Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Челябинской области «Политехнический колледж» Специальность: Машинист локомотива Курс: 1 Группа: МЛ 9-18-1 Студент: Борискин А.И. Дисциплина: ОУДП.01 Математика РОЛЬ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В МАТЕМАТИКЕ И ЖИЗНИ ЛЮДЕЙ ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ Руководитель: преподаватель первой категории Павленкова Е.А. Оценка _____________________ (__________________________) Подпись руководителя Магнитогорск, 2019 СОДЕРЖАНИЕ Введение ……………………………………..………………………..………..2 1. Применение отрицательных чисел в жизни людей 1.1 Медицина……………………………………………………………………5 1.2 Термометры..…………...………………………………...…………...…….7 1.3 Физика.………………………………………………………………..…….8 1.4 Счёт времени………………………………………………………………10 2. Роль отрицательных чисел в математике…………………………………12 Заключение…………………………………………………………………….14 Список использованной литературы...………………………………………16 Приложение А.………………………………………………………...………17 Приложение Б.………………………………………………………...………18 Приложение В.………………………………………………………...………19 Приложение Г.………………………………………………………...………20 1 ВВЕДЕНИЕ Цель моего индивидуального проекта – изучить применение отрицательных чисел в математике и жизни людей. Актуальность темы: любое число в жизни каждого человека играет важную роль, в том числе и отрицательное. Задачи моей работы: 1. Рассказать об отрицательных числах и их появлении; 2. Показать, что отрицательные числа встречаются не только на страницах учебников, но и в повседневной жизни. ЧТО ТАКОЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО? Отрицательное число - элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Основной целью расширения было желание сделать вычитание такой же полноценной операцией, как сложение. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ Непрерывно возрастают роль и значение математики в современной жизни. В условиях научно-технического прогресса труд приобретает все более творческий характер, и к этому надо себя готовить с самого начала. История возникновения отрицательных чисел очень давняя и долгая. Так как отрицательные числа являются чем-то эфемерным, ненастоящим, люди долгое время не признавали их существования. Все началось в Китае, примерно во II веке до н.э. Возможно, в Китае их знали и раньше, но первое упоминание относится именно к тому времени. Там стали применять отрицательные числа и считали их «долгами», при этом положительные называли «имуществом». Той записи, которая существует 2 сейчас, тогда не было, и отрицательные числа записывали черным цветом, а положительные красным. Первое упоминание отрицательных чисел мы находим в книге «Математика в девяти главах» китайского ученого Чжан Цань. Далее, в V-VI веках отрицательные числа стали использоваться достаточно широко в Китае и Индии. Правда, в Китае к ним, все-таки относились осторожно, старались их применение свести к минимуму, а в Индии, напротив, они использовались очень широко. Там с ними производились вычисления и отрицательные числа не казались чем-то непонятным. Известны индийские ученые Брахмагупта Бхаскара (VII-VIII века), которые в своих учениях оставили подробные объяснения работе с отрицательными числами. А в Древности, например, в Вавилоне и в Древнем Египте, отрицательные числа не использовали вовсе. А если при вычислении получалось отрицательное число, считалось, что решения нет. Так и в Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что, если из 0 вычесть любое число, то ответом будет 0, так как ничто не может быть меньше нуля - пустоты. Впервые в Европе свое внимание на отрицательные числа обратил Леонардо Пизанский (Фибоначчи). И описал их в своем произведении «Книга Абака» в 1202 году. Позже, в 1544 году Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие отрицательных чисел и подробно описал действия с ними. «Нуль находится между абсурдными и истинными числами». А в XVII веке математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на цифровой оси слева от нуля. 3 С этого времени отрицательные числа стали повсеместно использовать и признавать, хотя еще долгое время многие ученые отрицали их. В 1831 году Гаусс называл отрицательные числа абсолютно равнозначными с положительными. А то, что не все действия с ними можно совершать не считал, чем -то страшным, с дробями, например, тоже не все действия можно делать. А в XIX веке Уильман Гамильтон и Герман Грассман создали полную законченную теорию отрицательных чисел. С этого времени отрицательные числа обрели свои права и сейчас уже никто не сомневается в их реальности. 