Математический анализ (собеседование)

050100.62 Педагогическое образование профиль Математика
вопросы для собеседования по дисциплине
«Математический анализ» (для 2 курса)
1.
Задача о проведении касательной к графику функции. Геометрический
смысл производной.
2.
Задача о вычислении мгновенной скорости прямолинейного движения.
Механический смысл производной.
3.
Определение производной. Алгоритм дифференцирования функции y = f (x).
Вывод формул для производных функций: c, x (  R), sin x, cos x, ax, ex, logax, ln x.
4.
Уравнения касательной и нормали к графику функции.
5.
Дифференцируемые функции и их свойства.
6.
Производная суммы, произведения и частного двух функций.
Вывод формул для производных функций: kx b , a0 x n  a1 x n1  ...  an , tg x, ctg x.
7.
Производная обратной функции.
8.
Производная сложной функции. Формулы дифференцирования.
9.
Производные высших порядков. Механический смысл второй производной.
Вывод формул для n-ных производных функций: x (  R), sin x, cos x, ax, ex. Свойства
производных п-го порядка.
10.
Дифференциал функции в точке, его механический и геометрический смысл.
Правила вычисления дифференциалов.
11.
Доказать теорему Ферма.
12.
Доказать теорему Ролля.
13.
Доказать теорему Лагранжа. Формула конечных приложений.
14.
Доказать теорему Коши.
15.
Доказать первую теорему правила Лопиталя.
16.
Сформулировать вторую теорему правила Лопиталя. Раскрытие
неопределенностей других типов на примерах:
1
1
1


x


1) lim   x  tg x ; 2) lim  ctg x   ; 3) lim x x1 ; 4) lim   ; 5) lim   arctg x 
 2
x  0 x
x 0
x 2
x1
x
 

x 



2
17.
Признак постоянства и признак монотонности дифференцируемой функции.
18.
Экстремумы функции (определение, обозначение, примеры). Необходимое
условие экстремума. Критические точки.
19.
Первое достаточное условие экстремума функции. Первый алгоритм
исследования функции на экстремум.
20.
Второе достаточное условие экстремума функции. Второй алгоритм
исследования функции на экстремум. Пример f x   cos 2 x  cos x .
21.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции
на отрезке и алгоритм его нахождения. Нахождение наибольшего и наименьшего
значений непрерывной функции на незамкнутом промежутке.
22.
Определение выпуклости графика функции в точке. Достаточное условие
выпуклости графика функции.
23.
Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба
графика функции. Алгоритм.
24.
Асимптоты графика функции. Правило нахождения наклонных асимптот.
3
tgx