобразования структурных схем облегчают определение ПФ
сложных САУ и дают возможность привести многоконтурную
систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме.
Преобразование структурной схемы САУ может быть
выполнено на основании правил, основные из которых приведены в табл. 2.3.
92
Таблица 2.3
Правила преобразования структурных схем
Структурная схема
Преобразование
Свертывание последовательного
соединения
Свертывание параллельного соединения
Исходная
Эквивалентная
x
W
W
y
W
y
x
W
W=W1W2…Wn
x
W1
x
W2
y
W
y
W=W1+W2+…+
Wn
Wn
Продолжение табл. 2.3.
Свертывание обратной
связи
Перенос
узла через
звено вперед
x
x
y
y
W
W
±
W=
W
W1
1 ± W1W2
y
x
x
W
x
y
W
x
W
W1 =
1
W
93
Перенос
узла через
звено назад
x
Перенос
сумматора
через звено
вперед
x1
y
x
y
W
W
y
W
y
x2
x1
W
±
x1
y
y
W
W
Перенос
сумматора
через звено
назад
W
W
±
x2
y
x1
±
±
x2
W
x2
1
W
Продолжение табл. 2.3.
W1 =
Перенос
прямой связи
через звено
W
x
W
±
W
y
x
W
W
±
y
W4=W3W2
Перенос узла через
сумматор
вперед
94
y
x1
x1
y
x1
x1
x2
x2
y
W
Перенос узла через
сумматор
назад
y
x1
y
x1
y
x2
y
x2
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся
в схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном.
Затем можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров, чтобы в преобразованной схеме образовались новые типовые соединения звеньев. Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями, затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и сумматоров и т. д.
Пример 2.22. Пусть необходимо получить эквивалентное
представление для структуры, приведенной на рис. 2.17.
95
W
x
W
W
W
y
W6
W7
W
Рис. 2.17. Исходная структура САУ
Преобразование включает несколько этапов, показанных на
рис. 2.18 – 2.21.
W
y
x
W
W
W
W
W
W
1/
Рис. 2.18. Перенос узла через блок W6
W
y
x
W
W
W9 =
W5W6
;
1 + W7W6W5
W8 =
W4
.
W6
W
W
Рис. 2.19. Свертывание обратной связи и последовательного соединения
96
y
x
W1
W1
W10 =
W3W9
1 − W8W3W9
W11 = W1 + W2
Рис. 2.20. Свертывание обратной связи и параллельного
соединения
Wэк
Wэкв = W10W11 =
W1W3W5W6 + W2W3W5W6
1 + W5W6W7 − W3W4W5
Рис. 2.21. Свертывание последовательного соединения
Таким образом, первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил,
приведенных в табл. 2.3. Неудобство использования этого подхода заключается в том, что порядок применения формул здесь
достаточно произволен, возможны ошибочные шаги, усложняющие поиск решения.
2.9. Сигнальные графы и формула Мейсона
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы
заключается в использовании модели системы в виде сигнального графа.
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные
связи между переменными, он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их направленных ветвей.
97
Ветвь соответствует блоку структурной схемы, она отражает
зависимость входной и выходной переменных. Сумма всех сигналов, входящих в узел, образует соответствующую этому узлу
переменную.
Последовательность ветвей между двумя узлами называется
путем.
Контуром называется замкнутый путь, который начинается и
заканчивается в одном и том же узле, причем ни один узел не
встречается на этом пути дважды. Коэффициент передачи контура – это произведение всех входящих в него дуг.
Контуры называются некасающимися, если они не имеют
общих узлов.
Сигнальный граф однозначно соответствует структурной
схеме.
Пусть X(s) и Y(s) – входная и выходная переменные системы.
Тогда для вычисления ПФ системы управления по ее графу
можно воспользоваться формулой Мейсона:
W ( s) =
X ( s) 1 N
= ∑ Pi ( s )∆ i ( s ),
Y ( s ) ∆ i=1
где Pi(s) – передаточная функция i-го отдельного прямого пути
от X(s) до Y(s), вычисленная как произведение передаточных
функций дуг, входящих в этот путь; ∆(s) – определитель графа.
∆( s ) = 1 − ∑ L j ( s ) + ∑ L j ( s ) Lk ( s ) −
j
j ,k
∑ L ( s) L (s ) L
j
k
m
( s ) + ...,
j ,k ,m
где Lj(s) – ПФ j-го замкнутого контура, равная произведению
ПФ дуг, входящих в этот контур; Lj(s)Lk(s) – произведение ПФ
пары (j-го и k-го) замкнутых контуров, не касающихся ни дугами, ни вершинами, суммирование осуществляется по всем парам
не касающихся контуров; Lj(s)Lk(s)Lm(s) – произведение тройки
(j-го, k-го и m-го) не касающихся контуров, суммирование производится по всем тройкам не касающихся контуров.
98
∆i(s) – дополнительный множитель для i-го пути равен определителю графа, в котором приравнены нулю коэффициенты
передачи контуров, касающихся этого пути.
Пример 2.23. Получить ПФ системы с обратной связью (рис.
2.22).
X(s)
E(s)
Y(s)
W1(s)
W2(s)
W3(s)
Рис. 2.22. Система с обратной связью
Соответствующий сигнальный граф показан на рис. 2.23.
W1(s)
X(s)
Y(s)
–W2(s)
Рис. 2.23. Граф системы с обратной связью
От входа к выходу ведет один путь
P1 = W1 ( s ).
В графе есть один контур
L1= –W1W2.
99
Таким образом:
∆( s ) = 1 − ∑W j ( s ) = 1 + W1W2 .
j
Дополнительный множитель пути равен 1, следовательно:
W3 ( s ) =
W1 ( s )
.
1 + W1 ( s )W2 ( s )
Пример 2.24. Рассмотрим получение ПФ многоконтурной
системы с использованием формулы Мейсона для структуры
рис. 2.17, которой соответствует граф, показанный на рис. 2.24.
W2
X(s)
W1
W3
W5
W6
Y(s)
–W7
W4
Рис. 2.24. Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути:
P1=W1W3W5W6,
P2= W2W3W5W6.
В графе есть два контура:
L1= W3W5W4,
L2= –W5W6W7.
Контур L1 касается контура L2 , поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
∆ = 1 − ( L1 + L2 ) .
100
Контуры в этом примере касаются всех путей, поэтому дополнительные множители путей ∆ 1 = ∆ 2 = 1
Окончательно можно записать:
2
W (s) =
∑ P∆
i =1
i
∆
i
=
W1W3W5W6 + W2W3W5W6
,
1 − W3W5W4 + W5W6W7
что соответствует ранее полученному результату.
Пример 2.25. Рассмотрим структуру, показанную на рис. 2.25.
W2(s)
Y(s)
X(s)
W1(s)
W3(s)
W4(s)
W2(s)
X(s)
1
W1(s)
W3(s)
–1
W4(s)
Y(s)
–1
Рис. 2.25. Структурная схема и сигнальный граф
От входа к выходу ведут два пути:
P1=W1W3W4,
P2= W2W3W4.
101
В графе есть два контура:
L1= –W1W3,
L2= –W3W4.
Контур L1 касается контура L2 , поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
∆ = 1 − ( L1 + L2 ) .
Контуры здесь касаются всех путей, поэтому дополнительные
множители путей ∆1 = ∆ 2 = 1.
Окончательно можно записать:
2
W (s) =
∑ P∆
i =1
i
∆
i
=
W1W3W4 + W2W3W4
.
1 + W1W3 + W3W4
Таким образом, использование сигнальных графов и применение формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс
упрощения структурной схемы.
Пример 2.26. Рассмотрим систему и соответствующий ей
сигнальный граф, приведенный на рис. 2.26.
От входа к выходу ведут два пути:
P1=W1W2,
P2= W3.
В графе есть два контура:
L1= –W1,
L2= –W2.
Определитель графа
∆ = 1 − ( L1 + L2 ) .
Дополнительные множители путей
∆1 = 1;
102
∆ 2 = 1 − L2 .
X(s)
X(s)
W1 =
5
s+3
W3 =
1
2s + 1
1
W2 =
1
W1(s)
W2(s)
–1
Y(s)
1
s+4
1
Y(s)
–1
W3(s)
Рис. 2.26. Пример многоконтурной системы
Передаточная функция
2
W ( s) =
∑ P∆
i =1
i
∆
i
=
W1W2 + W3 (1 + W2 )
.
1 + W1 + W2
Подставляя численные значения, получаем:
2
W ( s) =
∑ P∆
i
i
=
∆
s 5 + 29s 4 + 258s 3 + 988s 2 + 1664s + 960
= 6
.
2s + 49s 5 + 460s 4 + 2124s 3 + 5001s 2 + 5384s + 1680
i =1
103
Пример 2.27. Определить максимальное целое число µ, при
котором для входного воздействия g(t) = tµ установившаяся
ошибка слежения в системе, изображенной на рис. 2.27, будет
равна нулю.
s
T2 s + 1
X(s)
E(s)
k
T1s + 1
1
s
Y(s)
Рис. 2.27. Структурная схема следящей системы
Решение.
Определим ПФ замкнутой системы. Для этого построим сигнальный граф (рис. 2.28).
W1
1
1
W3
W2
-1
Рис. 2.28. Сигнальный граф системы
От входа к выходу ведут два пути:
P1=W1W3,
104
P2= W2W3.
1
В графе есть один контур
L1= –W2W3,
Определитель графа вычисляется по формуле
∆ = 1 − L1 .
Контур касается всех путей, поэтому дополнительные множители путей ∆1 = ∆ 2 = 1.
Окончательно можно записать:
2
W ( s) =
∑ P∆
i =1
i
i
∆
=
W1W3 + W2W3
.
1 + W2W3
k
1
+ 2
T s 2 + s + kT2 s + k T1s 2 + s
T s + 1 T1s + s
W ( s) = 2
=
= 12
2
k
T
s
+
s
+
k
T
s
+
s
T
s
+
(
1
)
1
1
2
1+
T1s 2 + s
(
=
)
(
(
)(
)(
)
)
T1s 2 + (1 + kT2 ) s + k
T1s 2 + (1 + kT2 ) s + k
=
.
T1s 2 + s + k (T2 s + 1) T1T2 s3 + (T1 + T2 )s 2 + (1 + kT2 ) s + k
(
)
Таким образом, µ = 0 (в ПФ нет интеграторов).
105
2.10. Инвариантные системы
Система называется инвариантной по отношению к входному
сигналу, если по окончании переходного процесса, обусловленного ненулевыми начальными условиями, ошибка и регулируемая величина не зависят от этого входного сигнала.
Можно рассмотреть инвариантность системы относительно
внешнего возмущения и относительно входного воздействия.
Для устранения ошибки, т.е. построения инвариантной системы, используется комбинированное уравнение, реализующее
одновременно принципы регулирования как по отклонению, так
и по возмущению.
Рассмотрим систему, показанную на рис. 2.29, где F(s) – сигнал внешнего возмущения.
F(s)
W3(s)
X2(s)
G(s)
E(s)
W1(s)
W2(s)
X1(s)
Y(s)
Рис. 2.29. Система управления с шумом на выходе
Положим, что G(s) = 0, тогда для этой системы справедливо:
106
 E ( s) = −Y ( s) ,
Y ( s) = X ( s ) + X ( s) ,

1
2

 X 1 ( s) = W1 ( s) W2 ( s) E ( s ) ,
 X 2 ( p) = W3 ( s) F ( s) .
откуда
E (s) = −W1 ( s)W2 (s) E (s ) − W3 (s ) F (s) ,
(1 + W1 (s) W2 (s)) E (s) = −W3 (s) F (s) .
Для того чтобы поведение системы не зависело от внешнего
возмущения, надо, чтобы правая часть этого уравнения была
равна нулю. Помимо тривиального решения W3(s) = 0, здесь
возможно введение второго канала передачи ошибки, компенсирующего влияние возмущения (рис. 2.30).
F(s)
W4(s)
W3(s)
X2(s)
B(s)
G(s)
E(s)
A(s)
W1(s)
C(s)
W2(s)
X1(s)
Y(s)
Рис. 2.30. Инвариантная относительно возмущения система
Для этой системы при условии G(s) = 0 справедливо:
107
 E ( s ) = −Y ( s ) ,
Y ( s ) = X ( s ) + X ( s ) ,
1
2

 X 1 ( s ) = W2 ( s ) С ( s ) ,

 X 2 ( p) = W3 ( s ) F ( s ),
C ( s ) = A( s ) + B( s ),

 A( s ) = W1 ( s ) E ( s ),

 B( s ) = W4 ( s ) F ( s ) .
Тогда
E ( s) = −W2 ( s ) C ( s ) − W3 ( s) F ( s) =
= −W2 ( s )W1 ( s) E ( s) − W2 ( s)W4 ( s) F ( s) − W3 ( s) F ( s) ,
или
(1 + W1 (s)W2 (s))E (s) = −(W2 (s)W4 (s) + W3 (s)) F (s) .
Таким образом, условие инвариантности ошибки относительно возмущающего воздействия:
W2 ( s)W4 (s) + W3 (s) = 0.
Откуда следует выражение для ПФ второго канала:
W4 ( s ) = −
W3 ( s )
= 0.
W2 ( s )
Рассмотрим далее систему, инвариантную относительно задающего воздействия. Здесь второй канал вводится способом,
показанным на рис. 2.31.
108
B(s)
W3(s)
G(s)
E(s)
W1(s)
A(s)
С(s)
W2(s)
Y(s)
Рис. 2.31. Инвариантная относительно входного воздействия
система
Для этой системы выполняется:
E (s) = G(s) − Y (s) ,
Y ( s ) = W ( s )C ( s ) ,
2

