программа ГЭК (ПМиИ, бакалавриат)

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗ ОВАНИЯ
«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени Н.П. ОГАРЁВА»
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
ПРОГРАММА
ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ
ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ
01.03.02. – ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
САРАНСК 2014
РАЗДЕЛ «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»
1. Функции булевой алгебры, и их реализация формулами СДНФ и СКНФ.
2. Замкнутые классы. Критерий полноты.
3. Оценки сложности ДНФ. Сокращенные, тупиковые, минимальные дизъюктивные
нормальные формы, и алгоритмы их построения.
4. Графы. Матричное представление графов. Остов минимального веса и алгоритмы
их нахождения.
5. Сети и потоки в сетях. Теорема Форда-Фалкерсона.
6. Алфавитное кодирование. Алгоритмы построения оптимальных кодов и близких
к оптимальным кодам. Самокорректирующиеся коды.
7. Формализация понятия алгоритма. Машина Тьюринга. Алгоритмическая
неразрешимость.
РАЗДЕЛ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
1. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно
производной. Существование и единственность решения задачи Коши.
2. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения
с разделяющимися переменными. Однородные уравнения первого порядка. Линейные
уравнения. Уравнения Бернулли, Риккати. Уравнение в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель.
3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с переменными
коэффициентами. Общее решение.
4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными
коэффициентами.
5. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка. Теорема существования и единственности.
6. Связь между уравнениями высшего порядка и системами дифференциальных
уравнений.
7. Линейные системы дифференциальных уравнений. Фундаментальная матрица.
Определитель Вронского.
8. Метод Эйлера решения линейных однородных систем с постоянными
коэффициентами.
9. Матричный метод решения линейных однородных систем с постоянными
коэффициентами.
10.Линейные неоднородные системы. Методы решения.
11.Устойчивость линейных систем.
12.Теорема об устойчивости по первому линейному приближению.
РАЗДЕЛ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АВТОМАТОВ»
1. Отношение семантического следования в логике высказываний и нахождение
следствий методом резолюции.
2
2. Отношение выводимости в логике высказываний и теорема о дедукции.
3. Определение машины Тьюринга и понятие вычислимой по Тьюрингу функции.
Вычислимость сложения и умножения натуральных чисел. Понятие алгоритма.
4. Вычислимость частично рекурсивных функций. Теорема Клини об
эквивалентности алгоритмической модели Тьюринга и модели рекурсивных функций.
РАЗДЕЛ «МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ»
1. Постановка основной задачи оптимального управления. Пример.
2. Изопериметрические задачи. Метод множителей Лагранжа.
3. Задача синтеза оптимального управления. Пример.
4. Теорема Куна-Таккера.
5. Задача оптимального быстродействия. Принцип максимума Понтрягина.
6. Задачи вариационного исчисления. Необходимые условия
экстремума в
простейшей задаче вариационного исчисления с подвижными концами.
7. Сильный экстремум. Необходимое условие Вейерштрасса.
8. Вариационный принцип Гамильтона.
РАЗДЕЛ
«ТЕОРИЯ
СТАТИСТИКА»
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
1. Одномерные случайные величины. Функции распределения.
Числовые
характеристики случайных величин. Нормальный закон.
2. Многомерные случайные величины. Функции распределения. Числовые
характеристики систем случайных величин. Ковариация случайных величин и
коэффициент корреляции.
3. Неравенство Чебышева, закон больших чисел и предельные теоремы для сумм
независимых случайных величин.
4. Основные понятия математической статистики и выборочные характеристики.
Оценка математического ожидания, дисперсии, вероятности.
РАЗДЕЛ «МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ»
1. Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем для уравнений в
частных производных.
2. Устойчивость двухслойных разностных схем.
3. Устойчивость трехслойных разностных схем.
4. Устойчивость разностной схемы задачи Дирихле для уравнений Пуассона.
5. Дивергентные разностные схемы для нелинейного уравнения переноса.
