Ответы УДЕ 4-9 класс (муниципальный этап) 28.02.13

Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 4 класса
1. Ответ: Отвешиваем сначала 2 кг слив. Затем делим их поровну по чашам весов,
чтобы весы уравновесились. 1 кг слив получен. Имя 1кг и гирю в 2 кг можно
отмерить любое нужное количество, в том числе и 3 кг.
2. а) 150-30=120 2) 120:2=60 3) 150-90=60 рублей
3. Поскольку один из рядов таблицы заполнен, то можно определить сумму ряда —
она равна 38. Теперь можно расставить числа во многих клетках. Осталось 7
пустых клеток, в которых должны быть расположены числа 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15.
Рассмотрим диагональ, на которой расположены числа 10, 1, 18. Две пустые
клетки на ней должны занимать два числа с суммой 9. Это могут быть только 4 и
5. Теперь рассмотрим ту диагональ, на которой расположены числа 16, 2, 9. Две
пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 11. Это могут быть
только 5 и 6. Значит, в центре стоит 5, а вторые числа на диагоналях —
соответственно 4 и 6. Теперь уже можно однозначно заполнить всю таблицу.
4. Решения м/б разными. Например:
1 = (3 × 3 + 3) : 3 − 3,
2 = (3 + 3 + 3 − 3) : 3,
3 = (3 × 3 + 3 − 3) : 3,
4 = (3 + 3 + 3 + 3) : 3,
5 = (3 × 3 + 3 + 3) : 3,
6 = 3 × 3 + 3 − 3 − 3,
7 = 3 : 3 + (3 × 3 − 3),
5. 4*4*3- 1*3*1*= 45 куб.единиц
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 5 класса.
1. Да. Первое взвешивание: 4,5 кг = 4,5 кг., второе: 2,25 кг = 2,25 кг., третье: 2,25 кг
= 2 кг+200 г+50 г.
2. а)1)100%-20%=80% 2) 80%:2=40%, 3)20%+40%= 60%
3. Поскольку 1/5 + 1/6 > 1/3, то сумма данных дробей 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/70 + 1/3 > 1,
что противоречит здравому смыслу.
4. 1р+2к+3б=38, 3р+2к+1б=22, 4р+4к=4б=60, р+к+б=15
5. 4*4*3- 1*3*1*= 45 куб.единиц
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 6 класса
1. Ответ: Делим монеты на две равные кучки. Из каждой кучки берем по 3 монеты,
кладем на весы и взвешиваем. Если вес одинаковый, то взвешиваем оставшиеся
1и 1 монеты и выявляем фальшивую (более легкую). Если же одна группа из трех
монет легче другой, значит там есть фальшивая монета. Оставляем более легкую
группу из трех монет и кладем на весы 1 и 1 и действуем по предыдущему
алгоритму: если вес одинаков, значит фальшивая третья, а если нет, то та,
которая легче.
2. а) 1/8+1/12=5/24, 1: 5/24= 4,8 ч.
3. Поскольку сумма чисел, стоящих в любых трех соседних клетках, постоянна,
значит, равны между собой все числа, стоящие на местах 1, 4, 7,..., т.е. на этих
местах стоит 6. Также равны между собой все числа, стоящие на местах 3, 6, 9,...,
значит, на всех этих местах стоит 4. Числа, стоящие на местах 2, 5, 8,... тоже
равны между собой и должны быть равны 5, чтобы соблюдалось условие о сумме
15. Окончательное решение приведено в таблице.
4. Четверг. В месяце 4 полные недели (4*7=28 дней) и по условию еще 2 дня,
значит в этом месяце 30 дней, причем лишние дни - это воскресенье и
понедельник. Значит, месяц начинается с воскресенья + 4 полные недели +
понедельник. Тогда 5 число придется на четверг.
5. Отношение объемов 8:1. Тогда ребра кубов относятся как 2:1, а площади 4:1.
В 4 раза.
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 7 класса.
1. Ответ: Отложим в сторону тринадцатую монету, а остальные обозначим
следующим образом: FAKE MIND CLOT
Теперь взвешиваем одну четверку против другой по такой схеме:
3 монеты принимают участие в трех взвешиваниях
3 - только в одном
6 - в двух.
Например: FANO - KECT, AKNC - FMDL, FKIL - ADOT
Например, если результаты взвешивания будут такими: слева легче, равно, слева
тяжелее, значит фальшивой будет монета, обозначенная буквой O. Причем,
фальшивая монета будет легче настоящих. А что если фальшивой окажется всетаки отложенная нами, тринадцатая монета? Все очень просто: в этом случае при
всех трёх взвешиваниях весы будут сбалансированы. К сожалению, в этом
случае нам не узнать легче или тяжелее тринадцатая монета, но в условии такого
требования и не было.
2. Составим уравнение (х/3+2+х/4+1)/2 +х/2+х/6=х, тогда решив уравнение,
получим х=36 яблок.
3. (1 - 2)∙ 3 + (4 + 5 ∙6 ∙7 + 8) ∙ 9 = 1995.
4. Пусть m -число мальчиков, d -число девочек. Найдем общее количество «дружб»
двумя способами. Поскольку каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, это
число равно 4m. С другой стороны, каждая девочка дружит с пятью мальчиками,
значит это число равно 5d.Получаем уравнение 4m = 5d. Поскольку m + d = 27, то
m = 15, d = 12.
5. V=138 куб.единиц, S= 182 кв.единицы
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 8 класса.
1. Ответ: 1. Домножим первое уравнение на x и вычтем из него второе. Общий
корень исходных уравнений будет и корнем получившегося уравнения
(ax3 + bx2 + cx) – (bx2 + cx + a) = 0 ⇔ a(x3 – 1) = 0. Но у последнего уравнения
только один корень – а именно, 1.
2. Пусть доля цейлонского чая в одном фунте смеси равна x; тогда доля индийского
чая равна 1 - x. Для того, чтобы при цене 10 рублей за фунт иметь прибыли на 3
рубля больше, чем раньше, нужно, чтобы старая цена фунта равнялась 7 рублям;
получаем уравнение 10 * x + 6 * (1 - x) = 7, откуда находим: x = 1/4, 1 - x = 3/4.
Значит, искомая пропорция есть 1:3.
3. Девочка.
Пусть у Антона x одноклассниц, тогда одноклассников – 4x. Предположим,
что Женя – мальчик, тогда одноклассниц и одноклассников у него столько
же, сколько и у Антона. Из условия задачи следует, что 4x – x =17. Так как
17 не делится на 3, то это уравнение не имеет натуральных решений, то есть
наше предположение не верно. Предположим, что Женя – девочка, тогда у неё (x –
1) одноклассница и (4x + 1) одноклассник. Следовательно, (4x + 1) – (x – 1)=17.
Следовательно 4x – x + 2 =17. Значит x = 5. Таким образом, при таком
предположении условие задачи выполняется.
4. Решение. Пусть t = 2x + 1, тогда совершив замену переменной в уравнении
f(2x + 1) = 4x2 + 14x + 7, получим: f(t) = t2 + 5t + 1. В последнем соотношении для
функции f(t) вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая
переменная (буква). Поэтому, заменив букву t на букву x, получим:
f(x) = x2 + 5x + 1.
Ответ: f(x) = x2 + 5x + 1.
5. Продолжим боковые стороны AB и DC до их пересечения в точке М (рис.). Тогда
ВС – средняя линия треугольника АМD (так как ВС || AD и BC = 0,5AD). EC –
медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника MED,
следовательно, СE = МС = CD.
Ответы к заданиям по математике (УДЕ) для 9 класса
1. Рассмотрим на числовой прямой точку с координатой x. Сумма |x-2|+|x1|+|x|+|x+1|+|x+2| равна сумме расстояний от точки x до точек с координатами 2,
1, 0, -1, -2. Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек A и B не
меньше длины отрезка AB (и равенство достигается тогда и только тогда, когда
точка расположена на отрезке AB). Отсюда получаем, что |x-2|+|x+2| не меньше 4,
а |x-1|+|x+1| не меньше 2 при любом x. Поэтому для того, чтобы сумма |x-2|+|x1|+|x|+|x+1|+|x+2| была равна 2+4=6, необходимо, чтобы |x|=0. Итак, x=0.
2. Пусть исходное число ab = 10a + b . Тогда число ab - ba = (10a + b) - (10b + a) =
9(a - b) является квадратом натурального числа. Поэтому число a – b также
должно являться полным квадратом, то есть, a – b = 1 или a – b = 4.Поскольку
числа ab и ba – простые, то обе цифры a и b – нечётные, значит, a – b = 4.
Перебирая все варианты, находим числа 51, 73 и 95, из которых простым
является только 73, причём число 37 – также простое.
3. Обозначим производительность первого, второго и третьего рабочего
соответственно через x , y и z деталей в час. Тогда на основании условий задачи
 х  у  z  20