C ( s ) = A( s ) + B( s ) ,
 A( s ) = W ( s ) E ( s ),
1

 B( s ) = W3 ( s )G ( s ) .
откуда
E ( s) = G ( s) − W2 (s ) C (s) = G( s) − W1 ( s)W2 ( s) E ( s) − W2 ( s)W3 ( s)G( s).
(1 + W1 (s) W2 (s)) E (s) = (1 − W2 (s)W3 (s) )G(s) .
Тогда условие инвариантности относительно задающего воздействия приобретает вид
1 − W2 ( s)W3 ( s) = 0,
и второй канал должен иметь ПФ
109
W3 ( s ) =
1
.
W2 ( s )
На практике использовать это условие не всегда возможно,
поскольку порядок числителя ПФ не должен превышать порядок знаменателя. Однако возможно приближенное решение, например:
W2 ( s ) =
110
k
Ts + 1
Ts + 1
⇒ W3 ( s ) =
≈
, T1 << T .
Ts + 1
k
k (T1 s + 1)
Вопросы для самопроверки
1)
В чем заключается условие физической реализуемости системы, описываемой линейным дифференциальным
уравнением?
Какой формулой описывается преобразование
2)
Лапласа?
3)
Какими свойствами должен обладать оригинал
преобразования Лапласа?
4)
Какими свойствами обладает преобразование
Лапласа?
5)
Для каких практических целей используется
преобразование Лапласа?
6)
Какая предварительная операция необходима
для выполнения обратного преобразования Лапласа?
Что такое передаточная функция (ПФ)?
7)
8)
Что такое порядок ПФ?
9)
Что такое нули и полюса ПФ?
10)
Какая ПФ называется минимально-фазовой?
11)
Как найти выходной сигнал системы, если известна ее ПФ и описание входного сигнала?
12)
Какой ПФ можно описать работу RC- и RLцепи?
13)
Какая ПФ описывает работу RLC-цепи?
14)
Какие динамические звенья называются элементарными или типовыми?
Перечислите основные элементарные динами15)
ческие звенья?
Что такое кривая разгона?
16)
17)
Как определяются параметры ПФ по кривой
разгона?
18)
Какие типовые входные воздействия могут
быть использованы для определения динамических характеристик звена?
111
19)
Какое изображение по Лапласу соответствует
единичной ступенчатой функции?
20)
Что такое переходная характеристика?
Какое изображение по Лапласу соответствует
21)
единичному импульсу?
22)
Что такое весовая функция?
23)
Как связаны переходная характеристика и весовая функция звена?
Какая ПФ соответствует системе с отрица24)
тельной обратной связью?
25)
Какие эффекты вызывает введение отрицательной обратной связи?
26)
Что такое чувствительность системы управления?
27)
Какие системы управления называются робастными?
28)
Какая система называется одноконтурной?
29)
Что такое прямая цепь в одноконтурной системе?
30)
Как описывается ПФ сумматора в одноконтурной системе?
31)
Как формулируется правило вычисления ПФ
замкнутой одноконтурной системы?
32)
Какой формулой описывается ПФ системы по
возмущению?
33)
Какой формулой описывается ПФ системы по
ошибке?
Какая теорема используется для расчета
34)
ошибки слежения системы в установившемся режиме?
35)
Как формулируется теорема о предельном
значении оригинала?
36)
Какой формулой описывается установившаяся
ошибка замкнутой системы?
37)
Что такое порядок астатизма системы?
112
38)
Что такое добротность системы?
39)
Что такое скоростная ошибка системы?
40)
Что такое ошибка системы по ускорению и
добротность по ускорению?
41)
Какая формула описывает свертывание последовательного соединения звеньев?
42)
Какая формула описывает свертывание параллельного соединения звеньев?
Какая формула описывает свертывание обрат43)
ной связи?
44)
Как выполняется перенос узла через звено
вперед и назад?
45)
Как выполняется перенос сумматора через
звено вперед и назад?
46)
Как выполняется перенос узла через сумматор
вперед и назад?
47)
В чем заключается неудобство использования
правил при преобразовании структурных схем?
Из каких частей состоит сигнальный граф?
48)
49)
Что такое путь в сигнальном графе?
50)
Что такое контур в сигнальном графе?
51)
Что такое коэффициент передачи контура?
Какие контуры называются касающимися?
52)
53)
Как записывается формула Мейсона?
В чем заключается достоинство использова54)
ния формулы Мейсона по отношению к использованию правил
при преобразовании структурных схем?
Какая система называется инвариантной?
55)
56)
Что такое комбинированное управление?
57)
Как обеспечить инвариантность системы относительно внешнего возмущения?
58)
Как обеспечить инвариантность системы относительно входного воздействия?
113
59)
Всегда ли условия инвариантности являются
физически реализуемыми?
3. Корневые оценки устойчивости и качества
3.1. Необходимое и достаточное условие
устойчивости
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее работоспособности и включает требование затухания во времени переходных процессов.
Система является устойчивой, если при ограниченном входном сигнале её выходной сигнал также является ограниченным. Если система устойчива, то она
противостоит внешним воздействиям, а выведенная из
состояния равновесия возвращается снова к нему. Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и неработоспособной.
Впервые свойства устойчивости были исследованы
русским ученым А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе
"Общая задача об устойчивости движения". Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в том, чтобы все корни характеристического урав114
нения (полюсы ПФ системы) имели отрицательные
вещественные части. Иначе говоря, условием устойчивости системы является расположение всех полюсов
в левой комплексной полуплоскости. Тогда все полюсы будут давать затухающую реакцию.
Это условие устойчивости справедливо как для линейных, так и для линеаризованных систем. Однако в
случае нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть решен только на основании исследования ее нелинейных уравнений.
Рассмотрим САУ, описываемую линейным дифференциальным уравнением в операторной форме:
( an s n + an −1s n −1 + ... + a1s + a0 ) y (t ) =
= (bm s m + bm −1s m −1 + ... + b1s + b0 )u (t ).
Общее решение этого линейного неоднородного
дифференциального уравнения ищется в виде двух
слагаемых:
y (t ) = yв + yсв (t ) ,
где yв – вынужденное и yсв – свободное движение системы.
Вынужденная составляющая решения находится из
исходного дифференциального уравнения приравниванием к нулю всех производных в левой и правой частях уравнения, так что при установившемся значении
входного сигнала uуст получаем
115
a0 yв = b0u уст ⇒ yв =
b0
uуст .
a0
Свободная (переходная) составляющая ищется как
общее решение однородного дифференциального
уравнения:
(an s n + an −1s n −1 + ... + a1s + a0 ) y (t ) = A( s ) y ( s ) = 0,
где A(s) – характеристический полином.
Решение имеет вид
n
yсв (t ) = С1e p1t + С2 e p 2 t + ... + Сn e p n t = ∑ Ci e p i t ,
i =1
где pi – i–й корень характеристического полинома; Ci –
i-я постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий.
Корни характеристического полинома могут быть
четырех типов.
1. Вещественного типа: λ = α. Такой корень дает составляющую решения вида:
y (t ) = Сeαt .
При α < 0 значение y(t) будет убывать во времени, и
при α > 0 – возрастать.
2. Комплексно-сопряженного типа: λ
ляющая решения имеет вид:
1,2
= α ± jβ. Состав-
y(t ) = С1e( α + jβ ) t + С2e( α − jβ )t = Aeαt sin(βt + ψ ).
116
Здесь возникают колебания выходной переменной,
которые будут затухать по амплитуде при α < 0 и расти
при α > 0.
3.
Чисто мнимые корни. В этом случае α = 0, и
y (t ) = С1e jβt + С2e− jβt = A sin(βt + ψ),
колебания будут иметь постоянную амплитуду.
4. Нулевой корень. В этом случае в характеристическом полиноме
A( s ) = a n s n + a n −1 s n −1 + ... + a1 s + a 0 .
отсутствует свободный член: a0 = 0.
Здесь система находится на границе устойчивости, и при любых начальных условиях движения асимптотически затухают к
положению равновесия (система устойчива в целом) или расходятся (система не устойчива).
Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости, то
общее условие устойчивости линейной системы можно
сформулировать еще так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения, т.е. полюсов ПФ системы, в левой комплексной полуплоскости.
Наличие корня на мнимой оси означает, что система
находится на границе устойчивости. При этом возможны два случая:
1. корень в начале координат;
2. пара мнимых корней.
Нулевой корень появляется, когда свободный член
характеристического уравнения равен нулю. В этом
117
случае границу устойчивости называют апериодической; система устойчива не относительно выходного
сигнала, а относительно его производной: выходной
сигнал в установившемся режиме имеет произвольное
значение. Такие системы называют нейтрально устойчивыми.
В том случае, когда характеристическое уравнение
имеет пару мнимых корней, границу устойчивости называют колебательной, при этом в переходном процессе будут незатухающие гармонические колебания.
Пример 3.1. Даны характеристические полиномы
различных систем:
(
)
A1 ( s ) = (s − 1) s 2 + 0,2 s + 1 ;
(
)
A2 ( s ) = s s + 0,2 s + 1 ;
2
(
A ( s ) = (s + 0,1)(2 s
)
A3 ( s ) = (s + 0,5) s + 0,09 ;
2
4
2
)
+ 3s + 1 .
Требуется оценить устойчивость этих систем.
Система A1 имеет положительный вещественный корень s = 1, следовательно, она неустойчива.
Система A2 имеет нулевой корень и два комплексносопряженных корня с отрицательной вещественной частью, поэтому она находится на апериодической границе устойчивости.
Система A3 имеет пару чисто мнимых корней, поэтому она находится на колебательной границе устойчивости.
118
Система A4 имеет все корни с отрицательной вещественной частью, поэтому она устойчива.
Можно показать, что необходимым условием устойчивости системы является положительность корней
всех коэффициентов характеристического уравнения.
Характеристический полином можно разложить на
множители:
A( p) = an (s − λ1 )(s − λ 2 )...(s − λ n ).
Если все корни действительные и отрицательные, то
A( p) = an ( s + λ1 )(s + λ 2 )...(s + λ n ).
Поскольку все сомножители в скобках являются положительными, то после раскрытия скобок окажется,
что все коэффициенты характеристического уравнения
также являются положительными.
Допустим, что характеристический полином имеет
два комплексно-сопряженных корня с отрицательной
вещественной частью:
A( s ) = an ( s + a1 − jβ)(s + a1 + jβ)...(s + λ n −1 )( s + λ n ) =
= an ((s + a1 ) + β 2 )...( s + λ n −1 )( s + λ n ).
2
После раскрытия скобок опять оказывается, что все
коэффициенты характеристического уравнения также
являются положительными.
Если хотя бы один коэффициент характеристического уравнения не является положительным, то в соответствии с доказанным утверждением вторая рассматриваемая система не является устойчивой.
119
Однако возможна ситуация, когда при положительности всех коэффициентов система оказывается неустойчивой. Например, характеристический полином
A( s ) = s 3 + s 2 + 2 s + 8 = 0
соответствует неустойчивой системе, хотя все коэффициенты характеристического уравнения являются положительными.
Таким образом, если необходимое условие устойчивости не выполняется, то система точно неустойчивая,
а если оно выполняется, то требуется дополнительное
исследование.
Заметим, что требование положительности коэффициентов можно заменить требованием отрицательности
всех коэффициентов, если правую и левую части характеристического уравнения умножить на –1. Поэтому правильнее считать, что необходимое условие устойчивости заключается в том, чтобы все коэффициенты имели один знак.
Определение устойчивости САУ по полюсам ее передаточной функции называют прямым методом оценки устойчивости. Зная значения полюсов линейной
системы, можно вынести однозначное суждение о ее
устойчивости, однако до появления ЭВМ задача вычисления корней характеристического уравнения высокого порядка вызывала большие проблемы. Поэтому
были предложено несколько критериев устойчивости
– косвенных методов оценки устойчивости, позволяю120
щих обойтись без вычисления корней – по значениям
коэффициентов характеристического уравнения.
1.
Алгебраический критерий устойчивости
Алгебраический критерий устойчивости в разной
форме был предложен английским математиком Е.
Раусом и затем швейцарским математиком А. Гурвицем в конце 19-го века, поэтому этот критерий обычно
называют критерием Рауса – Гурвица. Критерий
применяется к коэффициентам характеристического
уравнения замкнутой системы.
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой системы
an s n + an −1s n −1 + ... + a1s + a0 = 0.
Из коэффициентов характеристического уравнения
составляют матрицу по правилу:
1. по диагонали записываются коэффициенты
от аn-1 до а0;
2. столбцы определителя заполняются коэффициентами от главной диагонали вниз по возрастающим, а вверх – по убывающим индексам;
3. в случае отсутствия индекса, а также если
он меньше 0 или больше n, на его место пишется
0.
Таким образом, матрица Гурвица приобретает следующий вид:
121
an −1 an − 3
a
 n an − 2
 0 an −1
G=
...
 ...
 0
0

0
 0
an −5 ...
0
an − 4 ...
0
an − 3 ...
0
...
0
... ...
... a1
0
... a2
0
0 
0

... 
0

a0 
Критерий устойчивости формулируется так: чтобы
система была устойчивой, необходимо и достаточно,
чтобы при an > 0 были положительными все n диагональных определителей, получаемых из матрицы Гурвица.
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют
следующий вид:
∆1 = an-1 ;
a
a
∆ 2 = n −1 n − 3 ;
an an − 2
an−1
an−3
a n −5
∆ 3 = an
an −2
an −4 ;
0
an−1
an−3
Пример 3.2. Пусть задан характеристический полином
2s5 + 4s 4 + 3s3 + 7 s 2 + 2s + 1 = 0.
Здесь n = 5, a5 = 2, a4 = 4, a3 = 3, a2 = 7, a1 = 2, a0 =
1, и матрица Гурвица имеет вид:
4
2

G = 0

0
0
122
7 1 0 0
3 2 0 0
4 7 1 0.