4 1 Применение отрицательных чисел в жизни людей 1.1 Медицина Отрицательные числа выражают патологию глаза. Близорукость (миопия) проявляется снижением остроты зрения. Для того чтобы при близорукости глаз мог ясно видеть отдаленные предметы применяют рассеивающие (отрицательные) линзы. Близорукость (-), дальнозоркость (+). Близорукость – это болезнь глаз, при которой человек плохо видит предметы, расположенные вдалеке, но хорошо видит те предметы, которые находятся близко. Близорукость также называется миопией. Считается, что около восьмисот миллионов людей болеют близорукостью. Близорукостью могут страдать все: и взрослые, и дети. В наших глазах существуют роговица и хрусталик. Эти составляющие глаза способны пропускать лучи, преломляя их. А на сетчатке возникает изображение. Потом это изображение становится нервными импульсами и по зрительному нерву передается в мозг. Если роговица и хрусталик преломляют лучи так, что фокус находится на сетчатке, то изображение будет четким. Поэтому люди без каких-либо болезней глаз будут хорошо видеть. При близорукости изображение получается размытым и нечетким. Это может происходить по следующим причинам: - если глаз сильно удлиняется, то сетчатка отходит от стабильного расположения фокуса. При близорукости у людей глаз достигает тридцати миллиметров. А у нормального здорового человека величина глаза равна двадцать три - двадцать четыре миллиметра; - если хрусталик и роговица преломляют лучи света слишком сильно. По данным статистики, на земле каждый третий человек страдает миопией, то есть близорукостью. Таким людям сложно увидеть предметы, которые находятся вдалеке от них. Но при этом если книга или тетрадь будут 5 близко расположены от глаз человека, который болеет близорукостью, то он будет хорошо видеть данные предметы. Пример представлен в Приложении А. 6 1.2 Термометры Если на вопрос «Какова температура воздуха сейчас?» ответить: «Термометр показывает 40», то это не будет точным ответом: термометр может показывать 40 тепла или 40 холода. Говорят, также: 40 выше нуля и 40 ниже нуля. Эти пояснительные слова: «тепло», «холод», «выше нуля», «ниже нуля» - приходится добавлять потому, что температура от нуля изменяется в двух противоположных направлениях. Она может повышаться (ртуть в термометре движется от нуля вверх) и понижаться (ртуть движется от нуля вниз). Но когда передают по радио сводку погоды, то этих пояснительных слов не употребляют. Говорят, коротко, например, так: «В Якутске было минус 6 0, в Мурманске — минус 10, в Казани — плюс 10, в Минске — плюс 30, в Ростове — плюс 120». Таким образом, вместо слов «выше» или «ниже нуля» к числу градусов присоединяют знак плюс или минус. Температура в нуль градусов выражается числом нуль. Это число не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам. Перед ним можно поставить и знак плюс и знак минус или не ставить никакого. Записи 0; +0; –0 обозначают одно и то же число – нуль. Пример представлен в Приложении Б. 7 1.3 Физика Нам приходится буквально отлеплять одну от другой свежевыстиранные и доставаемые из сушилки вещи, или, когда мы никак не можем привести в порядок наэлектризованные и буквально встающие дыбом волосы. А кто не пробовал подвесить воздушный шарик к потолку, после трения его о голову? Подобное притяжение и отталкивание является проявлением статического электричества. Подобные действия называются электризацией. Статическое электричество объясняется существованием в природе электрического заряда. Заряд является неотъемлемым свойством элементарных частиц. Заряд, который возникает на эбоните при трении о шерсть называется отрицательным. Носителем отрицательного заряда является электрон. Весь атом нейтрально заряжен, если количество протонов соответствует электронам. Что произойдет, если один электрон оторвется и улетит? У атома станет на один протон больше, то есть положительных частиц больше, чем отрицательных. Такой атом называют положительным ионом. А если присоединится один электрон лишний – получим отрицательный ион. Электроны, оторвавшись, могут не присоединятся, а некоторое время свободно перемещаться, создавая