Лекция № 13. Устойчивость дискретных систем.

Лекция № 13.
Устойчивость дискретных систем.
Линейная дискретная система с постоянными параметрами (стационарный
фильтр) называется устойчивой, если при любых начальных условиях и любом
ограниченном входном сигнале x(n) выходной сигнал y (n) также остается ограниченным,
то есть из условия x(n)  Px   для всех n следует, y(n)  Py  .
Необходимым и достаточным условием устойчивости одномерного
стационарного линейного фильтра является следующее требование к его импульсной
характеристике:


h( n)   ,
(13.1)
n 
то есть требование сходимости ряда, составленного из модулей отсчетов импульсной
характеристики фильтра.
Необходимость. Предположим сначала, что условие (13.1) не выполняется, то
есть


h( n)   . Рассмотрим ограниченную последовательность, заданную значениями
n 
1, при h(n)  0;
x ( n)  
1, при h(n)  0.
(13.2)
Так как выходные отсчеты сигнала равны свертке входных отсчетов и значений
импульсной характеристики дискретной системы, т.е.

 x ( k ) h( n  k ) ,
y ( n) 
(13.3)
k 
то при n  0 отклик системы равен:


k 
k 
y (0) 
 x ( k ) h(  k )  
h(k )  .
(13.4)
Таким образом, последовательность y (0) не ограничена, следовательно, неравенство
(13.1) является необходимым условием устойчивости системы.
Достаточность. Предположим, что условие (13.1) выполняется, а на вход
поступает ограниченная последовательность отсчетов сигнала x(n)  M   . Из формулы
(13.3) получаем:
y ( n) 


k 
x ( k ) h( n  k ) 


k 
x ( k ) h( n  k )  M


h( n  k )
(13.5)
k 
1
Если


h(n  k )   , то M
k 


h(n  k )   и система – устойчива.
k 
Устойчивость нерекурсивных дискретных систем. Как ранее отмечалось, в
нерекурсивных дискретных системах для вычисления очередного отсчета выходного
сигнала y (n) используются только отсчеты входного сигнала x(n  j ), j  0,1, 2,..., m .
Поэтому алгоритм работы такой системы имеет вид:
m
y(n)   b j x(n  j ).
(13.6)
j 0
Системная (передаточная) функция такой системы является рациональной
функцией, то есть полиномом степени m комплексного аргумента z 1 :
m
H ( z)   bj z  j .
(13.7)
j 0
Нерекурсивные стационарные линейные фильтры обладают замечательной
особенностью: их импульсные характеристики h(n) имеют конечное число ненулевых
отсчетов, причем эти отсчеты равны коэффициентам b j алгоритма фильтрации.
Действительно, в соответствии с (9.22) и (13.7):

m
n 0
J 0
H ( z )   h( n) z  n   b j z  j .
b , n  0,1,..., m
Отсюда следует, что h(n)   n
0, n  m
(13.8)
(13.9)
Таким образом, импульсная характеристика нерекурсивного стационарного линейного
фильтра имеет конечное число отличных от нуля отсчетов, и в соответствии с (13.1) такой
фильтр всегда устойчив. Свойство (13.9) обусловило еще одно название таких фильтров –
фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).
Устойчивость рекурсивных дискретных систем. Для рекурсивных
дискретных систем использовать критерий устойчивости в форме (13.1) затруднительно,
поскольку необходимо суммировать бесконечный ряд модулей отсчетов импульсной
характеристики. Выразим критерий (13.1) в другой форме, удобной для исследования
рекурсивных фильтров.
Рассмотрим физически реализуемый фильтр N  го порядка с системной
функцией H ( z ) и для простоты предположим, что все полюсы H ( z ) простые. Отметим,
что для физически реализуемых фильтров степень полинома в числителе не превышает
степень полинома в знаменателе. Импульсная характеристика такого фильтра
определяется соотношением:
2
h( n) 
1
H ( z) z
2 j 
n 1
dz .
(13.10)
C
Для n  0 имеем:


 H ( z)  N
 H ( z)

h(0)  Re s 
   Re s 
,
 z z 0  i 1
 z z  pi 
(13.11)
а при n  0 имеем следующее выражение:

N
h(n)   Re s H ( z ) z n 1
i 1
z  pi
.
(13.12)
Представляя полюсы pi в виде: pi  ri e ji , полагая при этом что
ri  rm  1, i  1, 2,..., N ,
(13.13)
можно записать следующее соотношение:


N

 h(n)  h(0)    Re s H ( z )rin1e j ( n1)i
n 0
n 1 i 1

N

 h(0)    Re s H ( z )ri
n 1 i 1
n 1
z  pi
z  pi

(13.14)
.
Так как функция H ( z ) аналитична в окрестностях точек z  0 и z  pi , то h(0) и все
вычеты H ( z ) конечны, то есть Re sH ( z ) z  p  Rm для i  1, 2,..., N . Поэтому из (13.13) и
i
(13.14) следует:


n0
n 1
 h(n)  h(0)  NRm  rin1 .
(13.15)
Так как по условию (13.13) ri  1 , то ряд в правой части соотношения (13.15) сходится и

 h( n)   .
Таким образом, соотношение (13.13) представляет собой достаточное
n0
условие устойчивости фильтра.
Итак, если полюса функции H ( z ) лежат внутри круга единичного радиуса
Z-плоскости, то такой фильтр устойчив. Если хотя бы один полюс H ( z ) расположен на
единичной окружности z  1 или во внешней части круга единичного радиуса, то такая
H ( z ) представляет неустойчивый фильтр. Заметим, что положение нулей системной
функции H ( z ) не влияет на устойчивость фильтра.
Недостатки полюсного критерия устойчивости обусловлены необходимостью
определения корней характеристического уравнения, являющихся полюсами системной
функции. Аналитических методов решения алгебраических уравнений, порядок которых
3
выше четвертого, не существует. Поэтому нахождение полюсов системной функции
высокого порядка возможно лишь численными методами.
Существуют алгебраические и частотные критерии устойчивости стационарных
линейных дискретных систем, позволяющие судить об устойчивости фильтра без
нахождения корней характеристического уравнения. Например, критерий Джури,
аналогичный критерию Рауса-Гурвица для аналоговых систем.
Пример. Проверить на устойчивость следующий рекурсивный фильтр 2порядка.
x ( n)
y ( n)
u ( n)
X ( z)
z 1
1
1
Y ( z)
z 1
2
Решение. Запишем два уравнения относительно двух сумматоров в Zпреобразованой форме:
1
U ( z )  X ( z )  z 1U ( z )  z 2U ( z );
2
1
Y ( z )  U ( z )  z U ( z )  z 2U ( z ).
(13.16)
Из (13.6) определяем системную функцию такого фильтра:
H ( z) 
z2  z 1
z2  z 1

,
z 2  z  1 2 ( z  p1 )( z  p2 )
(13.7)
где p1, p2  корни характеристического уравнения, являющиеся полюсами системной
функции. Так как p1, p2 
1
1
 j , и p1  1, p2  1 , следовательно, полюса системной
2
2
функции H ( z ) лежат внутри круга единичного радиуса, и фильтр является устойчивым.
Примечание. Неустойчивый фильтр, безусловно, неработоспособен в том случае,
когда входной сигнал x(n) действует неограниченно долго, так как при этом выходной
сигнал y (n) перестанет зависеть от входного сигнала. Но он работоспособен и
используется на практике в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение
ограниченного интервала времени. Например, цифровой интегратор с системной
функцией H ( z )  1 (1  z 1 ) (эта функция имеет полюс z  1 , т.е. фильтр – неустойчив)
4
вполне работоспособен и используется на практике, если входной сигнал x(n) действует
лишь при 0  n  N 1 , после чего следует сброс и восстановление начальных условий.
Цифровой интегратор может входить в состав замкнутой следящей системы. При этом за
счет обратной связи система может обладать устойчивостью, несмотря на то, что
интегратор, являющийся динамическим звеном системы, неустойчив.
5