2 3 2 0
0 4 7 1
∆1 = 4;
∆2 =
4 7
2 3
= −2.
Таким образом, система неустойчива.
Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n
= 1 ÷ 3.
1. Для уравнения первого порядка (n = 1)
a1s + a0 = 0
условие устойчивости: а1 > 0 и ∆1 = а0 > 0. Например,
рассмотрим системы с передаточными функциями:
W1 ( s) =
1
;
Ts + 1
W2 (s) =
1
.
Ts − 1
Система W1 будет устойчивой, а W2 – нет.
2. Для уравнения второго порядка (n = 2)
a2 s 2 + a1s + a0 = 0.
Здесь
a
G= 1
 a2
0
a0 
и условие устойчивости:
a2 > 0,

∆1 = a1 > 0,
∆ = a ∆ > 0 или a > 0.
0 1
0
 2
123
Таким образом, для устойчивости систем 1-го и 2-го
порядка достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.
3. Для уравнения третьего порядка (n = 3)
a0 s 3 + a1s 2 + a2 s + a3 = 0.
 a2
G =  a3
 0
a0
a1
a2
0
0 .
a0 
Условие устойчивости:
a3 > 0, ∆1 = a2 > 0,

a2 a0

= a2 a1 − a0 a3 > 0,
∆ 2 =
a3 a1

 ∆ = a ∆ > 0 ⇒ a > 0.
0 2
0
 3
При n = 3 для устойчивости системы необходимо и
достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение
средних коэффициентов уравнения (а1, а2) было больше произведения крайних (а0, а3).
Пример 3.3. Структурная схема САУ показана на
рис. 3.1.
g(t)
e(t)
k
a 2 s 2 + a1 s + a 0
yoc(t)
124
k1
y(t)
Рис. 3.1. Пример системы с обратной связью
Требуется определить, при каких значениях k1 замкнутая система устойчива.
Решение.
Запишем ПФ замкнутой системы:
k
k
a2 s + a1s + a0
W ( s) =
=
.
2
k
a
s
+
a
s
+
a
+
kk
2
1
0
1
1+
k1
a2 s 2 + a1s + a0
2
Для устойчивости системы 2-го порядка надо, чтобы
все коэффициенты характеристического уравнения были положительны: а2 > 0, a1 > 0, a0 + KK1 > 0. Следовательно:
K1 > −
a0
K
.
Таким образом, критерий Рауса – Гурвица позволяет
судить об абсолютной устойчивости, но не дает возможности оценивать относительную устойчивость по
корням характеристического уравнения.
3.3 Структурно-неустойчивые системы
Структурно-устойчивой называется такая система,
которая может быть сделана устойчивой путем выбора
125
параметров – коэффициентов усиления и постоянных
времени динамических звеньев. Соответственно,
структурно-неустойчивой называется система, которая
неустойчива при любых значениях параметров.
Примеры структурно-устойчивых САУ приведены
на рис. 3.2.
X(s)
X(s)
W1 =
k1
T1 s + 1
W2 =
k2
T2 s + 1
W3 =
k3
T3 s + 1
Y(s)
W1 =
k1
T1 s + 1
W2 =
k2
T2 s + 1
W3 =
k3
s
Y(s)
Рис. 3.2. Структурно-устойчивые одноконтурные системы
Пример 3.4. Рассмотрим систему, показанную на
рис. 3.2, а. Ей соответствует ПФ разомкнутой системы
H ( s) =
k1k2 k3
.
(T1s + 1)(T2 s + 2)(T3 s + 3)
Характеристический полином замкнутой системы
A( s ) = T1T2T3 s 3 + (T1T2 + T1T3 + T2T3 ) s 2 + (T1 + T2 + T3 ) s + k1k2 k3 + 1.
126
Система имеет 3-й порядок, следовательно, для устойчивости должно выполняться условие
(T1T2 + T1T3 + T2T3 )(T1 + T2 + T3 ) > T1T2T3 (k1k2 k3 + 1),
откуда следует:
1 1 1
k1k2 k3 <  + + (T1 + T2 + T3 ) − 1.
 T1 T2 T3 
Пример 3.5. Рассмотрим систему, показанную на
рис. 3.2, б. Ей соответствует ПФ разомкнутой системы
H (s) =
k1k 2 k3
.
(T1s + 1)(T2 s + 2) s
При замыкании отрицательной обратной связью:
W (s) =
H ( s)
k1k2 k3
.
=
1 + H ( s ) (T1s + 1)(T2 s + 1) s + k1k2 k3
Характеристический полином замкнутой системы
A( s) = T1T2 s 3 + (T1 + T2 ) s 2 + s + k1k2 k3 .
Откуда следует:
T T 
k1k2 k3 <  1 + 2 .
 T1 T1 
Наличие в одноконтурной системе консервативного
звена или двух интегрирующих звеньев свидетельствует о присутствии чисто мнимых корней в характеристическом уравнении, что характеризует незатухающие
периодические режимы в системе (рис. 3.3).
X(s)
k1
W1 =
T1 s + 1
W2 =
k2
T2 s 2 + 1
W3 =
k3
T3 s + 1
Y(s)
127
Рис. 3.3. Структурно-неустойчивые одноконтурные
системы
Структурно-неустойчивые системы можно перевести в структурно-устойчивые, используя местные обратные связи, как это показано на рис. 3.4.
X(s)
W1 =
k1
T1s + 1
W2 =
k2
2
T2 s + 1
W3 =
k3
T3 s + 1
Y(s)
W2 = koc s
X(s)
W1 =
k1
T1 s + 1
W2 =
k oc
128
k2
s
W3 =
k3
s
Y(s)
Рис. 3.4. Обеспечение структурной устойчивости системы
1. Корневые показатели качества переходного
процесса
Устойчивость САУ является необходимым, но не
достаточным условием эффективного функционирования системы. Не менее важно, чтобы процесс регулирования осуществлялся при обеспечении определенных показателей качества.
При исследовании устойчивости САУ оценивалось
только расположение полюсов на комплексной плоскости. Оценивая качество переходного процесса, необходимо учитывать и расположение нулей.
Корневые методы оценки показателей качества рассматривают полюсы характеристического уравнения
замкнутой системы и их расположение на комплексной
плоскости, где каждому полюсу соответствует определенная точка.
Для оценки быстродействия системы используется
понятие степени устойчивости η, под которой понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (рис. 3.5, где показан вариант, когда ближайшим к мнимой оси является вещественный корень (слева), и вариант, когда к мнимой
оси ближе пара комплексно-сопряженных корней
(справа)).
129
Im
Im
η
η
Re
Re
Рис. 3.5. Понятие степени устойчивости
Корни, имеющие наименьшую по модулю вещественную часть, дают в переходном процессе наиболее
медленно затухающую составляющую, их называют
доминирующими.
Составляющая переходного процесса, обусловленная вещественным корнем η, имеет вид
y η (t ) = Cηe − ηt .
Пусть ∆ – малое значение (0,01 ÷ 0,05). Тогда в конце переходного процесса
yη (t ) = Cη ∆.
Следовательно:
130
Cη ∆ = Сηe − ηt ⇒ ∆ = e − ηt ⇒
1
1
= ∆ ⇒ ln(e ηt ) = ln  ⇒
ηt
e
∆
⇒t =
1 1
ln .
η ∆
Эта формула позволяет оценить время переходного
процесса tП.
При ∆ = 0,05 получаем
tП =
1
1
3
ln
≈ .
η 0,05 η
Если ближайшей к мнимой оси является пара комплексно-сопряженных корней η ± jβ, то их составляющая в переходном процессе описывается формулой вида
y η (t ) = C η e − ηt sin(βt + ψ ).
Здесь можно найти верхнюю границу времени переходного процесса, приняв условие sin(βt + ψ)=1, тогда
3
tр ≤ .
η
Запас устойчивости системы оценивается колебательностью. Система имеет склонность к колебаниям,
если характеристическое уравнение содержит комплексные корни η1,2= -α ± jβ.
Колебательность оценивается по формуле
131
µ=
β
.
α
Если система имеет несколько комплексносопряженных корней, то ее колебательные свойства
определяет пара комплексных корней, для которой µ
принимает наибольшее отношение.
Затухание является еще одной характеристикой переходного процесса. Комплексные корни дают в переходном процессе составляющую
y (t ) = Ce − αt sin(βt + ψ).
В момент t1 амплитуда колебаний
C1 = Ce− αt1 .
Период колебаний
T=
2π
.
β
Амплитуда колебаний через период
C2 = Ce
−α ( t1 +
2π
)
β
= C1e
−2 π
α
β
= C1e
−
2π
µ
.
Затуханием за период называют величину
2π
−
C − C2
C
ε= 1
= 1− 1 = 1− e µ .
C1
C2
Таким образом
132
µ=
2π
.
1
ln
1− ε
Например, если задано значение затухания за период
90%, то допустимое значение колебательности
µ = 2,73.
По значению колебательности можно приближенно
оценить перерегулирование
δ≤e
−
π
µ
⋅100%.
Пример 3.6. По переходному процессу y(t) (рис. 3.6)
на ступенчатый сигнал вида u(t) = 4*1[t] определить
передаточную функцию динамического звена.
y(t)
6
0
1
2
3
4
5
6
t, с
Рис. 3.6. Реакция на ступенчатое входное воздействие.
133
Решение.
Кривая переходного процесса соответствует инерционному звену с ПФ:
W =
k
.
Ts + 1
Коэффициент усиления k определяется по графику:
k=
yуст
g
=
6
= 1,5.
4
Используя формулу для оценки времени переходного процесса, имеем
3
⇒
η
tр ≈
η ≈ 1.
Окончательно получаем
W=
1,5
.
s +1
Пример 3.7. Система описывается ПФ
W=
2,5
.
(2 s + 1)(3s + 1)
Чему равна длительность переходного процесса?
Решение. Система имеет два полюса: λ1= –0,5 и λ2= –
0,33, таким образом, получаем
η = − 0.33 ;
tр ≈
134
3
3
=
≈ 9.
η 0.33
1.
Выбор параметров регулятора
В разделе 1.5 были описаны принципы экспериментальной настройки регуляторов по отклонению, которые не требуют использования математического описания объекта управления. Если же математическое
описание известно, то настройка регулятора может
быть выполнена более точно на основании требований
к расположению полюсов замкнутой системы.
Рассмотрим работу ПИ-регулятора. Пусть объект
управления описывается с помощью ПФ первого порядка, где a > 0 и b – известные константы (рис. 3.7).
KI
s
R(s)
E(s
U(s
1
sa + b
Y(s)
Kp
Рис. 3.7. Система управления с ПИ-регулятором
Задача управления заключается в обеспечении условия: y(t) → r, при t → ∞ (где r – заданное значение
входного сигнала (уставка)).
В соответствии с рис. 3.7:
135
U ( s) = K P E (s) +
KI
E ( s),
s
E ( s) = R( s) − Y ( s),
Y (s) =
1
U ( s ).
as + b
Передаточная функция разомкнутой системы
 K s + K I  1  K p s + K I

Н ( s) =  p
.
= 2
s
as
+
b
as
+
bs




Обозначим через W(s) передаточную функцию замкнутой системы, тогда


KP s + KI
 R( s).
Y ( s) = W ( s) R( s) =  2
 as + (b + K P ) s + K I 
Система имеет два полюса
s1, 2 =
− (b + K P ) ±
(b + K )
2
p
2a
− 4aK I
.
Отрицательность вещественной части полюсов гарантируется условием: Kp + b > 0 или Kp > –b.
Для получения на выходе системы заданного значения r, требуется обеспечить
lim e(t ) = 0.
t →∞
В соответствии с теоремой о конечном значении:
136
lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim s (R( s ) − Y ( s ) ) =
t →∞
s →∞
s→∞

as 2 + bs
r
= lim s 2
⋅  = 0.

s → ∞  as + (b + K ) s + K
p
I s

Это условие выполняется при любом KI. Для обеспечения апериодичности переходного процесса можно
потребовать, чтобы мнимая часть полюсов была равна
нулю, тогда:
(b + K )
2
p
− 4aK I = 0.
(b + K ) .
=
2
KI
p
4a
Рассмотрим работу далее ПД-регулятора. Пусть объект управления описывается с помощью ПФ 2-го порядка, где a > 0, b и с – известные константы (рис. 3.8).
sKd
R(s)
E(s
U(s
Y(s)
1
as + bs + c
2
Kp
Рис. 3.8. Система управления с ПИ-регулятором
В соответствии с рис. 3.8
137
U ( s) = K P E (s ) + Kd sE (s),
E ( s) = R( s) − Y ( s),
Y (s) =
1
U ( s ).
as + bs + c
2
Обозначим через W(s) передаточную функцию замкнутой системы, тогда
Y ( s) = W (s) R( s) =
KP + Kd s
R ( s ).
as + (b + K d ) s + (c + K p )
2
Система имеет два полюса:
s1, 2 =
− (b + K d ) ±
(b + K d )2 − 4a(c + K p )
2a
.
Отрицательность вещественной части полюсов гарантируется (при a > 0) условием: Kd + b > 0 или Kd > –
b.
Для обеспечения апериодичности переходного процесса можно потребовать, чтобы мнимая часть полюсов была равна нулю, тогда:
(b + Kd )2 − 4a(c + K p ) = 0,
Kp
2
(
b + Kd )
=
− c.
4a
Для получения на выходе системы заданного значения r, требуется обеспечить
lim e(t ) = 0.
t →∞
138
В соответствии с теоремой о конечном значении:
lim e(t ) = lim sE ( s ) = lim s (R( s ) − Y ( s ) ) =
t →∞
s →∞
s →∞

as + bs + c
r
cr
.
= lim s 2
⋅ =
s → ∞  as + (b + K ) s + (c + K ) s 
c
+
K
d
p
p


2
Таким образом, в системе присутствует установившаяся ошибка.
Задача регулятора заключается в обеспечении заданного расположения полюсов замкнутой системы.
Выбирать положение полюсов можно, опираясь на
корневые оценки качества системы. Один из возможных подходов заключается в обеспечении одинаковости всех корней характеристического уравнения. Каждый корень λ должен быть отрицательным, а величина
его модуля λ0 определяется требованиями к быстродействию. Левая часть характеристического уравнения
обращается в бином Ньютона (s + λ0)n, разворачивая
который, можно получить стандартные значения коэффициентов характеристического уравнения. Биномиальные стандартные формы для систем до четвертого
порядка имеют вид:
s + λ0 ,
s + 2λ 0 s + λ 02 ,
s 3 + 3λ 0 s 2 + 3λ 02 s + λ 30 ,
s 4 + 4λ 0 s 3 + 6λ 02 s 2 + 4λ 30 s + λ 04 .
2
При таком подходе обеспечивается апериодичность
переходного процесса.
139
Существуют и другие стандартные формы, например
форма Баттерворта, в соответствии с которой корни
должны располагаться в левой полуплоскости на окружности радиуса λ на одинаковых угловых расстояниях друг от друга (рис. 3.9).
Im
0
-λ
Re
Рис. 3.9. Распределение Баттерворта для системы 4-го
порядка.
Стандартные формы Баттерворта для систем до четвертого порядка имеют вид:
s + λ0 ,
s + 1.4λ 0 s + λ 02 ,
s 3 + 2λ 0 s 2 + 2λ 02 s + λ 30 ,
s 4 + 2.6λ 0 s 3 + 3.4λ 02 s 2 + 2.6λ 30 s + λ 04 .
2
140
Таким образом, если математическое описание объекта известно, и задана структура регулятора, то в ряде
случаев оказывается возможным по заданным полюсам
замкнутой системы определить параметры регулятора.
Пример 3.8. Пусть характеристический полином
замкнутой системы с ПИ-регулятором имеет вид:
2s 2 + (6 + K P ) s + K I = 0.
Допустим, что требуется расположить полюса в точке –2,j0, тогда может быть использована стандартная
биномиальная форма
s 2 + 4 s + 4 = 0.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем
3+
KP
=4
2
KI
=4
2
⇒ K p = 2,
⇒ K I = 8.
Пример 3.9. Рассчитать коэффициенты ПИДрегулятора для системы, показанной на рис. 3.10 при
распределении полюсов Баттерворта с λ0 = –3.
141
sK
R(s) E(s)
d
U(s)
KI/
s
Kp
1
2
0.01s + 0.1s + 1
Y(s)
Рис. 3.10. Система 2-го порядка с ПИД-регулятором.
Передаточная функция разомкнутой системы:
2
 K s + K I + K d s 2 
1
 Kps + KI + Kds

