Вопросы к экзамену по математическому анализу. 1 курс, 2

Вопросы к экзамену по математическому анализу. 1 курс, 2-й модуль
Предварительный список.
Направление 38.03.05 Бизнес-информатика. 2015/2016 учебный год
1. Последовательности. Запись определения ограниченной последовательности в словесной
форме и с помощью кванторов. Геометрический смысл определения. Теорема о связи свойств
существования предела и ограниченности последовательности (с доказательством).
2. Определение предела последовательности. Геометрический смысл определения. Отрицание
определения предела последовательности. Примеры последовательностей, имеющей предел
и не имеющей его.
3. Теорема о пределах арифметических действий над сходящимися (т.е. имеющими пределы)
последовательностями. Доказательство для суммы сходящихся последовательностей.
nα
n
n→∞ q
= 0 при любых α > 0 и |q| > 1 (как на лекциях).
qn
n→∞ n!
= 0 при любом |q| > 1 (как на лекциях).
4. Доказать, что lim
5. Доказать, что lim
6. Определение бесконечно малой последовательности. Пример. Определение бесконечно большой последовательности. Что означают свойства lim xn = ∞, lim xn = +∞ и lim xn =
n→∞
n→∞
n→∞
−∞? Привести примеры, когда выполняется только первое из трех свойств и когда выполняются второе и третье свойства.
7. Монотонные последовательности (неубывающие, возрастающие, невозрастающие, убывающие). Привести примеры последовательностей каждого типа. Строго монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности.
8. Подпоследовательности. Предельные точки последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса (с доказательством). Пример последовательности, имеющей счетный набор предельных точек.
9. Доказать, что lim
n→∞
10. Доказать, что lim
n→∞
loga n
nα
√
n
= 0 при любых a > 1 и α > 0 (как на лекциях).
n = 1 (как на лекциях).
11. Определение фундаментальной последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности (с доказательством необходимости). Доказать, что последовательность xn =
n
P
1
k не является сходящейся.
k=1
12. Определения предела функции b = lim f (x) по Коши и по Гейне. Отрицания определений
x→a
предела по Коши и по Гейне. Примеры функций, для которой этот предел существует и для
которой не существует.
13. Теорема о пределах арифметических операций над функциями, имеющими пределы (с доn +a xn−1 +...+a
n
1
казательством). Вычислить lim ba00xxm +b
при bm 6= 0.
m−1 +...+b
m
1x
x→0
14. Сформулировать и доказать первый замечательный предел (как на лекциях).
15. Сформулировать второй замечательный предел. Доказать, что существует lim 1 +
n→∞
1 n
n
∈
[2, 3] (как на лекциях).
ln(1+x)
x
x→0
16. Доказать, что lim
ex −1
x→0 x
= 1, lim
(1+x)a −1
x
x→0
= 1, lim
1
= a при любых a (как на лекциях).
17. Определение пределов справа lim f (x) и слева lim f (x) по Коши и по Гейне. Теорема
x→a+0
x→a−0
о связи предела lim f (x) и пределов lim f (x), lim f (x) (с доказательством). Привести
x→a
x→a−0
x→a+0
примеры функций, имеющей предел справа, но не имеющей предела слева, и наоборот.
18. Определения пределов lim f (x) и lim f (x) по Коши и по Гейне. Их отрицания. Привести
x→+∞
x→−∞
примеры, когда каждый из этих пределов существует и не существует.
19. Что означает свойство
lim f (x) = ∞ по Коши и по Гейне? Чем отличаются свойства
x→a+0
lim f (x) = +∞ и lim f (x) = −∞? Привести примеры, когда выполняется только первое
x→a+0
x→a+0
из трех свойств и когда выполняются второе и третье свойства.
20. Что означает свойство lim f (x) = ∞ по Коши и по Гейне? Чем от него отличаются свойx→a−0
ства lim f (x) = +∞ и lim f (x) = −∞? Привести примеры, когда выполняется только
x→a−0
x→a−0
первое из трех свойств и когда выполняются второе и третье свойства.
21. Что означает свойство lim f (x) = ∞ по Коши и по Гейне? Чем от него отличаются свойx→+∞
ства lim f (x) = +∞ и lim f (x) = −∞? Привести примеры, когда выполняется только
x→+∞
x→+∞
первое из трех свойств и когда выполняются второе и третье свойства.
22. Определение бесконечной малой функции. Что означает свойство f (x) = o(1) при x → a?
