Билеты по геометрии (окончательный вариант)

Специализированная школа-лицей №165 для одаренных детей
Летняя экзаменационная сессия 2009-2010 учебного года
БИЛЕТЫ ДЛЯ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА
ПО ГЕОМЕТРИИ (10 КЛАСС)
Билет №1
1.Взаимное расположение прямых в пространстве. Доказать теорему о прямой,
параллельной данной и проходящей через данную точку пространства, не лежащую на
данной прямой.
2. Определение многогранника. Выпуклые многогранники. Формула Эйлера для
выпуклого многогранника (без доказательства). Правильные многогранники. Доказать
теорему о правильных многогранниках.
3. Задача.
Билет №2
1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Доказать теорему о двух
параллельных прямых, одна из которых пересекает плоскость. Доказать теорему о
прямой, пересекающей одну из параллельных плоскостей. Доказать признак
параллельности прямой и плоскости.
2. Определение трехгранных углов. Вертикальные и смежные трехгранные углы.
Доказать неравенства для плоских углов трехгранного угла.
3. Задача.
Билет №3
1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельные прямые. Доказать
теорему о транзитивности параллельности прямых в пространстве.
2. Доказать первую теорему косинусов для трехгранного угла. Первая теорема Пифагора
для трехгранного угла.
3. Задача.
Билет №4
1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Доказать
признаки скрещивающихся прямых.
2. Доказать терему синусов для трехгранного угла.
3. Задача.
Билет №5
1. Доказать теорему о существовании и единственности плоскости, проходящей через
одну из двух скрещивающихся прямых, параллельно другой из них. Доказать теорему о
существовании и единственности пары параллельных плоскостей, проходящих через две
скрещивающиеся прямые.
2. Двойственный (полярный трехгранный угол). Доказать вторую теорему косинусов для
трехгранного угла. Вторая теорема Пифагора для трехгранного угла. Доказать
неравенство для суммы двугранных углов трехгранного угла.
3. Задача.
Билет №6
1. Доказать теорему о линии пересечения плоскостей, одна из которых проходит через
прямую, параллельную другой плоскости. Доказать теорему о линии пересечения двух
плоскостей, проходящих через две параллельные прямые.
2. Доказать признаки равенства трехгранных углов. Следствия.
3. Задача.
Билет №7
1. Сонаправленные и противоположно направленные лучи. Доказать теорему об углах с
попарно сонаправленными сторонами. Угол между лучами. Угол между прямыми.
Перпендикулярность прямых.
2. Определение пирамиды. Высота пирамиды. Доказать теорему о высоте пирамиды, у
которой два смежных ребра равны (одинаково наклонены к плоскости основания).
Следствия.
3. Задача.
Билет №8
1. Определение прямой, перпендикулярной плоскости. Доказать признак
перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Определение пирамиды. Доказать теорему о высоте пирамиды, две смежные грани
которой одинаково наклонены к плоскости основания. Следствия.
3. Задача.
Билет №9
1. Доказать теорему о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна
плоскости. Доказать теорему о двух прямых, перпендикулярных одной и той же
плоскости.
2. Доказать формулу проекций граней тетраэдра. Доказать теорему о площади боковой
поверхности пирамиды, все грани которой одинаково наклонены к плоскости основания.
Доказать теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.
3. Задача.
Билет №10
1. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Свойства перпендикуляра и наклонной к
плоскости. Доказать теорему о трех перпендикулярах (прямую и обратную).
2. Доказать пространственную теорему Фалеса.
3. Задача.
Билет №11
1. Доказать теорему о сравнении угла между прямой и ее ортогональной проекцией на
данную плоскость с углом между этой прямой и другой прямой, лежащей в этой
плоскости. Определение угла между прямой и плоскостью.
2. Определение тетраэдра. Доказать теорему косинусов для тетраэдра. Теорема Пифагора
для тетраэдра.
3. Задача.