Н ( s ) =  p
=

 0,01s 2 + 0,1s + 1  0,1s 3 + 0,01s 2 + s .
s


Передаточная функцию замкнутой системы
Kp s + KI + Kd s 2
W (s) =
.
0,1s 3 + ( K d + 0,01) s 2 + ( K p + 1) s + K I
Таким образом
0,1s 3 + ( K d + 0,01) s 2 + ( K p + 1) s + K I = 0,
s 3 + 9s 2 + 27 s + 27 = 0.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем
142
10 K d + 1 = 8 ⇒ K d = 0,7
10 K P + 10 = 27
10 K I = 27
⇒ K p = 1,7,
⇒ K I = 2,7.
.
2.
Корневой годограф
При замыкании системы с ПФ H(s) единичной отрицательной обратной связью ПФ замкнутой системы
H(s) принимает вид
W ( s) =
H ( s)
.
1 + H (s)
Из этой формулы следует, что нули ПФ замкнутой
системы равны нулям ПФ разомкнутой системы.
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекторий перемещения всех корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой системы.
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ замкнутой системы, располагая полюсами и нулями разомкнутой системы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы K.
Корневой годограф можно строить, решая характеристическое уравнение замкнутой системы (уравнение
замыкания):
1 + H (s) = 0 ,
при различных значениях параметра K, изображая вычисленные корни точками на плоскости s.
143
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной обратной связью необходимо решить
уравнение (его называют основным уравнением метода
КГ):
H ( s ) = −1 .
Так как H(s) является функцией комплексного переменного s, то уравнение распадается на два уравнения:
Уравнение модулей
H (s) = 1
и уравнение аргументов (фаза вектора –1 есть нечетное число π):
arg(H ( s)) = ±(2 ν + 1) π,
ν = 0, 1, 2....
Как известно, при умножении комплексных чисел их
аргументы складываются, а при делении – вычитаются.
Поэтому последнее уравнение имеет наглядный геометрический смысл.
Пусть точка s − полюс замкнутой системы. Если
провести в s вектора из всех нулей H(s) (обозначим аргументы этих векторов θ 0j ) и вектора из всех полюсов
H(s) (обозначим аргументы этих векторов θ *i ), то уравнение можно записать в следующем виде:
m
n
j =1
i =1
∑ θ0j − ∑ θ*i = ±(2 ν + 1)π,
ν = 0, 1, 2....
Углы θ отсчитываются от положительного направления действительной оси. Знак угла «+» соответствует
144
повороту против часовой стрелки, знак угла «–» соответствует повороту по часовой стрелке.
Таким образом, конфигурация КГ не зависит от коэффициента усиления K, но каждому конкретному значению K однозначно соответствуют точки на корневом
годографе.
Для определения этого соответствия достаточно воспользоваться уравнением модулей в виде
m
K
∏l
j =1
n
∏l
0
j
= 1,
*
i
i =1
где l 0j – модуль (длина) вектора, проведенного из j-нуля
в точку s КГ; li* – модуль вектора, проведенного из iполюса в ту же точку s.
Ветви корневого годографа непрерывны и расположены на комплексной плоскости симметрично относительно действительной оси. Число ветвей КГ равно порядку системы n.
Рассмотрим свойства КГ.
Запишем передаточную функцию разомкнутой системы в виде
H (s) =
KB( s )
.
A( s )
Корни полинома А(s) называются полюсами, а B(s) –
нулями.
Свойство 1. Ветви корневого годографа начинаются
145
при К = 0 в полюсах H(s) и заканчиваются в нулях при
К = ∞.
Докажем это правило.
H (s) + 1 =
KB( s )
+1 = 0 ⇒
A( s )
A( s ) + KB( s ) = 0 .
При K = 0 получается A(s) = 0, т.е. полюса замкнутой
системы совпадают с полюсами разомкнутой системы
при K = 0.
Далее перепишем характеристическое уравнение в
виде
A( s ) + KB( s) = A( s) / K + B( s) = 0 ,
т.е. при К = ∞ полюса замкнутой системы совпадают с
нулями разомкнутой системы.
Свойство 2. Степень числителя B(s) всегда меньше
или равна степени знаменателя A(s): m ≤ n. Степень характеристического уравнения замкнутой системы равна n. При К→∞ стремятся к конечным нулям лишь m
корней. Остальные n–m корней обращаются в бесконечность, что вытекает из факта обращения в нуль при
К→∞ коэффициентов в n – m старших членах характеристического уравнения. Соответствующие ветви корневого годографа приближаются к соответствующим
асимптотам.
Свойство 3. Асимптоты в виде звезды из n – m полупрямых выходят из точки с координатой
146
m
n
∑s − ∑s
σa =
j =1
0
j
i =1
*
i
n−m
на действительной оси под углами
θa =
2ν + 1
π,
n−m
(ν = 0, n − m − 1)
к действительной оси.
Свойство 4. Угол выхода θ*i ветви КГ из полюса si*
определяется из уравнения аргументов, примененного
к данному полюсу. Аналогично определяется угол входа ветви КГ в нуль s 0j .
Свойство 5. При расположении ветвей КГ в левой
полуплоскости s САУ устойчива. При пересечении
ветвей КГ мнимой оси слева направо САУ становится
неустойчивой.
Сущность метода КГ заключается в том, чтобы узнать, каким должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы было обеспечено желаемое
положение корней замкнутой системы.
Траектории корней строятся только по уравнениям
фаз, а уравнение модулей используется затем для нахождения К.
Для систем невысокого порядка (n < 7) можно построить КГ вручную, обходясь без вычисления полюсов. Однако современные пакеты моделирования, такие как MatLab, имеют удобный интерфейс для автоматического построения КГ.
147
148
Вопросы для самопроверки
1. Какая система автоматического управления является устойчивой?
2. Как формулируется необходимое и достаточное условие
устойчивости линейной системы?
3. Где должны располагаться полюсы передаточной функции устойчивой линейной системы?
4. Из каких частей состоит общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения?
5. Как определить вынужденную составляющую решения
линейного неоднородного дифференциального уравнения?
6. Как определить переходную составляющую решения линейного неоднородного дифференциального уравнения?
7. Какой вид имеет переходный процесс при чисто вещественных корнях характеристического полинома?
8. Какой вид имеет переходный процесс при корнях характеристического полинома комплексно-сопряженного типа?
9. Какой вид имеет переходный процесс при чисто мнимых
корнях характеристического полинома?
10. Какой вид имеет переходный процесс при наличии нулевого корня характеристического полинома?
11. В каком случае система может находиться на границе
устойчивости?
12. Как формулируется необходимое условие устойчивости
линейной системы?
13. Как формулируется прямой метод оценки устойчивости
САУ?
14. Какие преимущества дает использование критериев устойчивости?
15. Как формулируется алгебраический критерий устойчивости Рауса – Гурвица?
149
16. Позволяет ли алгебраический критерий оценивать запасы устойчивости системы?
17. Как определяется понятие степени устойчивости системы?
18. Какие полюса называются доминирующими?
19. Как получить оценку времени переходного процесса по
полюсам системы?
20. Как оценивается колебательность по полюсам системы?
21. Как рассчитать величину затухания за период?
22. Как рассчитать параметры ПИ-регулятора, зная передаточную функцию объекта и требования к полюсам замкнутой
системы?
23. Как рассчитать параметры ПД-регулятора, зная передаточную функцию объекта и требования к полюсам замкнутой
системы?
24. При каком выборе полюсов замкнутой системы обеспечивается апериодичность переходного процесса?
25. Как можно использовать стандартное распределение полюсов Баттерворта при расчете коэффициентов ПИДрегулятора?
26. Как связаны между собой нули разомкнутой и замкнутой
системы?
27. Что такое корневой годограф?
28. Какое уравнение является основным в методе корневого
годографа?
29. Какими свойствами обладает корневой годограф?
30. С какой целью можно использовать на практике метод
корневого годографа?
150
4. Частотные методы анализа и синтеза
4.1. Преобразование Фурье
Частотные характеристики позволяют косвенно судить о процессах, происходящих в системах автоматического управления (не решая дифференциальных
уравнений, описывающих данную систему). Они могут
быть получены экспериментальным путем.
Рассмотрим линейную стационарную систему, описываемую дифференциальным уравнением:
( a n p n + a n −1 p n −1 + ... + a1 p + a 0 ) y (t ) =
= (bm p m + bm−1 p m −1 + ... + b1 p + b0 ) x (t ).
Применим к этому уравнению преобразование Фурье
X ( jω ) =
∞
∫ x(t )e
− jωt
dt ,
Y ( jω ) =
−∞
∞
∫ y(t )e
− jωt
dt .
−∞
Частотная ПФ определяется как отношение преобразований
Фурье выходного и входного сигнала:
W ( jω ) =
B( jω) bn ( jω) + ... + b1 ( jω) + b0
=
.
A( jω) an ( jω)n + ... + a1 ( jω) + a0
m
Функция W(jω) характеризует динамические свойства системы и не зависит от характера приложенных к системе воздействий.
Частотная ПФ получается из обычной ПФ W(s) при чисто
мнимых значениях s, то есть при s = jω. Зная частотную ПФ линейной стационарной системы, можно найти реакцию системы
на гармонический входной сигнал в установившемся режиме.
151
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду a и
частоту ω, т.е. описывается формулой:
x = a sin( ωt ) .
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от входного по фазе на величину φ (фазовый
сдвиг):
y = A1 sin(ωt + ϕ ) .
Таким образом, можно рассчитать усиление по амплитуде:
A=
A1
.
a
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои
A и φ.
Если на вход подавать сигнал с постоянной амплитудой и изменяющейся частотой, то изменение амплитуды и сдвига фазы
выходного сигнала будут определяться динамическими свойствами звена. Если для различных частот, начиная с нулевой, измерить усиление по амплитуде и фазовый сдвиг, то получаются
частотные характеристики звена: A(ω) – амплитудно-частотная
характеристика (АЧХ) и ϕ(ω) – фазочастотная характеристика (ФЧХ).
Для суждения о реакции звена на синусоидальный
сигнал достаточно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида:
X ( jω) = e jωt .
Тогда выходной сигнал
152
Y ( jω) = A(ω)e j ( ωt +ϕ ( ω)) .
Частотная ПФ
W ( jω) =
Y ( jω)
= A(ω)e jϕ ( ω) .
X ( jω)
Эта формула является представлением частотной
ПФ в полярных координатах.
Можно также записать частотную ПФ в алгебраической форме:
W ( jω) = U (ω) + jV (ω) .
Поскольку W(jω) является комплексным выражением, ее можно представить в виде
W ( jω) =
a1 (ω) + jb1 (ω)
.
a2 (ω) + jb2 (ω)
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной ПФ необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженную знаменателю величину, а затем
провести разделение:
W ( jω) =
=
a1 (ω) + jb1 (ω) (a1 (ω) + jb1 (ω))(a2 (ω) − jb2 (ω))
=
=
a2 (ω) + jb2 (ω) (a1 (ω) + jb2 (ω))(a2 (ω) − jb2 (ω))
a1 (ω)a2 (ω) + b1 (ω)b2 (ω)
a (ω)b1 (ω) − a1 (ω)b2 (ω)
+ j 2
=
2
2
a2 (ω) + b2 (ω)
a22 (ω) + b22 (ω)
= U (ω) + jV (ω).
Таким образом:
153
U (ω) + jV (ω) = A(ω)e jϕ ( ω) ,
где
A(ω) = W ( jω) = U 2 (ω) + V 2 (ω) =
a12 + b12
a22 + b22
,
b 
b 
 V (ω) 
 = arctg 1  − arctg 2 . .
 U (ω) 
 a1 
 a2 
ϕ (ω) = arg(W ( jω)) = arctg
U (ω) = A(ω) cosϕ (ω) ,

V (ω) = A(ω) sin ϕ (ω) .
Графики функций U(ω) и V(ω) называют соответственно вещественной и мнимой частотной характеристиками.
Пример 4.1. Рассмотрим АЧХ и ФЧХ апериодического звена
1-го порядка.
Частотная характеристика апериодического звена имеет вид:
k (1 − jωT )
k
jkωT
=
−
=
2 2
(1 + jωT )(1 − jωT ) 1 + ω T 1 + ω2T 2
= U (ω) + jV (ω) .
W ( jω ) =
АЧХ и ФЧХ выражаются из алгебраического представления частотной характеристики:

k
k
A(ω) =
= U 2 (ω) + V 2 (ω) =
,

jω T + 1

1 + ω 2T 2


ϕ (ω) = arg k
 = arctg(0 ) − arctg (ωT ) = − arctg (ωT ).