Определение бесконечно малых функций одного порядка малости при x → a. Привести
примеры функций, удовлетворяющих каждому из определений и свойству.
23. Что означает свойство f (x) = o(g(x)) при x → a? Привести пример. Имеет ли смысл запись
o(g(x)) = f (x) при x → a? Ответ обосновать.
24. Определение эквивалентных бесконечно малых функций при x → a. Привести пример. Теорема о преобразовании предела отношения бесконечно малых функций посредством перехода к эквивалентным бесконечно малым функциям (с доказательством). Привести пример
ее применения.
25. Определения свойств f (x) = o(g(x)) при x → a ± 0, при x → ∞ и при x → ±∞. Определение свойства xn = o(yn ) при n → ∞. Привести примеры функций и последовательностей,
обладающих указанными свойствами.
26. Записать асимптотические формулы для sin x, cos x, tg x, ln(1 + x), ex , (1 + x)a при x → 0
на основании соответствующих соотношений эквивалентности.
27. Объяснить и доказать формулу o(f (x)) − o(f (x)) = o(f (x)) при x → a.
28. Объяснить и доказать формулу o o(f (x)) = o(f (x)) при x → a.
29. Определения непрерывности функции f (x) в точке a и непрерывности в точке a справа и
слева. Теорема о связи непрерывности функции в точке a с ее непрерывностью в точке a
справа и слева (с обоснованием). Привести примеры функций, имеющей предел слева, но
не имеющей предела справа, и наоборот.
30. Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями (с обоснованием).
Пример применения с использованием всех арифметических действий.
31. Теорема о непрерывности сложной функции (с обоснованием). Пример применения.
2
32. Простейшие элементарные функции. Элементарные функции. Теорема о непрерывности
элементарной функции в точке.
33. Классификация точек разрыва: устранимый разрыв, разрывы 1–го и 2–го рода. Привести
примеры функций с разрывами каждого типа.
34. Определение производной f 0 (a). Определение правой и левой производных f 0 (a + 0) и f 0 (a −
0). Теорема о связи f 0 (a) с f 0 (a + 0) и f 0 (a − 0) (с обоснованием). Пример функции, имеющей
f 0 (a ± 0), но не имеющей f 0 (a) при a = 0.
35. Теорема о непрерывности функции, имеющей производную (с доказательством).
36. Вывести формулы для производной функций xn , sin x, cos x.
37. Вывести формулы для производной функций xα , ex , ln x.
38. Вывести формулу производной суммы двух функций, имеющих производную. Привести
пример ее применения.
39. Вывести формулу производной произведения двух функций, имеющих производную. Привести пример ее применения.
40. Вывести формулу производной частного двух функций, имеющих производную. Привести
пример ее применения.
41. Теорема о производной обратной функции. Вывести формулу для производной функции
arcsin x.
42. Вывести формулы для производной функций tg x и arctg x.
43. Эквивалентная переформулировка свойства существования производной в терминах разложения приращения функции.
44. Теорема о производной сложной функции (с доказательством). Вычислить производную
функции u(x)v(x) .
45. Касательная к графику функции. Существование и формула касательной в точке с абсциссой x0 к графику функции f (x), имеющей f 0 (x0 ).
46. Определение второй производной. Определение производной n-го порядка. Вычислить производные (xm )(n) , где m — натуральное, и (pm (x))(m) , где pm (x) — многочлен степени не
выше m.
47. Теорема о производной n-го порядка суммы/разности и произведения двух функций (формула Лейбница). Вывод формулы Лейбница для второй производной произведения двух
функций. Формула Лейбница для третьей производной произведения двух функций.
48. Определение функции, дифференцируемой в точке. Теорема об эквивалентности дифференцируемости функции в точке и существования производной в этой точке (с обоснованием).
49. Дифференциал функции в точке. Выражение производной через дифференциалы функции
и независимого аргумента. Геометрический смысл дифференциала.
50. Теорема о дифференциалах суммы/разности, произведения и частного двух функций.
3
В список вопросов включен не весь материал, прочитанный на лекциях. На экзамене из этого
списка будут даны 3 вопроса. Кроме того, будут предложены к решению 5 задач по различным
пройденным на семинарам темам. Разумеется, при решении задач также нужно знание материала
лекций.
Примеры, о которых идет речь в вопросах, могут быть взяты из лекций, задач семинаров и
домашних заданий, придуманы самостоятельно — не играет роли.
Список вопросов будет сформирован окончательно и разослан после прочтения последней
лекции в 12 декабря.
4