отрицательный заряд. Таким образом, в веществе свободными носителями заряда являются электроны, положительные ионы и отрицательные ионы. Одноименные заряды (два положительных или два отрицательных) отталкиваются, разноименные (положительный и отрицательный) – притягиваются. Положите на стол несколько маленьких кусочков тонкой бумаги. Возьмите чистую сухую пластмассовую расческу и 2-3 раза проведите ею по своим волосам. Расчесывая волосы, вы должны услышать легкое потрескивание. Затем медленно поднесите расческу к клочкам бумаги. Вы увидите, что они сначала притягиваются к расческе, а потом отталкиваются от нее. 8 Этой же расческой можно притягивать воду. Такое притяжение легко наблюдать, если поднести расческу к тонкой струйке воды, спокойно вытекающей из крана. Вы увидите, что струйка заметно искривляется. Теперь сверните из тонкой бумаги (лучше всего папиросной) две трубочки длиной 2-3см. и диаметром 0,5см. Подвесьте их рядом (так, чтобы они слегка касались друг друга) на шелковых нитках. Расчесав волосы, прикоснитесь расческой к бумажным трубочкам – они сразу разойдутся в стороны и останутся в таком положении (то есть нитки будут отклонены). Мы видим, что трубочки отталкиваются друг от друга. Если у вас есть стеклянная палочка (или трубочка, или пробирка) и кусочек шелковой ткани, то опыты можно продолжить. Потрите палочку о шелк и поднесите к обрывкам бумаги – они начнут «прыгать» на палочку точно так же, как и на расческу, и затем соскальзывать с нее. Струйка воды тоже отклоняется стеклянной палочкой, а бумажные трубочки, к которым вы палочкой прикоснулись, отталкиваются друг от друга. А теперь возьмите одну палочку, к которой вы прикасались расческой, и вторую трубочку, - и поднесите друг к другу. Вы увидите, что они притягиваются друг к другу. Итак, в этих опытах проявляются силы притяжения и силы отталкивания. 9 1.4 Счёт времени В разных странах по-разному. Например, в Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счёт лет начинался заново. Первый год правления царя считался первым годом, второй – вторым и так далее. Когда этот царь умирал и к власти приходил новый, вновь наступал первый год, затем второй, третий. Иным был счет лет, применявшийся жителями одного из древнейших городов мира-Рима. Год основания своего города римляне считали первым, следующий - вторым и так далее. Счёт лет, которым мы пользуемся, возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах. В нашей стране он введён царём Петром Первым триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н.Э.). Продолжается наша эра две тысячи лет. Многие исторические события произошли до нашей эры. Например, основание Рима произошло, согласно легенде, в 753 году до н. э. Этот год мы поместим на «ленте времени» слева от разделительной черты. Первые Олимпийские игры состоялись в 776 году до н. э. Это событие мы также разместим слева от разделительной черты. 776 больше 753, а значит, первые Олимпийские игры состоялись раньше основания Рима и займут положение левее по отношению к 753 г. до н. э. Счет лет до нашей эры идет в обратном направлении — 2 год до н. э. был раньше, чем 1 год до н. э., в то время как события нашей эры считаются в привычной для нас последовательности цифр — сначала был 1 год н. э., затем 2 год н. э. Нулевого года не существует, после окончания 1 года до н.э. наступает 1 год н.э. Если необходимо вычислить, сколько лет прошло от одного события до наших дней, обычно из современной даты вычитают дату события, если событие произошло до нашей эры, то даты складываются. 10 Например, вопрос: сколько лет назад был основан Древний Рим? 753+2018=2766, 2766 лет назад был основан Рим. Известно, что первое летописное упоминание о Москве относится к 1147 году. Сколько лет отметит Москва в этом году? 2019–1147=872, в этом году Москва отметит свое 872летие. Пример представлен в Приложении В. 11 2 Роль отрицательных чисел в математике Координатная прямая Координатная прямая это прямая линия, на которой располагаются все числа: отрицательные и положительные. Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные. Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности. Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя - это любая латинская буква. Координата - это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата - это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой. Пример представлен в Приложении Г. Свойства отрицательных чисел Добавление к натуральным числам отрицательных чисел и нуля делает возможной операцию вычитания для любых пар натуральных чисел. В результате такого расширения получается множество (кольцо) «целых чисел». При дальнейших расширениях множества чисел рациональными или вещественными числами для них тем же путём получаются соответствующие отрицательные значения. Для комплексных чисел упорядоченность не определена, и понятия «отрицательное число» не существует. 12 Отрицательные числа подчиняются практически тем же алгебраическим правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности. 1. Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху. 2. При умножении целых чисел действует правило знаков: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми - положительно. 3. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 < 5 на −2, мы получаем: −6 > −10. Вариации и обобщения Понятия положительных и отрицательных чисел можно определить в любом упорядоченном кольце. Чаще всего эти понятия относятся к одной из следующих числовых систем: Целые числа Рациональные числа Вещественные числа Приведенные выше свойства 1-3 имеют место и в общем случае. К комплексным числам понятия «положительный» неприменимы. 13 и «отрицательный» ЗАКЛЮЧЕНИЕ Работая с различными источниками и исследуя различные явления и процессы, мы выяснили, что отрицательные и положительные используются в медицине, физике, математике и других сферах деятельности человека. Данная тема является актуальной и находит широкое применение и активно используются человеком. Введение отрицательных чисел было связано с необходимостью развития математики как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от конкретного содержания и исходных числовых данных. Отрицательные рационализаторского числа приема явились в результатом вычислительную практику. внедрения Поэтому отрицательные числа необходимы. С их появлением произошел большой толчок развития науки. Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н. э. и то, были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись. Лишь в VII в. индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к ним с некоторым недоверием. Бхасхара прямо писал: "Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел...". Вот как индийский математик Брахмагупта излагал правила сложения и вычитания: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество - долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму». «Сумма двух имуществ есть имущество». Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и 14 теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Выяснили основное значение и свойства отрицательных чисел в математике. Мы изучили историю возникновения положительных и отрицательных чисел и их применение в жизни человека. Эту работу можно использовать на уроках математики, мотивируя учащихся к изучению и отрицательных чисел. Знаменитые отрицательные числа: 1.−273,15 °C (Абсолютный нуль температуры) Это ноль градусов по шкале Кельвина. 2.−1,602 176 565·10−19 Кл(Заряд электрона) Элементарный заряд может быть и положительным - у протонов и позитронов. Отрицательные числа вводятся затем, чтобы устранить ряд трудностей, возникших прежде всего при решении уравнений. Цель достигнута, задачи выполнены. Сложно представить современную жизнь человека без использования отрицательных чисел. 15 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Вигасин А.А., Годер Г.И., «История древнего мира», учебник 5 кл.,2001. 2. Выговская В.В. «Поурочные разработки по Математике:6 класс» М.:ВАКО, 2008г. 3. Газета «Математика» №4, 2010г. 4. Гельфман Э.Г. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001. 5. М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. Москва 1986. 6. Глейзер Г. И. История математики в школе. - М.: Просвещение, 1964.376с. 7. Панов В. Ф.Отрицательные числа // Математика древняя и юная. Изд. 2-е, исправленное. - М.:МГТУ им. Баумана, 2006. - С.398—401. - 648с. 8. Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988. 9. Википедия. Свободная энциклопедия. 10. Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987. 11. Большая математическая энциклопедия. Якушева Г. 16 Приложение А 17 Приложение Б 18 Приложение В 19 Приложение Г 20