 jω T + 1 
По этим формулам можно построить графики (рис. 4.1).
График ФЧХ показывает, что с ростом частоты коэффициент
154
усиления падает тем быстрее, чем больше постоянная времени
звена T. При нулевой частоте усиление максимально и равно k.
Сигналы низких частот апериодическое звено хорошо пропускает, а сигналы высоких частот ослабляются.
Полосой пропускания звена называется диапазон частот
0≤ ω≤T.
Частота
ωс =
1
.
T
называется частотой среза.
Длительность переходного процесса в апериодическом звене
≈ 3Т, поэтому чем шире полоса пропускания (т.е. чем меньше Т),
тем быстрее протекают переходные процессы в системе.
A
k
k
2
φ
ωс =
1
T
ω
ω
–π/4
–π/2
Рис. 4.1. АЧХ и ФЧХ апериодического звена 1-го порядка
Из графиков АЧХ и ФЧХ можно получить один график –
155
АФЧХ, который для апериодического звена будет иметь вид,
показанный на рис. 4.2.
Im(W(jω))
ωс =
ω= ∞
ω
1
T
U(ω)
ω= 0
Re(W(jω))
A(ω)
V(ω)
Рис. 4.2. АФЧХ апериодического звена 1-го порядка
4.2. Логарифмические частотные характеристики
В практических расчетах удобно применять графики частотных характеристик, построенные в логарифмическом масштабе.
Это обеспечивает ряд преимуществ:
1. упрощается процесс построения характеристик,
поскольку график аппроксимируется отрезками прямых;
2. оказывается удобным рассматривать достаточно
большой диапазон частот;
3. вместо умножения характеристик последовательно соединенных звеньев надо складывать их логарифмы.
Логарифмические частотные характеристики часто называют
диаграммами Боде.
Обычно используют амплитудную характеристику в виде зависимости 20lgA(lgω), называемой логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). Фазовую характеристику в виде зависимости ϕ(lgω) называют логарифмической
фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ).
156
На графиках ЛАЧХ и ЛФЧХ ось абсцисс разбивается на одинаковые участки – декады. В пределах каждой декады частота
увеличивается в 10 раз (рис. 4.3).
декада
0.1
1
10
100
ω
Рис. 4.3. Разбиение оси частот на декады
Вместо lgω обычно записывается значение самой частоты,
так что масштаб на оси абсцисс получается неравномерный. В
начало координат можно помещать любое значение частоты, в
зависимости от того, какое исследование нужно выполнить.
На графике ЛАЧХ по оси ординат откладывается величина
L(ω) = 20lgA,
которая измеряется в децибелах (1децибел = 0,1 бела).
Один бел соответствует усилению сигнала по мощности в 10
раз, 2 бела – в 100 раз, 3 бела – в 1000 раз и т.д.
Так как обычно измеряют не мощность сигнала, а его амплитуду, а мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды, то усилению сигнала по мощности в 10 раз будет соответствовать lgA2 =1 или 2lgA = 1. Соответственно, усиление сигнала в
децибелах, выраженное через отношение амплитуд равно 20lgА.
Таким образом, каждые 20 децибелл (дБ) на графике ЛАЧХ
соответствуют усилению амплитуды в 10 раз (рис. 4.4).
L(ω, дб)
40
30
20
А=
100
А = 10
157
Рис. 4.4. Усиление амплитуды в децибеллах
Можно показать, насколько увеличивается A(ω) при изменении L(ω) на один децибел:
L(ω) = 20lgA = 1 = lg10 → A20 = 10 → A ≈ 1,12.
Отрицательные значения L(ω) соответствуют ослаблению амплитуды (A < 1).
Нулевое значение L(ω) соответствует единичному значению
усиления амплитуды:
L(ω) = 20lgA = 0 = lg(1) → A = 1.
При построении ЛФЧХ используют логарифмический масштаб по оси абсцисс и натуральный по оси ординат. Использовать логарифмический масштаб по оси ординат не имеет смысла, поскольку фазовый сдвиг при последовательном соединении
звеньев и так складывается.
Пример 4.2. Рассмотрим ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического
звена 1-го порядка. Ранее были получены формулы:
158
k
A(ω) =
1 + ω 2T 2
, ϕ (ω) = − arctg(ωT ).
Тогда
L ( ω) = 20 lg A( ω) = 20 lg k − 20 lg 1 + ω 2T 2 .
Рассмотрим асимптоты – прямые, к которым стремится
ЛАЧХ при малых значениях частоты (ω << 1/T) и при больших
значениях частоты (ω >>1/T), т.е. при ω → 0 и при ω → ∞.
При ω → 0 имеем
L (ω) ≈ 20 lg k ,
так как
1 + ω 2T 2 ≈ 1.
Эта асимптота представляет собой прямую, параллельную
оси абсцисс на уровне 20lg(k).
При ω → ∞ имеем
− 20 lg 1 + ω 2T 2 → −∞.
Эта асимптота представляет собой наклонную прямую.
Для вычисления наклона прямой рассмотрим изменение усиления в границах одной декады:
1
10
≤ω≤ .
Т
Т
Поскольку при больших частотах
20 lg 1 + ω 2T 2 ≈ 20 lg( ω T ),
Можно записать
 10 
1
∆ L ( ω) = L   − L   =
T 
T 

 10   
 1 
=  20 lg k − 20 lg T   −  20 lg k − 20 lg T   = −20.
 T  
 T 

159
Наклон прямой оказывается равным –20дБ/дек (рис. 4.5).
L(ω)
20lgk
декада
ω=
1
T
ω
ωс
20 дБ
Рис. 4.5. ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
Наибольшее отклонение ЛАЧХ от АЧХ будет в точке ω = 1/T, которое равно:
(
)
∆ = 20 lg k − 20 lg k − 20 lg T 2ω 2 + 1 =
= 10 lg(T 2ω2 + 1) = 10 lg 2 ≈ 3,03 дБ.
Частота, при которой ЛАЧХ пересекает ось 0 дБ, называется
частотой среза системы ωс.
Пример 4.3. Рассмотрим ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена.
k
W ( s) = 2 2
,
T1 < 2T2 .
T2 s + T1 s + 1
W ( j ω) =
160
k
.
− T ω + jωT1 + 1
2
2
2
A(ω) =
 T1ω 
.
, ϕ (ω) = − arctg
2 2 
2 2 2
2 2
1
−
T
ω
2


1 − T2 ω + T1 ω
(
k
)
(1 − ω T )
L ( ω) = 20 lg A(ω ) = 20 lg k − 20 lg
2
2 2
2
+ T12 ω 2 .
При ω → 0:
L (ω) → 20 lg k .
При ω → ∞ наибольшее значение имеет член при ω4:
L ( ω ) → 20 lg k − 40 lg (T2 ω )→ −∞ .
Для вычисления наклона прямой опять рассмотрим изменение усиления в границах одной декады:
 10 
1
∆ L ( ω) = L   − L   =
T 
T 

 10   
 1 
=  20 lg k − 40 lg T   −  20 lg k − 40 lg T   = −40.
 T  
 T 

Наклон асимптоты оказывается равным –40дБ/дек.
Излом ЛАЧХ происходит на частоте ω = 1/T2.
Запишем АЧХ колебательного звена в виде
A(ω) =
k
(1 − T ω ) + (2ξTω)
2
2 2
.
2
При коэффициенте затухания ξ = 0 и T2 = 1/ω2 коэффициент
усиления звена становится бесконечным. В реальности при малых ξ в районе частот, близких к ω = 1/T2, наблюдается резонансный пик (рис. 4.6).
A
161
ω=
1
ω
Рис. 4.6. АЧХ колебательного звена
Выделим в ПФ вещественную и мнимую часть:
W ( jω) =
k
=
− T ω + 1 + 2ξTωj
2
2
((
((
)
)
)
)
k
1 − T 2ω2 − 2ξTωj
=
⋅
=
(1 − T 2ω2 ) + 2ξTωj 1 − T 2ω2 − 2ξTωj
=
(
k 1 − T 2ω2
)
(1 − T ω ) + (2ξTω)
2
2 2
2
−j
2ξTωk
(1 − T ω ) + (2ξTω)
2
2 2
2
=
.
= U (ω) − jV (ω).
По определению ФЧХ определяется согласно формуле
ϕ (ω) = arctg
π.
V (ω)
 2ξTω 
.
= arctg  −
2 2 
U (ω)
 1− T ω 
Тогда ω = 0, φ(ω) = 0; ω = 1/T, φ(ω) = –π/2; ω =∞, φ(ω) = –
График ФЧХ колебательного звена показан на рис. 4.7.
φ
ω =1/T
ω
162
–π/2
–π
Рис. 4.7. ФЧХ колебательного звена
Таким образом, колебательное звено, как и все инерционные
звенья, хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо –
сигналы высокой частоты; если частота гармонического входного сигнала близка к частоте собственных колебаний звена, то
отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного
больше коэффициента усиления k.
Пример 4.4. Рассмотрим ЛАЧХ и ЛФЧХ идеального дифференцирующего и идеального интегрирующего звеньев.
Идеальное дифференцирующее звено:
W ( j ω) = jω k ,
A(ω) = kω,
 kω  π
= ,
 0  2
L (ω) = 20 lg (kω ) = 20 lg (k ) + 20 lg (ω ).
ϕ (ω) = arctg 
Очевидно, L(ω) = 0 при ω = 1/k.
Рассматривая границы одной декады, можно записать
 10 
1
∆L ( ω ) = L   − L   =
T 
T 

 1  
 1 
=  20 lg k + 20 lg10   −  20 lg k + 20 lg   = 20.
 T  
 T 

163
Наклон оказывается равным 20дБ/дек.
Аналогично для идеального интегрирующего звена:
W ( jω ) =
A( ω ) =
k
k
=−j ,
jω
ω
k
,
ω
π
 −k /ω
=− ,
2
 0 
k
L (ω) = 20 lg  = 20 lg (k ) − 20 lg (ω ).
ω
ϕ (ω) = arctg 
Очевидно, L(ω) = 0 при ω = k.
Рассматривая границы одной декады, можно записать
 10 
1
∆L ( ω ) = L   − L   =
T 
T 