6. Метод расширения многомерной начально-краевой задачи для уравнения
теплопроводности.
7. Приближение функций. Полином Лагранжа.
8. Квадратная формула Ньютона-Котеса.
9. Правило Рунге.
3
10.Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
11.Краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений второго
порядка.
РАЗДЕЛ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
1. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность Элементарных
функций.
2. Свойства функций, непрерывных на промежутке. Теоремы Вейерштрасса,
Больцано-Коши, Кантора.
3. Дифференцирование функций одной и многих переменных. Необходимые и
достаточные условия дифференцируемости функций одной и многих переменных.
4. Свойства функций, дифференцируемых на промежутке. Теоремы Ролля,
Лагранжа, Коши.
5. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранжа, Коши.
6. Неявные
функции.
Теорема
существования,
непрерывности
и
дифференцируемости.
7. Определение интеграла по Риману. Критерий
интегрируемости. Классы
интегрируемых функций.
8. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула НьютонаЛейбница.
9. Кратные интегралы. Сведение кратного интеграла к повторному.
10.Криволинейные интегралы. Способы вычисления.
11.Формула Грина.
12.Поверхностные интегралы. Способы вычисления.
13.Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Формула Коши-Адамара.
Разложение элементарных функций в степенной ряд.
14.Дифференцируемые функции комплексного
переменного. Условия КошиРимана.
15.Вычеты. Основная теорема о вычетах.
16.Сжимающие отображения. Теорема Банаха об операторе сжатия.
17.Интеграл Лебега. Определения и основные свойства.
РАЗДЕЛ «ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА»
1. Теорема о классификации линий 2-го порядка.
2. Теорема о множестве решений однородной системы линейных уравнений и его
размерности. Нахождение общего решения неоднородной системы линейных
уравнений.
3. Нормальные делители в группе. Фактор-группа. Примеры.
4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теорема о
собственном подпространстве и его размерности.
4
5. Самосопряженный и ортогональный операторы и их матрицы. Теорема о
существовании ортонормированного базиса из собственных векторов. Примеры.
РАЗДЕЛ «ТЕОРИЯ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ»
18.Критерий эффективности операции. Свертывание критериев.
19.Принятие решений в условиях определенности. Методика определения
полезности.
20.Принятие решений в условиях неопределенности. Критерии Вальда, Гурвица,
Лапласса, Сэвиджа.
21.Принцип оптимальности для конечных игр.
22.Смешанное расширение матричной игры. Теорема о минимаксе.
23.Ситуация равновесия и оптимальные стратегии матричной игры. Доминирующие
стратегии.
24.Графическое решение игр 2*n и m*2.
25.Сведение матричной игры к паре двойственных задач линейного
программирования.
26.Задача выбора кратчайшего пути.
27.Задача о максимальном потоке.
28.Задачи теории расписаний.
29.Целочисленные задачи линейного программирования.
РАЗДЕЛ «БАЗЫ ДАННЫХ»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Аутенфикация и авторизация sql сервер
Методы резерва копирования данных
Язык структуирования к запросам данных SQL
Методы доступа к данным ADO.Net
Язык к запросам данных Ling to sql
Криптография Microsoft sql server
РАЗДЕЛ «СТРУКТУРЫ ДАННЫХ»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Встроенные простые типы данных в языках программированя на примере с++
Комбинированные типы данных (массивы в с++). Доступ через укзатели
Связанные списки (одно- двунаправленные, циклические)
Способы представления графов в с++
Алгоритмы хеширования
Бинарные деревья
РАЗДЕЛ «ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ»
5
1. Основные функции операционной системы, классификация ОС.
2. Управление процессором, памятью, устройствами ввода-вывода.
3. Файловые системы современных ОС.
4. Архитектура ОС семейства Windows.
5. Структура и функции сетевых ОС.
6. Аппаратно-программные средства поддержки мультипрограммного режима –
система прерываний, защита памяти, привилегированный режим.
7. Организация взаимодействия процессов и средства их синхронизации.
