Характеристики дискретных (цифровых) фильтров

Лекция № 8
Характеристики дискретных
(цифровых) фильтров
Основными характеристиками стационарных
линейных дискретных фильтров являются
следующие:
•импульсная характеристика ;
•комплексная частотная характеристика ;
•амплитудно-частотная и фазочастотная
характеристики;
•системная функция (передаточная функция) .
Характеристики дискретных
(цифровых) фильтров
Импульсной характеристикой h(n) дискретного
фильтра называется его реакция на единичный
импульс u0 ( n) при нулевых начальных условиях:
h(n)  F u0 (n) , или h(k , n)  h(n  k )  F u0 (n  k ) ,
где F  оператор преобразования дискретного
фильтра. Импульсную характеристику фильтра h( k , n)
обычно представляют совокупностью значений
h(0), h(1), h(2),... , называемых коэффициентами
фильтра.
Характеристики дискретных
(цифровых) фильтров
Любую дискретную последовательность можно
представить в виде линейной комбинации единичных

отсчетов:
x ( n) 
 x(k )u (n  k ).
k 
0
Тогда выходной сигнал, исходя из линейности и
стационарности рассматриваемой системы, должен
представлять собой линейную комбинацию
импульсных характеристик:
 
 
y (n)  F  x(n)   F   x(k )u0 (n  k )    x(k )F u0 (n  k )  
 k 
 k 



k 
k 
 x(k )h(n  k )   x(n  k )h(k ).
Характеристики дискретных
(цифровых) фильтров
Если фильтр физически реализуем (каузален), то его
реакция на выходе не может появиться раньше
воздействия на его входе (принцип временного
детерминизма). Следовательно, его импульсная
характеристика должна равняться нулю в отсчетных
точках, предшествующих моменту подачи входного
импульса, то есть h( n)  0, при n  0 . Поэтому
верхний предел суммирования в формуле может быть
заменен на n :
n
n
k 0
k 0
y (n)   x(k )h(n  k )   x(n  k )h(k ).
Характеристики дискретных
(цифровых) фильтров
•
•
•
•
Процедура вычисления дискретной свертки сводится к
следующему:
сначала импульсную характеристику h(k ) симметрично
поворачивают относительно оси ординат, получая h(  k );
затем ее последовательно сдвигают вправо на временной
промежуток n, (n  1, 2,...);
далее значения дискретного сигнала x(k ) умножают на
соответствующие значения импульсной характеристики
h( n  k ) ;
суммируя полученные значения в соответствии с
формулой дискретной свертки, получают выходную
последовательность дискретного сигнала.
Характеристики дискретных
(цифровых) фильтров
• Если число отсчетов импульсной характеристики (коэффициентов
фильтра) конечно, то такие фильтры называют КИХ-фильтрами
(фильтры с конечной импульсной характеристикой). Простота их
реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с
отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость
привели к их широкому использованию на практике.
• Наличие в схеме фильтра обратных связей позволяет получить у него
бесконечную импульсную характеристику. Поэтому рекурсивные
фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной
характеристикой (БИХ-фильтры). Такие фильтры не всегда
устойчивы. Под устойчивостью фильтра понимают его способность
при любой ограниченной входной последовательности дискретного
сигнала обеспечивать ограниченную последовательность выходного
дискретного сигнала.
Характеристики дискретных
(цифровых) фильтров
• Определим частотную характеристику дискретного
фильтра. Для этого на вход фильтра подадим
дискретизированный гармонический сигнал в виде
комплексной дискретной экспоненты:
x(n)  e jn  cos n  j sin n
• Если такая последовательность поступает на вход
фильтра с импульсной характеристикой h(n) , то на
выходе появится последовательность:
y ( n) 


k 
x ( n  k ) h( k ) 


k 
 e j n K ( j )  x(n) K ( j ).
h(k )e
j ( n  k )
e
j n


k 
h(k )e  jk 
Характеристики дискретных
(цифровых) фильтров
• Итак, выходная последовательность совпадает с входной,
умноженной на некоторый комплексный множитель K ( j ) ,
который выражается через импульсную характеристику системы
следующим образом:

(8.1)
 j k
K ( j ) 
 h ( k )e
k 
j n
• Поскольку последовательность вида e
функционально
эквивалентна дискретизированной синусоиде с частотой  ,
то комплексный множитель K ( j ) называют частотной
характеристикой фильтра, а соотношение (8.1) представляет
собой ряд Фурье, в котором роль коэффициентов играют отсчеты
импульсной характеристики. Т.к.
e j (  2 ) k  e j k , то – K ( j )
периодическая функция частоты с периодом 2 .
Характеристики дискретных
(цифровых) фильтров
• Отсчеты импульсной характеристики (коэффициенты
ряда Фурье) связаны с частотной характеристикой
фильтра соотношением:

1
j k
h( k ) 
K
(
j

)
e
d

2 
• В общем случае частотная характеристика комплексна.
Ее модуль называют амплитудно-частотной
характеристикой (АЧХ) фильтра, а аргумент –
фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Важным
параметром частотной характеристики является также
групповое время задержки  ( ) , определяемое как
 ()  d () d
Характеристики дискретных
(цифровых) фильтров
• Произвольную входную последовательность также можно
представить в виде:

1
j n
x ( n) 
X
(
j

)
e
d

,
2 
где
X ( j ) 


x(n)e  j n
n 
Так как отклик на последовательность e j n равен
e jn K ( j ) , откликом на произвольную входную
последовательность x(n) будет:
1
y ( n) 
2



X ( j ) K ( j )e j n d 