 1  
 1 
 20 lg k − 20 lg10   −  20 lg k − 20 lg   = −20.
 T  
 T 

Наклон равен –20дБ/дек.
Графики ЛАЧХ показаны на рис. 4.8.
а)
б)
L(ω)
L(ω)
+20 дБ/дек
164
ω=
1
k
ω
-20 дБ/дек
ω=k
ω
Рис. 4.8. ЛАЧХ идеального дифференцирующего (а) и идеального интегрирующего (б) звеньев
Пример 4.5. ЛАЧХ и ЛФЧХ форсирующего звена:
W ( jω) = k (1 + k1 jω ),
(
)
A(ω) = k 1 + k12 ω 2 ,
ϕ (ω) = arctg (k1ω ),
(1 + k ω ).
L (ω) = 20 lg (k ) + 20 lg
2
1
2
При ω → 0:
L (ω) → 20 lg k .
При ω → ∞:
L (ω ) → 20 lg (k1ω )→ ∞.
Таким образом, форсирующее звено близко к идеальному
усилительному на низких частотах и к дифференцирующему –
на высоких частотах (рис. 4.9).
L(ω)
+20 дБ/дек
20lgk
ω=
1
k
ω
165
Рис. 4.9. ЛАЧХ форсирующего звена
4.3. Частотные характеристики разомкнутой
системы
Рассмотрим последовательное соединение динамических
звеньев (рис. 4.10).
x
W1
W2
Wn
y
W
Рис. 4.10. Последовательное соединение передаточных функций
Поскольку ПФ можно рассматривать как комплексное число,
имеем
n
W ( jω) = A(ω )e
n
= ∏ Ai (ω )e
jΨ ( ω )
j
∑ ϕ i (ω )
i =1
,
i =1
где Ai и φi – амплитудная и фазовая характеристика каждого
звена.
Таким образом:
n
A(ω ) = ∏ Ai (ω ) .
i =1
Ψ (ω ) = ∑ ϕi (ω ).
n
i =1
166
Для ЛАЧХ получается:
20 lg A(ω) = 20 lg A1 (ω) + 20 lg A2 (ω) + ... + 20 lg An (ω).
В соответствии с этой формулой методика построения ЛАЧХ
в основном сводится к суммированию ординат.
Разомкнутая динамическая система может быть представлена
как совокупность
последовательно соединенных типовых
звеньев.
Алгоритм построения ЛАЧХ разомкнутой системы включает
в себя следующие шаги:
1. определяются сопрягающие частоты типовых
звеньев в порядке возрастания: ω1, ω2,… ωn , и помечаются на оси частот;
2. вычисляется при частоте ω =1 ордината 20lgK, где
K – общий коэффициент передачи разомкнутой системы.
Через полученную точку проводится низкочастотная
асимптота ЛАЧХ, представляющая собой при ω < ω1
прямую с наклоном –λ20 дБ/дек, где λ – количество интегрирующих звеньев;
3. изменение наклона ЛАЧХ L(ω) на сопрягающих
частотах ωi по сравнению с тем наклоном, который она
имела до рассматриваемой частоты, происходит по правилу: для апериодического звена наклон изменяется на –
20 дБ/дек, для колебательного – на –40 дБ/дек, для форсируюшего – на +20 дБ/дек.
167
Пример 4.6. Построим ЛАЧХ система, ПФ которой в разомкнутом состоянии имеет вид:
W ( jω ) =
k (T2 s + 1)
.
(T1s + 1)2 (T3 s + 1)
Таким образом, ЛАЧХ и ЛФЧХ системы описываются формулами:
L (ω ) = 20 lg k − 40 lg 1 + T12 ω 2 + 20 lg 1 + T22 ω 2 − 20 lg 1 + T32ω 2 .
Ψ(ω) = −2arctg(T1ω) + arctg(T2ω) − arctg(T3ω). .
Пусть ПФ имеет следующие параметры: k = 100, T1 = 1 с, T2 =
0,2 с, T3 = 0,005 с. Тогда сопрягающие частоты:
ω1 =
1
1
= 1 c −1 ; ω 2 = = 5 c −1 ;
T1
T2
ω3 =
1
= 200 c −1.
T3
Поскольку ПФ не содержит интегрирующих звеньев, начальный участок ЛАЧХ будет параллелен оси частот, затем на частоте ω = 1 наклон изменится на –40 дБ/дек, на частоте ω = 5 наклон изменится на +20 дБ/дек, и на частоте ω = 200 – на –20
дБ/дек (рис. 4.11).
L(ω)
40
–40 дБ/дек
20lg(k
)
ω3
ω1
168
ω2
10
100
1000
ω
Рис. 4.11. Пример построения ЛАЧХ разомкнутой системы
Пример 4.7. Определить, какая ПФ соответствует системе,
ЛАЧХ которой показана на рис. 4.12.
L(ω)
–20 дБ/дек
60
–40 дБ/дек
–20 дБ/дек
1
2
1.
2
ω
–60 дБ/дек
Рис. 4.12. Пример построения ЛАЧХ разомкнутой системы
Ответ:
W ( s) =
1000(0,83s + 1)
.
s ( s + 1)(0,5s + 1) 2
4.4. Частотные критерии устойчивости
Критерий устойчивости Михайлова
Пусть известно характеристическое уравнение системы
A(s) = ansn + an−1sn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a0.
Если сделать замену s = jω, то получается уравнение ком169
плексного вектора
A( jω) = an ( jω) + an−1( jω) + ⋅ ⋅ ⋅ + a1( jω) + a0 = U (ω) + jV(ω).
n−1
n
При изменении частоты ω от 0 до ∞ этот вектор описывает
некоторую кривую – кривую Михайлова.
Кривая Михайлова начинается при ω = 0 в точке U(0) = a0 и
заканчивается в n-ом квадранте при ω = ∞ (если отсчет квадрантов вести против часовой стрелки), где уходит в бесконечность.
Таким образом, чтобы построить кривую Михайлова, надо в
характеристическом уравнении заменить s на jω и разделить вещественную и мнимую часть. Далее, задавая различные значения частоты, найти точки с координатами:
{U(0); jV(0)},{U(ω1); jV(ω1)},{U(ω2 ); jV(ω2 )}...
По этим точкам строится кривая Михайлова.
Критерий устойчивости Михайлова: линейная система n-го
порядка будет устойчива, если кривая Михайлова охватывает
начало координат, и последовательно проходит n квадрантов
против часовой стрелки.
Если кривая Михайлова проходит через начало координат, то
система находится на границе устойчивости.
На рис. 4.13 показаны примеры кривой Михайлова для системы 6-го порядка.
a)
б)
jV(ω)
ω→∞
ω3
170
jV(ω)
ω2
ω→∞
ω1 =
a00 U(ω)
ω2
ω1 =
a0 U(ω)
ω3
Рис. 4.13. Пример устойчивой (а) и неустойчивой (б) системы
171
Для обоснования критерия Михайлова рассмотрим характеристический полином в виде
A(s) = ansn + an−1sn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a0 = an (s − λ1)(s − λ2 ) ⋅⋅ ⋅ (s − λn ) ,
где λi - корни характеристического уравнения A(s) = 0.
После замены s = jω уравнение запишется в виде:
A( jω ) = an ( jω − (α1 + jω1 ))( jω − (α 2 + jω 2 ))K ( jω − (α n + jω n )) =
(
)(
) (
)
n
n
= an A1 (ω)e jϕ1 (ω ) A2 (ω)e jϕ2 (ω ) K An (ω )e jϕn (ω ) = an ∏ Ai (ω )e
j
∑ ϕi (ω )
i =1
,
i =1
где λi = –αi + jωi – i-й корень характеристического
уравнения.
Рассмотрим разные варианты значений корней.
1. Корень вещественный и отрицательный: λi = –αi .
Сомножитель, определяемый этим корнем, будет иметь
вид: αi + jω. При изменении частоты от 0 до ∞ вещественная часть комплексного числа αi + jω по-прежнему
будет равна αi, а комплексная часть будет уходить в бесконечность (рис. 4.14).
jV(ω)
↑ω
+π/2
ω
αi
172
ω=
0
U(ω)
Рис. 4.14. Изменение фазы для отрицательного вещественного
корня
2. Корень вещественный и положительный: λi = αi .
Сомножитель, определяемый этим корнем, будет иметь
вид: –αi + jω. При изменении частоты от 0 до ∞ вещественная часть комплексного числа αi + jω по-прежнему
будет равна –αi, а комплексная часть будет уходить в
бесконечность (рис. 4.15).
jV(ω)
↑ω
–π/2
ω
ω=
0
αi
U(ω)
Рис. 4.15. Изменение фазы для положительного вещественного корня
3. Корни комплексно-сопряженные с отрицательной
вещественной частью: λ1, 2 = –α ± jβ . Этим корням будет
соответствовать сомножители:
(α − jβ + jω)(α + jβ + jω).
При ω = 0 здесь имеются два вектора, один повернут на угол
γ = arctg
β
α
по часовой стрелке, а другой – на тот же угол против часовой
173
стрелки (рис. 4.16).
jV(ω)
↑ω
+π/2
ω
γ
-γ
ω=
0 U(ω)
αi
Рис. 4.16. Изменение фазы для комплексно-сопряженных
корней с отрицательной вещественной частью
При ω → ∞ оба вектора сливаются с мнимой осью: один вектор повернется на угол φ1 = π/2 + γ, а другой – на угол φ2 = π/2 –
γ. Таким образом, вектор, соответствующий произведению, повернется на угол π.
4. Корни комплексно-сопряженные с положительной
вещественной частью: λ1, 2 = α ± jβ . Здесь вектор, соответствующий произведению, повернется на угол –π.
Таким образом, если характеристическое уравнение имеет k
корней с положительной вещественной частью, им будет соответствовать сумма углов поворотов, равная –k π/2. Если же k = 0,
то система устойчива и кривая Михайлова пройдет все n квад174
рантов, т.е. повернется на nπ/2.
175
Критерий устойчивости Найквиста
В отличие от критериев Гурвица, Рауса и Михайлова, которые основаны на анализе характеристического уравнения системы, критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости
замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы.
В этом заключается существенное преимущество критерия,
так как построение АФЧХ разомкнутого контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев.
Пусть имеется ПФ разомкнутой системы W(jω).
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ПФ нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на
комплексную величину, сопряженную знаменателю, а
затем выполнить разделение на вещественную и мнимую части. ПФ приобретает вид
W ( jω) = P (ω) + jQ (ω) .
Задаваясь различными значениями частоты, можно
найти
множество
пар
{P(ω1);jQ(ω1)},
{P(ω2);jQ(ω2)},…{P(ωn);jQ(ωn)}. Затем по этим парам
строится АФЧХ на комплексной плоскости.
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы:
1. если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев, то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке P(ω) = k (где
k − коэффициент усиления разомкнутой систе176
мы). Заканчивается АФЧХ в начале координат
при ω → ∞ (рис. 4.17, а).
2. если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено, то ее АФЧХ начинается при
ω = 0 в бесконечности на отрицательной мнимой
полуоси, а заканчивается в начале координат при
ω → ∞ (рис. 4.17, б).
а)
б)
jQ
jQ
ω→∞
ω→∞
ω=0
P
P
ω=0
Рис. 4.17. АФЧХ разомкнутой системы
Разомкнутая система может быть устойчивой, неустойчивой или находиться на границе устойчивости.
Если система содержит только устойчивые элементы,
то она будет устойчивой. Если есть хотя бы один неустойчивый элемент, то система будет неустойчивой. Если есть хотя бы одно интегрирующее звено, то она будет на границе устойчивости.
177
Критерий устойчивости Найквиста формулируется
так:
1. если разомкнутая система устойчива или
находится на границе устойчивости, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты ω от 0 до ∞
не охватывала точку с координатами {–1, j0};
2. если разомкнутая система неустойчива, а
ее ПФ имеет m полюсов справа от мнимой оси на
комплексной плоскости, то для устойчивости
замкнутой системы необходимо и достаточно,
чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от ω от - ∞ до + ∞ охватывала m раз
точку с координатами {–1, j0}.
При использовании этого критерия нужно учитывать
две особенности:
1.
если разомкнутая система находится на
границе устойчивости, то ее АФЧХ уходит в бесконечность. Для проверки критерия Найквиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно большого радиуса с положительной вещественной полуосью (см. рис. 4.16, б).
2.
на практике АФЧХ может строиться только для положительных частот (0 ≤ ω < + ∞). При применении критерия Найквиста считается, что ветвь
АФЧХ для отрицательных частот симметрична относительно вещественной оси.
178
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключается в том, что система будет неустойчива,
если фаза выходного сигнала противоположна фазе
входного сигнала, а коэффициент усиления >1.
Иначе говоря, если АФЧХ при некоторой частоте
проходит через точку {–1, j0}, то на этой частоте амплитуда выходного сигнала равна амплитуде входного
сигнала, а его фаза противоположна фазе входного
сигнала (–π). Если отключить источник внешних колебаний и замкнуть отрицательную обратную связь, то на
вход поступит с выхода точно такой же сигнал, который подавался до этого на входе. В системе установятся незатухающие колебания, т.е. она будет находиться
на границе устойчивости.
Если же АФЧХ при некоторой частоте охватывает
точку {–1, j0}, то есть такая частота, при которой сдвиг
фаз будет –π, а усиление > 1. При замыкании отрицательной обратной связи и отключении источника
внешнего сигнала амплитуда выходных колебаний будет расти, и система потеряет устойчивость.
Если АФЧХ не охватывает точку {–1, j0}, то при фазовом сдвиге –π амплитуда выходного сигнала меньше
амплитуды входного сигнала. При замыкании отрицательной обратной связи колебания будут затухать, т.е.
система будет устойчива.
Частотный критерий устойчивости Найквиста часто
удобно использовать в том случае, когда рассматривается не АФЧХ, а ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы:
замкнутая минимально-фазовая система устойчива, ес179
ли, при достижении ЛФЧХ значения –π, ЛАЧХ будет
отрицательной (рис. 4.18).
а)
б)
L(ω
L(ω
ω
φ(ω)
ω
φ(ω)
ω
ω
–π
–π
Рис. 4.18. Неустойчивая а) и устойчивая б) системы
Эта формулировка следует из того, что если ЛАЧХ
отрицательна, то модуль АФЧХ < 1 (так как числа,
меньшие единицы, имеют отрицательный логарифм).
Таким образом, система устойчива, если на частоте
среза значение фазы не превышает –π. Соответственно,
для устойчивой системы можно рассматривать на
180
ЛФЧХ запас устойчивости по фазе – расстояние от
значения фазы на частоте среза до уровня –π, и запас
устойчивости по амплитуде – расстояние от оси частот
ЛАЧХ до значения усиления на частоте, где фаза становится равной –π (рис. 4.19).
L(ω)
A
ω
φ(ω)
ω
B
–π
Рис. 4.19. Запасы устойчивости по амплитуде (А) и по
фазе (В).
Критерий устойчивости Найквиста для систем
с запаздыванием
181
Формулировка критерия устойчивости Найквиста
для систем с чистым запаздыванием аналогична формулировке для систем без запаздывания, имеющих
дробно-рациональные передаточные функции. АФЧХ
разомкнутой системы в этом случае:
W ( jω)e − jωτ = A(ω)e jϕ ( ω)e − jωτ = A(ω)e j (ϕ ( ω) − ωτ )
Из этого выражения видно, что звено запаздывания
не меняет модуль А(ω) АФЧХ разомкнутой системы, а
вносит лишь дополнительный отрицательный фазовый
сдвиг ωτ, пропорциональный частоте ω с коэффициентом пропорциональности, равным времени запаздывания τ.
При построении АФЧХ разомкнутой системы с запаздыванием модуль A(ω) поворачивают на угол ωτ по
часовой стрелке. С ростом частоты ω угол ωτ будет
быстро расти, а модуль А(ω) обычно уменьшается, поэтому АФЧХ разомкнутой системы с запаздыванием
имеет вид спирали, закручивающейся вокруг начала
координат. Условие устойчивости ухудшается, так как
вся АФЧХ приближается к критической точке (–1, j0).
Можно найти критические значения времени запаздывания τкр и соответствующие ему частоты ωкр, при
которых W(jω)e–jωτ проходит через точку (–1, j0).
Для этого случая запишем:
W ( jωкр )e
− jωкр τкр
= A(ωкр )e
j (ϕ ( ωкр )−ωкр τкр )
= −1.
Отсюда можно записать условия для амплитуд и фаз:
182
A(ωкр ) = 1;
φ(ωкр) – ωкрτкр = –π.
Из первого условия найдем ωкр , подставим это значение во второе уравнение и найдем допустимое минимальное значение τкр :
τ кр =
ϕ (ωкр ) + π
ωкр
,
где φ(ωкр) + π – запас устойчивости по фазе.
Обычно в целях повышения быстродействия и точности системы время запаздывания выбирают минимальным: τ < τкр .
Пример 4.8. Найти значение τ, соответствующее границе устойчивости замкнутой системы, представленной на рис. 4.20.
183
X(s)
E(s)
e–τs
W (s) =
10
s +1
Y(s)
Рис. 4.20. Замкнутая система со звеном чистого запаздывания
Решение. Запишем передаточную функцию разомкнутой системы
W ( s )e − τs =
10e − τs
,
s +1
W ( s )e − jωτ =
10e − jωτ
.
1 + jω
Найдем ωкр:
A(ωкр ) =
10
2
1 + ωкр
τ кр =
3.
=1
⇒ ωкр = 9 ,95;
− arctg(9,95) + π
≈ 0,17.
9,95
Частотные критерии качества
Запасы устойчивости
Частотные критерии качества наиболее разработаны в отношении определения запаса устойчивости, который можно определить по удалению АФХ разомкнутой системы от точки (–1, j0)
(рис. 4.21).
Запас устойчивости по амплитуде определяется точками a и c
184
(см. рис. 4.21), которым соответствуют величины:
L1 = 20lg (β1) = 20lg(1/u1),
L2 = 20lg (β2) = 20lg(u2).
V(ω)
u2 = β2
u1 =
1
β1
(–1, j0)
c
a
µ
U(ω)
b
Рис. 4.21. Определение запасов устойчивости
Запас устойчивости тем больше, чем больше L1 и L2.
Запасом устойчивости по фазе называется величина
µ = 180 + φ,
где φ – аргумент частотной ПФ разомкнутой системы, соответствующий модулю, равному 1 (точка b).
Запас устойчивости также можно определять по показателю
колебательности M.
Показателем колебательности называется максимальное значение ординаты Mmax амплитудной характеристики замкнутой
системы при начальной ординате, равной 1, т.е. относительная
высота резонансного пика (рис. 4.22).
Физический смысл показателя колебательности заключается
в следующем. Если сигнал на входе системы меняется по закону
g (t ) = g max sin(ωt ) ,
185
то на выходе будет сигнал
y(t ) = ymax sin (ωt + φ) .
mod(W(jω))
1
Mma
ωp
ω
Рис. 4.22. Определение показателя колебательности
Таким образом:
y max
H ( jω)
= W ( jω ) =
,
g max
1 + H ( jω )
где W(jω) и H(jω) – ПФ замкнутой и разомкнутой системы.
H ( jω)
.
1 + H ( jω) max
Обычное требование Mmax < 1,1 ÷ 1,5.
Показатель колебательности можно отыскать по виду АФХ
разомкнутой системы.
M max = W ( jω) max =
M = W ( jω) =
H ( jω)
U + jV
=
=
1 + H ( jω) 1 + U + jV
U 2 +V 2
(1 + U )2 + V 2
.
Если возвести в квадрат правую и левую часть и освободиться от знаменателя, то можно получить выражение:
186
(U + C )2 + V 2 = R 2 ,
M2
M
; R= 2 .
2
M −1
M −1
Таким образом получается уравнение окружности с центром,
смещенным на С от начала координат и радиусом R.
Если задано условие на значение М, то достаточно, чтобы
АФХ не заходила в запретную зону, заданную соответствующей
окружностью (рис. 4.23).
C=
jV
С
R
-1, j0
0
U
W(jω)
Рис. 4.23. Семейство окружностей, соответствующих
разным значениям показателя колебательности
187
Точность при гармоническом воздействии
Пусть на вход системы поступает сигнал вида
g (t ) = g max sin(ωk t ) .
Ошибка системы в установившемся режиме
e(t ) = emax sin (ωk t + ϕ ) .
Точность системы может быть оценена по амплитуде ошибки
emax = g max W ( jω k ) ,
g max
.
1 + H ( jω k )
Обычно при проектировании emax << gmax, и на рабочей частоemax =
те
1 + H ( jω k ) >> 1.
Тогда
g max
g
= max ,
H ( jω k ) A(ω k )
где A(ωk) - модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы при ω = ωk.
Последнее выражение широко используется при расчёте
систем методом ЛАХ. В этом случае модуль A(ωk) в дБ, т.е.
emax ≈
L(ω k ) = 20 lg A(ω k ) ,
равен ординате ЛАХ при частоте ω = ωk.
Для того чтобы амплитуда ошибки в системе не превосходила допустимого значения emax, ЛАХ должна проходить не ниже
контрольной точки Ak с координатами