получаем систему двух уравнений с тремя неизвестными:  20  60  8
 x
yz

Из первого уравнения выразим y + z через x y + z = 20 - x , а затем подставим это
выражение во второе уравнение:
20
60

 8 . Это уравнение приводится к
x 20  х
квадратному x2 - 15x + 50 = 0 . Его корни x = 5, x =10 . По условию первый
рабочий затратил на 20 деталей более 3 часов. Тогда он изготовит все 80 деталей
за 16ч.
4. При y = 1 данное равенство примет вид: f(x) = f(x) + f(1) , следовательно, f(1) =
0 . Пусть x = 2013 , y =1/2013 , тогда f(1) = f(2013) + f(1/2013) , то есть f(2013)
= - f(1/2013) = -1 .
5. Пусть a и b — катеты треугольника, c — гипотенуза. Сумма площадей сегментов,
отсекаемых катетами от описанного круга данного треугольника,
с 2 ab

равна
. Тогда сумма площадей указанных "луночек" равна
8
2
a 2
b 2
 s1 
 s2 , где s1 и s2 — площади сегментов, отсекаемых катетами от
8
8
с 2 ab

описанного круга данного треугольника. Ясно, что s1  s 2 
8
2
2
2
a
b
ab
 s1 
 s2 
Следовательно, искомая сумма равна
8
8
2