Леонова О 3x

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЭКОНОМИКЕ
Леонова О.С., специальность 1-26 02 01 «Бизнес-администрирование»
Научный руководитель: - Кондратенко И. И., старший преподаватель
Дифференциальное
исчисление
–
широко
применяемый
для
экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей
экономического анализа является изучение связей экономических величин,
записываемых в виде функций.
Методы дифференциального исчисления широко применяются не только
для анализа взаимодействия отдельных экономических факторов, определения
их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и в сложных моделях
экономики,
в
частности
в
моделях
экономической
динамики.
Дифференциальное исчисление – это не только аппарат, позволяющий
находить решения таких моделей, но и необходимый составной элемент для
их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач,
как определение оптимальной или равновесной траектории развития
экономической системы, её состояний в заданные моменты времени, анализ
системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п.
Из рассмотренных направлений применения дифференциального
исчисления в экономике важнейшим является вопрос нахождения и анализа
взаимосвязей экономических переменных, определяющих функционирование
экономического объекта или протекание экономического явления. [1]
Важнейшим направлением применения дифференциального исчисления в
экономике является введение с его помощью понятия эластичности.
Коэффициент
эластичности
показывает
относительное
изменение
исследуемого экономического показателя под действием единичного
относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит
при неизменных остальных влияющих на него факторах.
Концепция эластичности в экономической теории появилась достаточно
поздно, но очень быстро стала одной из фундаментальных. Общее понятие
эластичности пришло в экономику из естественных наук. Впервые термин
"эластичность" был использован и применен в научном анализе известным
ученым XVII в., физиком и химиком Робертом Бойлем (1626-1691) при
изучении свойств газов (знаменитый закон Бойля-Мариотта).
Экономическое определение эластичности было впервые дано Альфредом
Маршаллом в 1885 г. Известный английский ученый не изобретает это
понятие, но используя достижения английских классиков (Адама Смита и
Давида Рикардо) и математической школы в экономической теории, дает
определение коэффициента ценовой эластичности спроса.
Наиболее общее определение эластичности — отношение относительного
приращения функции к относительному приросту независимой переменной.
1
По существу, это понятие является чисто математическим и может
применяться при анализе любых дифференцируемых функций. [2]
Эластичностью
функции
Ех(у)
называется
предел
отношения
относительного приращения функции у к относительному приращению
переменной x при ∆x → 0
∆𝑦 ∆𝑥
𝑥
∆𝑦 𝑥
𝐸𝑥 (𝑦) = lim ( : ) = ∙ lim
= ∙ 𝑦′
∆𝑥→0 𝑦
𝑥
𝑦 ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝑦
Пример. Зависимость между себестоимостью единицы продукции у
(тыс.руб.) и выпуском продукции х (млрд.руб.) выражается функцией y =
−0,5 ∙ x + 80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции,
равном 60 млн.руб.
Р е ш е н и е. По формуле эластичность себестоимости
−0,5 ∙ x
x
=
−0,5 ∙ x + 80 x − 160
При x = 60 Ex=60 (y) = −0,6 , то есть при выпуске продукции, равном 60
млн.руб., увеличение его на 1% приведёт к снижению себестоимости на 0,6%.
Значение коэффициента эластичности изменяется относительно единицы:
Если Ер > 1, то спрос на товар эластичный, т.е. изменение величины спроса
происходит в большей степени, чем изменение цены. Покупатель быстро
реагирует на незначительное снижение или повышение цен.
Если Ер < 1, то спрос на товар неэластичный, т.е. изменение цены на товар
происходит в большей степени, чем величина спроса. Покупатель слабо
реагирует на незначительное снижение или повышение цен.
Если Ер = 1, то эластичность считается единичной, т.е. величина спроса и
цена изменяются в равной степени. [3]
Ex (y) =
Максимизация прибыли:
Пусть Q – количество реализованного товара, R(Q) – функция дохода, С(Q)
– функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций
зависит в первую очередь от способа производства, организации
инфраструктуры и т.п. Прибыль от реализации произведённого товара
рассчитывается по формуле:
П(𝑄) = 𝑅(𝑄) − 𝐶(𝑄).
В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была
максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки
были равны. То есть это равенство имеет вид R′ (Q) = C ′ (Q)
И действительно, так как необходимым условием экстремума функции,
служит равенство нулю её производной, то в нашем случае получаем:
П′(Q) = R′(Q) − C′(Q)
’
П (Q)=0 => R’(Q)-C’(Q)=0 => R’(Q)=C’(Q).
2
Пример. Найти максимальный размер прибыли, если доход и издержки
определяются следующими формулами:
R(Q) = 100 ∙ Q − Q2 ,
C(Q) = Q3 − 37 ∙ Q2 + 169 ∙ Q + 4000.
Решение. Так как П(Q)=R(Q)-C(Q) , то П(Q)= -Q3+36Q2-69Q-4000. (1)
Найдем производную этой функции П’(Q)= -3Q2+72Q-69, и приравняем её к
нулю П’(Q)=0 => Q2 − 24 ∙ Q + 23 = 0 откуда находим корни уравнения Q1=1,
Q2=23. подставив значения Q1 и Q2 в уравнение (1) находим, что максимальная
прибыль достигает при Q=23 и равна Пmax=1290.
В заключении можно уверенно сказать, что дифференциальное исчисление
– это один из важнейших математических аппаратов, применяемых в
экономике. По моему мнению дифференциальное исчисление незаменимо при
планировании производственной деятельности предприятия, и помогает
находить наиболее оптимальный путь развития, максимально сокращать
издержки производства, а также решать ещё ряд необходимых задач по
осуществлению производственной деятельности. [4]
ЛИТЕРАТУРА
1. Применение дифференциального исчисления в экономике [Электронный
ресурс].
–
2007.
–
Режим
доступа:
http://www.rusnauka.com/35_OINBG_2010/Matemathics/75637.doc.htm. Дата доступа: 10.05.2014.
2. Практическое применение производной // курсовая работа Меркулова
М.Ю. [Электронный ресурс]. – 2002. – Режим доступа:
http://works.tarefer.ru/50/100018/index.html. - Дата доступа: 10.05.2014.
3. Дифференциальное исчисление (теория и приложения) //Автор
Тихомиров В.М. [Электронный ресурс]. - 2002. – Режим доступа:
http://nashol.com/tag/differencialnoe-ischislenie/. Дата доступа: 10.05.2014.
4. Высшая математика - Том 2 – Дифференциальное и интегральное
исчисление // Автор: Бугрова Я.С., Никольский С.М. [Электронный
ресурс]. – 2004. – Режим доступа: http://nashol.com/tag/differencialnoeischislenie/. Дата доступа: 10.05.2014.
3