 g max 
 ,
 L(ω k ) = 20 lg A(ω k ) = 20 lg

 emax 
ω = ω .
k

188
Часто при проектировании и испытании систем управления
пользуются синусоидальным задающим сигналом и в том случае, когда требования к системе поставлены по максимальной
скорости и максимальному ускорению входного воздействия. В
этом случае можно определить эквивалентный синусоидальный
сигнал.
Если g(t) = gmsin(ωkt), то
g& = g m ω k cos ω k t
g&& = − g m ω k2 sin ωk t
;
Следовательно,
g& max = g m ωk ;
g&&max = g m ω2k .
Отсюда вычисляются частота ωk и амплитуда gm синусоидального задающего воздействия, соответствующие максимальной скорости и ускорению, а именно:
ωk =
gm =
g&&m
;
g& m
(g& m )2 .
g&&m
Эти значения используются для нанесения координат контрольной точки на поле построения желаемой ЛАЧХ разомкнутого контура системы управления.
Пример 4.9. Найти амплитуду ошибки в системе, представленной на рис. 4.24.
G(s)
E(s)
H (s) =
k
Ts + 1
Y(s)
189
Рис. 4.24. Замкнутая система при гармоническом воздействии
Входной сигнал
g (t ) = g max sin(ωk t ),
где gmax = 10, ωk = 2.
Передаточная функция замкнутой системы по ошибке
We ( s ) =
Ts + 1
1
1
=
=
,
Ts + 1 + k
1 + H ( s) 1 + k
Ts + 1
We ( jω) =
Tjω + 1
T 2ω2 + 1
=
.
Tjω + 1 + k
T 2ω2 + 1 + k
Пусть k = 20, Т = 0,1, тогда
We ( jω k ) =
0,01⋅ 4 + 1
≈ 0,05.
0,01⋅ 4 + 20
emax = g max W ( jω k ) = 10 ⋅ 0,05 = 0,5.
Сравним этот результат с приближенным значением:
emax ≈
4.
g max
g
T 2ω2 + 1
= max
≈ 0,5.
H ( jω k )
k
Синтез корректирующих устройств
Оценка качества следящей системы по виду ЛАЧХ разомкнутой системы
190
При анализе ЛАЧХ разомкнутой системы ось абсцисс разбивается на три части: область низких (НЧ), средних (СЧ) и высоких частот (ВЧ). Границами областей служат частоты ωa , где
L(ω) = 30 дБ, и ωn , где L(ω) = –16 дБ (рис. 4.25).
L(ω)
НЧ
СЧ
ВЧ
≈ 30 дБ
ωa
ωс
≈ 16 дБ
ωn
Рис. 4.25. Области ЛАЧХ разомкнутой системы
Область НЧ определяет собой ширину спектра частот управляющего воздействия, который может воспроизводиться на выходе данной замкнутой системы без искажений.
Область СЧ определяет запас устойчивости и имеет главное
значение для оценки качества переходного процесса. Величиной
частоты среза определяется скорость затухания переходного
процесса: чем больше ωс, тем короче переходный процесс. Увеличение отрицательного наклона характеристики около ωс свыше –20 дБ/дек может привести к увеличению колебательности
системы.
Область ВЧ не оказывает существенного влияния на работу
системы.
Для увеличения частоты среза ωс следует повышать коэффи191
циент усиления разомкнутой системы. Однако чем больше ωс,
тем меньше запас устойчивости по амплитуде и по фазе (это характерно для инерционных звеньев, где с ростом частоты растет
запаздывание по фазе).
Избежать нежелательных эффектов можно при включении
последовательно дифференцирующего элемента, вносящего
опережение по фазе в окрестности ωс, либо при включении последовательно интегрирующего элемента, который повышает
усиление, не меняя частоту среза.
Коррекция с помощью дифференцирующего устройства
Дифференцирующая фазоопережающая цепь описывается
передаточной функцией (где k < 1):
W ( s) = k
T1s + 1
,
T2 s + 1
A(ω) = k
W ( jω ) = k
1 + T12 ω 2
1 + T22 ω 2
T1 jω + 1
.
T2 jω + 1
.
L(ω) = 20 lg( A(ω)) = 20 lg k + 20 lg 1 + T12ω 2 − 20 lg 1 + T22ω 2 .
При ω = 0:
L (ω) ≈ 20 lg k .
При ω = ∞:
L(ω) ≈ 20 lg 1 + T12ω 2 − 20 lg 1 + T22ω 2 = 0.
ϕ (ω) = arg(W ( jω)) = arctg(ωT1 ) − arctg(ωT2 ) = ψ1 − ψ 2 . .
Таким образом, числитель ПФ обеспечивает опережение,
равное ψ1, а знаменатель – запаздывание, равное ψ2.
192
На рис. 4.26 представлены ЛАЧХ и ЛФЧХ фазоопережающей
цепи.
L(ω)
0
ω = 1/T1
ω = 1/T2
ω
20lgk
ψ1
π/2
π/4
ψ1 - ψ2
0
–π/4
–π/2
ψ2
Рис. 4.26. ЛАХ фазоопережающей цепи
Частоту, на которой происходит максимальное опережение
по фазе, можно определить из условия:
dϕ (ω) d (arctg(ωT1 )) d (arctg(ωT2 ))
1
=
−
= 0 ⇒ ωmax =
.
dω
dω
dω
T1T2
Максимальное значение для угла опережения можно найти,
подставив ωmax в формулу:
193
 T1 


 − arctg T2 .

 T 
 T2 
 1
ϕmax (ω) = arctg
Коррекция с помощью фазоопережающей цепи имеет следующие недостатки:
1. фазоопережающее устройство вносит ослабление
в области НЧ, поэтому требуется дополнительно увеличивать коэффициент усиления других элементов;
2. фазоопережающее устройство пропускает ВЧ без
ослабления, т.е. высокочастотные шумы проходят на выход без ослабления.
Коррекция с помощью интегро-дифференцирующей цепи
Рассмотрим пассивную интегрирующую цепь, которая описывается с помощью ПФ вида
W (s) =
T2 s + 1
,
T1s + 1
W ( jω ) =
A(ω) =
1 + T22 ω 2
1 + T12 ω 2
T2 jω + 1
.
T1 jω + 1
.
L(ω) = 20 lg( A(ω)) = 20 lg 1 + T22ω 2 − 20 lg 1 + T12ω 2 .
При ω = 0:
L ( ω) ≈ 0 .
При ω = ∞:
A(ω) → k =
194
T2
,
T1
L (ω ) ≈ 20 lg k ,
ϕ (ω) = arg(W ( jω)) = arctg(ωT2 ) − arctg(ωT1 ) = ψ1 − ψ 2 .
На рис. 4.27 представлены ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего
устройства.
L(ω)
0
ω = 1/T1
ω = 1/T2
ω
20lgk
φ(ω
)
0
ω
–π/4
–π/2
Рис. 4.27. ЛАХ интегрирующего устройства
Таким образом, интегрирующая цепь не вносит ослабления в
области НЧ, но вызывает запаздывание по фазе.
Совместить достоинства дифференцирующего и интегрирующего
устройств
можно
с
помощью
интегродифференцирующей цепи, которой соответствует ПФ вида
195
W ( s) =
(τ1s + 1)(τ 2 s + 1)
(T1s + 1)(T2 s + 1)
и график ЛАХ, приведенный на рис. 4.28.
L(ω)
0
ω1 = 1/T1
ω2 = 1/τ1
ω3 = 1/τ2
ω = 1/T2
ω
20lgk
φ(ω
)
π/2
0
–π/2
ω
Рис. 4.28. ЛАХ интегро-дифференцирующего устройства.
Синтез корректирующего звена общего вида
Пусть задана исходная (располагаемая) динамическая система, описываемая ПФ W(s) (рис. 4.29, a). Если эта система является неустойчивой или не удовлетворяет заданным показателям
качества, то ее поведение можно улучшить при включении по196
следовательного корректирующего устройства с ПФ K(s) (рис.
4.29, б).
a)
X(s)
б)
W(s)
Y(s)
X(s)
K(s)
W(s)
Y(s
Рис. 4.29. Исходная и скорректированная система
Частотный метод синтеза основан на построении реальных и
желаемых частотных характеристик системы, их сопоставлении
и выборе на этой основе структуры и параметров корректирующих устройств.
Важнейшим этапом частотного синтеза является формирование желаемой АЧХ системы G(s), которую можно представить в
виде произведения
G ( s ) = W ( s ) K ( s ).
(4.1)
Откуда следует
K (s) =
G(s)
.
W (s)
При использовании ЛАЧХ имеем
LK = 20 lg K ( jω) ,
LG = 20 lg G ( jω) ,
LW = 20 lg W ( jω) .
Откуда следует
LK = LG − LW .
Рассмотрим требования к G(s).
197
Низкочастотная часть ЛАЧХ формируется в соответствии
с требованиями к точности, которую можно оценить по воспроизведению системой гармонического входного сигнала.
Пусть на вход системы поступает сигнал вида
g (t ) = g m sin(ωk t ) .
Тогда, как было показано выше, ЛАХ системы в области низких частот должна быть расположена не ниже
контрольной точки Ak с координатами
ωk = ω g ;
g 
L(ωk ) = 20 lg max  ,
 xmax 
где x max − максимальная ошибка следящей системы.
Среднечастотная часть ЛАХ должна пересекать ось
частот с наклоном –20 дБ/дек, причем этот отрезок
ЛАХ обычно ограничивается с левой стороны отрезком
с наклоном –40 дБ/дек, а с правой –40 или –60 дБ/дек, в
зависимости от наклона ЛАХ нескорректированной
системы.
Для нахождения частоты и амплитуды эквивалентного гармонического воздействия можно воспользоваться требуемыми значениями максимальной скорости и ускорения системы
g&&
ωk = m ;
g& m
gm
2
(
g& m )
=
.
g&&m
Для определения границ среднечастотного участка
вводится понятие базовой частоты
198
ω0 =
g&&m
.
xmax
По базовой частоте вычисляется частота среза
ωс =
M
ω0 ,
M −1
где М – заданный показатель колебательности.
По частоте среза определяются частоты ω2, ω3, соответствующие началу и концу среднечастотного участка:
ω2 ≤
M −1
ωc ;
M
ω3 ≥
M +1
ωc .
M
Типовая структура желаемой ЛАЧХ изображена на рис. 4.30.
L(ω)
L(ωk)
– 20
дБ/дек
– 40
дБ/дек
ωc
ωk
ω2
ω3
ω0
ω
–40
дБ/дек
199
Рис. 4.30. Построение желаемой ЛАЧХ
Высокочастотная часть ЛАЧХ (справа от ω3) не оказывает
влияния на точность системы и ее динамические характеристики. Обычно наклоны высокочастотной и низкочастотной частей
желаемой ЛАЧХ стремятся сделать такими же, как у исходной
динамической системы.
Желаемой ПФ на рис. 4.30 соответствует ПФ вида:
G( s) =
k ( τ 2 s + 1)
,
s (Tk s + 1)(T3 s + 1)
где k − коэффициент усиления; Т и τ − постоянные
времени, соответствующие сопрягающим частотам:
τ2 =
1
,
ω2
Tk =
1
,
ωk
T3 =
1
.
ω3
В общем случае структура ПФ, соответствующей желаемой ЛАХ, будет иметь вид
 1

k  s + 1...
 ω2

G( s) =
,
 1
 1
 1
 1

s
s + 1 s + 1 s + 1 s + 1...
 ωk
 ω3
 ω5
 ω4

где k – коэффициент передачи желаемой системы:
k = 10
LG ( ω =1)
20
.
При построении желаемой ПФ следует помнить, что
изменение коэффициента усиления k поднимает или
опускает всю ЛАЧХ, полиномы числителя изменяют
200
наклоны асимптот ЛАЧХ на +20 дБ/дек, а каждый полином знаменателя изменяет наклоны на –20 дБ/дек.
Передаточная функция нескорректированной системы будет иметь следующий общий вид:
W ( s) =
( τ1 s + 1)
,
s (T1 s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)...
r
где r − порядок астатизма нескорректированной системы; τ1, T1, Т2, Т3…– постоянные времени числителя и
знаменателя, соответственно.
Тогда ПФ корректирующего устройства в соответствии с (4.1) будет определяться выражением
 1

k  s + 1
s r (T1s + 1)(T2 s + 1)...
 ω2

Wk ( s) =
⋅
.
 1
( τ1s + 1)
 1
 1

s s + 1 s + 1 s + 1...
 ωk
 ω3

 ω4
Пример 4.10. Пусть система описывается ПФ вида:
W (s) =
20
.
s (0,1s + 1)(0,05s + 1)
Необходимо провести частотный синтез корректирующего
звена, исходя из следующих требований к системе:
x max .= 0,033 град;
g& m = 30 град/с;
&g& m = 30 град/с2;
М = 1,5.
Определим параметры желаемой ПФ.
201
Амплитуда и частота эквивалентного гармонического воздействия:
ωk =
30
= 1;
30
g max =
30 2
= 30.
30
Координата контрольной точки Ак :
 30 
L (ω k ) = 20lg 
 = 59 дБ .
 0,033 
Границы среднечастотной области:
ω0 =
ω2 ≤
30
= 30;
0,033
1,5 − 1
51,96 = 17,32 ;
1,5
ωc =
1.5
30 = 51,96;
1,5 − 1
ω3 ≥
1,5 + 1
51,96 = 86,6 .
1,5
В области ВЧ желаемая ЛАХ должна повторять наклон ЛАХ
нескорректированной системы, а именно –60дБ/дек, поэтому
выбираем
ω4 = 1000 > ω3..
Желаемый коэффициент усиления
k = 10[59,08/20] ≈ 900.
Окончательно, желаемая ПФ будет иметь вид:
G( s) =
900(0,058s + 1)
.
s ( s + 1)(0,01s + 1)(0,001s + 1)
Передаточная функция корректирующего устройства
202
900(0,058s + 1)
s (0,1s + 1)(0,05s + 1)
×
=
s ( s + 1)(0,01s + 1)(0,001s + 1)
20
(0,1s + 1)(0,05s + 1)(0,058s + 1)
= 45
.
( s + 1)(0,01s + 1)(0,001s + 1)
Wk (s) =
После получения математической модели корректирующего звена возникает вопрос о её технической реализации. Здесь есть два варианта: реализация на базе
аналоговых электронных элементов (непрерывная реализация) и цифровая (дискретная) реализация.
Аналоговые корректирующие звенья создают с помощью электронных операционных усилителей. Такие
устройства достаточно надёжны, компактны, имеют
малое энергопотребление. Эти положительные особенности привели к широкому применению аналоговые
корректирующих звеньев в промышленном оборудовании.
203
4.7. Аналоговые корректирующие звенья
Пассивные корректирующие звенья
Пассивные корректирующие звенья называются так,
потому что не позволяют увеличивать коэффициент
усиления.
Рассмотрим, как получаются ПФ некоторых простейших схем (рис. 4.31).
а)
б)
R
R
L
u1
u
i
C
i
u2
Рис. 4.31. Простейшие электронные схемы
Для схемы на рис. 4.31, а будем считать входным
сигналом приложенное напряжение u, а выходным –
ток в цепи i. Тогда процессы в схеме описываются
уравнением
u (t ) = L
di (t )
+ Ri (t ),
dt
которое в изображениях по Лапласу приобретает вид
U ( s ) = LpI ( s ) + RI ( s ) = I ( s )( Ls + 1).
204
Передаточная функция между входом и выходом
схемы
W ( s) =
I ( s)
1
1R
k
=
=
=
,
U ( s ) Ls + R L s + 1 Ts + 1
R
где k = 1/R – коэффициент передачи, T = L/R – постоянная времени.
Таким образом, ПФ схемы рис.4.31, а соответствует
апериодическому звену.
Для схемы на рис. 4.31, б будем считать входной величиной напряжение u1, а выходной – u2. При расчете
ПФ должны соблюдаться два условия:
− цепь не нагружена (никаких элементов к выходным зажимам не подключено, либо эти элементы имеют сопротивление, стремящееся к бесконечности);
− сопротивление источника входного напряжения
настолько мало, что им можно пренебречь.

u1 (t ) = i (t ) R + uc (t ),

 u2 (t ) = uc (t ),

duc (t )
 i (t ) = C dt .