Билет №12
1. Аксиомы стереометрии. Доказать теорему о двух точках. Доказать теорему о трех
точках.
2. Бимедианы тетраэдра. Доказать теорему о бимедианах тетраэдра.
3. Задача.
Билет №13
1. Определение параллельных плоскостей. Доказать теорему о двух плоскостях,
параллельных одной прямой. Доказать теорему о транзитивности параллельности
плоскостей.
2. Медианы тетраэдра. Доказать теорему о медианах тетраэдра.
3. Задача.
Билет №14
1. Определение параллельных плоскостей.
плоскостей.
2. Доказать теорему Менелая для тетраэдра.
3. Задача.
Доказать
признаки
параллельности
Билет №15
1. Доказать теорему о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.
Доказать теорему о прямой, пересекающей одну из параллельных плоскостей.
2. Доказать теорему синусов для тетраэдра.
3. Задача.
Билет №16
1. Доказать теорему о плоскости, пересекающей одну из параллельных плоскостей.
Доказать теорему об отрезках двух параллельных прямых, заключенных между
параллельными плоскостями.
2. Определение призмы. Параллелепипед. Доказать свойство диагоналей
параллелепипеда.
3. Задача.
Билет №17
1. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Доказать теорему о
существовании и единственности плоскости, параллельной данной плоскости и
проходящей через данную точку пространства.
2. Определение призмы. Параллелепипед. Доказать теорему о сумме квадратов
диагоналей параллелепипеда.
3. Задача.
Билет №18
1. Аксиомы стереометрии. Доказать теорему о прямой и точке, не лежащей на данной
прямой. Доказать теорему о двух пересекающихся прямых. Способы задания плоскостей.
2. Прямоугольный параллелепипед. Доказать теорему Пифагора для прямоугольного
параллелепипеда. Свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
3. Задача.
Билет №19
1. Определение двугранного угла. Линейный угол двугранного угла. Теорема о линейных
углах двугранного угла. Величина двугранного угла. Определение перпендикулярных
плоскостей. Доказать признак перпендикулярности плоскостей.
2. Доказать теорему о высоте пирамиды, боковое ребро которой одинаково наклонено к
примыкающим к нему сторонам основания. Доказать теоремы о высоте пирамиды,
боковое ребро которой перпендикулярно стороне основания. Следствие.
3. Задача.
Билет №20
1. Доказать теорему о существовании и единственности плоскости, перпендикулярной
данной прямой и проходящей через заданную точку.
2. Метод внутреннего проектирования построения сечений. Показать на примере.
3. Задача.
Билет №21
1. Доказать теорему о прямой, лежащей в одной из двух взаимно перпендикулярных
плоскостях и перпендикулярной линии их пересечения. Доказать теорему о
перпендикуляре к одной из двух перпендикулярных плоскостей, имеющем с другой
плоскостью общую точку (теорему «отвеса»).
2. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух плоскостей. Геометрическое
место точек, равноудаленных от двух точек. Геометрическое место точек,
равноудаленных от трех точек. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон
треугольника.
3. Задача.
Билет №22
1. Параллельное проектирование. Свойства параллельного проектирования.
Ортогональная проекция. Доказать теорему об ортогональной проекции многоугольника.
2. Доказать теоремы о тетраэдре с взаимно перпендикулярными сторонами.
3. Задача.
Билет №23
1. Доказать теорему о линии пересечения двух пересекающихся плоскостей,
перпендикулярных третьей. Доказать теорему о прямой, перпендикулярной одной из
двух параллельных плоскостей.
2. Метод следов построения сечений. Построение сечений тетраэдра.
3. Задача.
Билет №24
1. Общий перпендикуляр двух прямых. Доказать теорему об общем перпендикуляре двух
скрещивающихся прямых. Расстояние между двумя прямыми. Способы нахождения
расстояния между скрещивающимися прямыми.
2. Метод следов построения сечений. Построение сечений параллелепипеда.
3. Задача.