Классические задачи синхронизации.
8. Виртуальная память. Модели организации оперативной памяти.
РАЗДЕЛ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ»
1. Устойчивость линейной дифференциальной системы с постоянной матрицей.
Примеры.
2. Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейной системы дифференциальных
уравнений по первому приближению.
3. Постановка задачи об управлении. Дифференциальные уравнения движения.
Примеры.
4. Построение программных движений для линейных нестационарных систем.
5. Постановка основной задачи оптимального управления. Принцип максимумаПонтрягина.
6. Формулировка задачи быстродействия. Задача Фельдбаума.
7. Математические модели теории управления. Регулятор Уатта. Регулятор
Ползунова.
РАЗДЕЛ «АЛГОРИТМЫ. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ»
1. Понятие алгоритма. Временная и пространственная сложности алгоритма.
Асимптотическая сложность алгоритма. Основы анализа эффективности алгоритмов.
Порядок роста двух функций. Основные классы эффективности алгоритмов.
2. Алгоритм генерации перестановок в лексикографическом порядке.
3. Перечисление перестановок с помощью инверсий.
4. Перечисление всех подмножеств множества с помощью кодов Грея.
5. Перечисление k-блочных разбиений множества.
6. Пирамидальная сортировка.
7. Обход графа в ширину.
8. Обход графа в глубину.
9. Алгоритм Дейкстры.
6
РАЗДЕЛ «ЯЗЫКИ И МЕТОДЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ»
1. Алфавиты и цепочки. Формальное определение грамматики и языка.
2. Описание синтаксиса языков. Бэкуса-Наура формы и синтаксические диаграммы.
Рекурсивные определения.
3. Понятие транслятора. Интерпретация и компиляция программ.
4. Рекурсивные объекты и вычисления. Достоинства и недостатки рекурсивных
вычислений. Рекомендации по использованию рекурсии.
5. Рекурсия и алгоритмы с возвратом.
6. Статические и динамические объекты, механизм выделения памяти.
РАЗДЕЛ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
1. Задание линии в En, натуральная параметризация и ее свойства. Вектор кривизны
и кривизна линии.
2. Формулы Френе. Геометрически-механический смысл кривизны и кручения.
Теорема о натуральных уравнениях (без доказательства).
3. Задание поверхности в E3, касательная плоскость и нормаль. Первая
квадратичная форма и ее применения. Изометрическое преобразование поверхности
(изгибание), основные инварианты.
4. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная, главные, полная и
средняя кривизны.
РАЗДЕЛ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
1. Геометрический смысл уравнений и неравенств 1-ой степени (линейных) в E2 и
E3.
2. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и седла.
7
ВОПРОСЫ ПО ДИСЦИПЛИНАМ СПЕЦИАЛИЗАЦИЙ
Специализация «Математическое моделирование и вычислительная
математика»
РАЗДЕЛ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ»
1. Краевые задачи для уравнения эллиптического типа с переменными
коэффициентами.
2. Дивергентная разностная схема для задачи Коши уравнения акустики.
РАЗДЕЛ «ОСНОВЫ ООП»
1. Определение ООП и его основные концепции.
2. Классы. Конструкторы. Индексаторы.
Специализация «Теоретическая информатика и кибернетика»
РАЗДЕЛ «КРИПТОГРАФИЯ»
3. Криптосистема без передачи ключей.
4. Криптосистема Диффи-Хеллмана с открытым ключом.
5. Электронная подпись, основанная на схеме без передачи ключей.
6. Псевдослучайные последовательности и их применение в криптографии.
7. Линейные рекуррентные последовательности над конечными полями.
РАЗДЕЛ «КРИПТОГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ»
1. Назначение и использование криптографического ядра ОС Windows
2. Блочные шифрсистемы DES и ГОСТ 28147-89
3. Теоретическая и практическая стойкость шифров.
4. Блочные системы шифрования. Сеть Фейстеля.
5. Принципы построения поточных шифрсистем.
8