Переходя к изображениям по Лапласу, имеем
U1 ( s ) = ( RCp + 1)U c ( s ),

U 2 ( s) = U c ( s).

Передаточная функция
205
W ( s) =
U c ( s)
U 2 ( s)
1
=
=
,
U 1 ( s ) ( RCp + 1)U c ( s ) Tp + 1
где T = RC – постоянная времени.
Таким образом, ПФ схемы рис. 4.31, б также соответствует апериодическому звену.
Обобщая второй из приведенных примеров, рассмотрим пассивный четырехполюсник постоянного тока – электрическую цепь из резисторов, конденсаторов
и индуктивностей (рис. 4.32).
206
Z1
Z2
U
Zн
U
Рис. 4.32. Пассивный четырехполюсник
При сделанных выше допущениях ПФ пассивного
четырехполюсника
W (s) =
U 2 (s)
Z 2 (s)
=
,
U1 ( s ) Z1 ( s ) + Z 2 ( s )
где Z1 и Z2 – операторы сопротивлений четырехполюсника.
Z1 ( s ) = R1 +
1
+ L1s,
C1s
Z 2 ( s) = R2 +
1
+ L2 s.
C2 s
Изменяя вид операторов Z1 и Z2, можно получить
большое количество четырехполюсников, которым соответствуют различные передаточные функции. Например, рассмотрим схему на рис. 4.33.
C
R1
U
R2
U
207
Рис. 4.33. Пример пассивного четырехполюсника
W (s) =
U 2 ( s)
Z 2 ( s)
=
=
U1 ( s) Z1 ( s) + Z 2 ( s)
R2
R2 (1 + R1Cs )
=
.
R1 / Cs
R
+
R
(
1
+
R
Cs
)
1
2
1
+ R2
1 / Cs + R1
Полученное выражение можно переписать в виде
W ( s) =
U 2 ( s)
R2 (1 + R1Cs )
=
=
U1 ( s ) R1 + R2 + R1R2Cs )
R2
(1 + R1Cs )
k ( τs + 1)
R1
=
=
.
Ts + 1

( R1 + R2 ) 
R1R2
1 +
Cs 
R1
 R1 + R2 
В качестве еще одного примера пассивного четырехполюсника рассмотрим колебательное звено (рис.
4.34).
R
U
208
L
C
U
Рис. 4.34. Реализация колебательного звена
Запишем ПФ цепи:
W (s) =
=
U 2 ( s)
1 / Cs
=
=
U1 ( s ) R + sL + 1 / Cs
1
1
= 2 2
,
LCs + RCs + 1 T p +2ξTp + 1
2
T = LC ;
L
;
C
ρ=
ξ=
R
,
2ρ
где T – постоянная времени; ρ – волновое сопротивление; ξ – затухание (демпфирование).
Активные корректирующие звенья
Активные корректирующие звенья строятся на базе
операционных усилителей (ОУ), которые выполняются
по интегральной технологии. ОУ представляет собой
усилитель постоянного тока малой мощности с большим коэффициентом усиления.
Рассмотрим ПФ для типового включения ОУ (рис.
4.35).
Ioc(s
)
Z1(s
U1
I1(s
Zoc(s)
I(s
209
U2
Рис. 4.35. Операционный усилитель
Реальные микросхемы ОУ имеют большой коэффициент усиления kоу и большое входное сопротивление
rвх, так что можно положить
kоу ≈ ∞ и rвх ≈ ∞.
Из условия rвх ≈ ∞ следует, что I1(s) ≈ –Iос(s), т.е. I(s)
≈ 0.
Напряжение на инвертирующем входе приближенно
равно 0, и тогда
U1 ( s) ≈ I1 (s)Z1 (s);
U 2 ( s) ≈ I ос ( s) Zос (s) ≈ − I1 (s) Zос (s).
Следовательно, ПФ схемы на рис. 4.35 описывается
формулой:
W (s) =
210
Z ( s)
U 2 ( s)
≈ − ос .
U 1 (s)
Z1 (s)
Используя эту формулу, можно получать ПФ для
конкретных схем на базе ОУ.
Рассмотрим схему интегратора на ОУ, показанную
на рис. 4.36.
C
R
U1
U2
Рис. 4.36. Схема интегратора на базе ОУ
W (s) = −
Z ос ( s )
1
k
=−
=− ,
Z1 ( s )
RCs
s
где k = 1/RC.
Еще один пример схемы показан на рис. 4.37.
C
R2
R1
U1
211
U2
Рис. 4.37. Пример активного корректирующего звена
Для этой схемы
1
R2
R2
Cs
Z oc ( s) =
=
.
1
+
R
Cs
1
2
+ R2
Cs
Таким образом:
W (s) =
U 2 ( s)
Z (s)
R2
k
= − ос
=−
=−
,
U1 ( s )
Z1 ( s )
R1 (1 + R2Cs )
Ts + 1
где k = -R2/R1 – коэффициент усиления; T = R2С – постоянная времени.
Заметим, что ОУ является линейной системой, поэтому к нему применим принцип суперпозиции (здесь
не будем учитывать существующие для реальной микросхемы ограничения параметров).
212
Например, если ОУ имеет три входа (рис. 4.38), то
выходной сигнал будет складываться из трех составляющих и для каждого из трех входов будет своя ПФ.
Rос
R
U1
U2
U3
R2
Uвых
R
Рис. 4.38. Суммирующий ОУ
W1 ( s ) =
U вых ( s )
R
= − oc ;
U1 ( s )
R1
W3 ( s ) =
W2 ( s ) =
U вых ( s )
R
= − oc ;
U 2 (s)
R2
U вых ( s )
R
= − oc .
U 3 (s)
R3
U вых ( s) = −(W1 (s)U1 ( s) + W2 (s)U 2 (s) + W3 (s).U 3 ( s)).
Для определения параметров конкретного корректирующего звена удобно переходить от ПФ к дифференциальным уравнениям.
213
Например, рассмотрим реализацию колебательного
звена:
W ( s) =
K
;
T s + T1 s + 1
2
2
2
T1 < 2T2 .
Представим ПФ в виде
Y ( s)
K
= 2 2
;
X ( s ) T s + 2ξTs + 1
T
T = T2 , ξ = 1
2T2
W ( s) =
.
Перейдем далее от ПФ к дифференциальному уравнению в операторной форме
y(T 2 s 2 + 2ξTs + 1) = Kx
и разрешим его относительно старшей производной:
s2 y =
K
2ξ
1
x − sy − 2 y .
2
T
T
T
Введем обозначения:
k1 =
K
;
T2
k2 =
1
;
T2
k3 =
2ξ
.
T
Пример 4.9. Допустим, что заданы конкретные параметры звена:
1
;
0,1s + 0,02 s + 1
0,02
T = T2 = 0,3162; ξ =
= 0,0316.
2 ⋅ 0,3162
W ( s) =
214
2
Следовательно
k1 = k2 = 1/T2 = 10;
k3 = 2ξ/T = (2·0,0316)/0,3162 = 0,1999.
Тогда получается следующая схема, включающая
три ОУ (рис. 4.39).
R4
C1
R4
R3
C2
R5
R2
Uвых
R1
DA1
DA2
DA3
Uвх
Рис. 4.39. Реализация колебательного звена на
базе ОУ
В этой схеме DA2 и DA3 играют вспомогательную
роль, их коэффициенты передачи равны 1, так что
215
можно выбрать, например, R4 = R5 = 1мОм, а С2 =
1мкФ.
Параметры С2, R1, R2 и R3 должны обеспечивать рассчитанные значения k1, k2 и k3. Например, при выборе
С2 = 1мкФ, получаем:
k1 = k 2 =
1
1
=
= 10 ⇒ R1 = R2 = 100 кОм,
−6
R1 1 ⋅10
R2 1 ⋅10 −6
(
k3 = k 2 =
)
(
)
1
= 0,2 ⇒ R3 = 5 мОм .
R3 1 ⋅10 −6
(
)
Пример 4.12. Рассмотрим аналоговую реализацию
ПИД-регулятора, уравнение которого имеет следующий вид:
t

1
de(t ) 
u (t ) = K ke(t ) + ∫ e( τ)dτ + Td
,
T
dt
i
0


где e(t) – ошибка регулирования; k – коэффициент регулятора; К – масштабный множитель; Ti и Td – постоянные времени интегрирования и дифференцирования.
Схема ПИД-регулятора изображена на рис. 4.40.
k
Z1(s)
C
216
e(t)
Ti
K
u(t)
Рис. 4.40. Аналоговый ПИД-регулятор
Регулятор имеет три настроечных сопротивления, с
помощью которых подобрать параметры закона управления, используя, например, методику Зиглера–
Николса.
Аналоговые ПИД-регуляторы, как и вообще аналоговые корректирующие звенья, имеют ряд недостатков,
в том числе:
1. разброс параметров полупроводниковых приборов
даже для элементов одного и того же типа;
2. зависимость параметров от окружающей среды и
времени;
3. сложность и пониженная точность реализации нелинейных операций;
4. снижение надёжности при возрастании сложности;
217
5. жесткость структуры, т.е. необходимость замены
устройства при изменении требований к САУ.
Эти недостатки препятствуют использованию аналоговых
корректирующих устройств в высокоточных системах стабилизации, в прецизионных электроприводах и других сложных системах.
218
Вопросы для самопроверки
− Каким путем можно получить частотные характеристики системы?
− Что такое частотная передаточная функция?
− Как получить частотную ПФ из обычной ПФ
− Как параметры выходного сигнала системы меняются при подаче на вход гармонического сигнала?
− Что описывает АЧХ системы?
− Что описывает ФЧХ системы?
− Как построить АЧХ системы по ее ПФ?
− Как построить ФЧХ системы по ее ПФ?
− Как описать частотную ПФ в полярных координатах?
− Как описать частотную ПФ в алгебраической
форме?
− Какой вид имеет АЧХ и ФЧХ апериодического
звена 1-го порядка?
− Как ведет себя коэффициент усиления апериодического звена с ростом частоты?
− Как связаны полоса пропускания апериодического звена и длительность переходного процесса?
− Какие преимущества дает использование ЛЧХ?
− Как описывается ось частот при использовании
ЛЧХ?
− Как меняется частота в пределах декады?
− Какая величина откладывается на графике
ЛАЧХ по оси ординат?
219
− Какому значению усиления сигнала по мощности соответствует один бел?
− Во сколько раз меняется амплитуда при увеличении ЛАЧХ на один децибел?
− Какое значение оси ординат ЛАЧХ соответствует единичному значению усиления амплитуды?
− Какая область значений оси ординат ЛАЧХ соответствует ослаблению амплитуды?
− Где находится частота среза на графике ЛАЧХ?
− Какой вид имеют ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена 1-го порядка?
− Какой вид имеют ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена?
− Почему инерционные звенья называют фильтрами низкой частоты?
− Какой вид имеют ЛАЧХ и ЛФЧХ идеального
дифференцирующего и идеального интегрирующего
звеньев?
− Какой вид имеют ЛАЧХ и ЛФЧХ форсирующего звена?
− Как описывается ЛАЧХ разомкнутой системы
при последовательном соединении звеньев?
− Какие шаги включает в себя алгоритм построения ЛАЧХ разомкнутой системы?
− Как строится кривая Михайлова?
− Как формулируется критерий устойчивости Михайлова для линейной системы n-го порядка?
220
− Как можно обосновать критерий устойчивости
Михайлова?
− Какими свойствами обладает АФЧХ разомкнутой системы?
− Как формулируется критерий Найквиста для устойчивой разомкнутой системы?
− Как формулируется критерий Найквиста для неустойчивой разомкнутой системы?
− В чем заключается физический смысл критерия
устойчивости Найквиста?
− Чему равно усиление по амплитуде при попадании АФЧХ на некоторой частоте в точку {–1, j0}?
− Чему равен фазовый сдвиг при попадании
АФЧХ в точку {–1, j0}?
− Как формулируется частотный критерий устойчивости Найквиста для ЛАЧХ и ЛФЧХ минимальнофазовой разомкнутой системы?
− Как формулируется частотный критерий устойчивости Найквиста для систем с запаздыванием?
− Что такое показатель колебательности?
− Как описать требования по точности системы
при гармоническом воздействии?
− Каким требованиям должна отвечать ЛАЧХ разомкнутой системы в области низких частот?
− Каким требованиям должна отвечать ЛАЧХ разомкнутой системы в области средних частот?
− Каким требованиям должна отвечать ЛАЧХ разомкнутой системы в области высоких частот?
221
− Как связаны частота среза и длительность переходного процесса?
− Какие возможности дает коррекция с помощью
дифференцирующего устройства?
− Какие возможности дает коррекция с помощью
интегро-дифференцирующей цепи?
− Как строится желаемая ЛАЧХ системы?
− По какой формуле можно получить ПФ корректирующего устройства?
− Какие существуют варианты реализации корректирующих звеньев?
− Какие достоинства имеют аналоговые корректирующие звенья?
− Как описывается ПФ дифференцирующей цепи?
− Как описывается ПФ пассивного четырехполюсника?
− На какой базе строятся активные корректирующие звенья?
− Как описать аналоговый ПИД-регулятор?
− Какие недостатки имеют аналоговые корректирующие звенья?
222