Урок математики в 10 классе по теме: «Производная в физике и технике» Цели урока: Дать понятие о возможностях применения элементов дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира. Изучение нового материала 1. С привлечением учащихся решить задачу на отыскание мгновенной скорости движения, если задан его закон; зафиксировать, в чем состоит механический смысл производной. 2. После этого поставить задачу определения скорости и ускорения. Обычно характер движения бывает таким, что при малых ∆t средняя скорость практически не меняется , т.е. движение с большей степенью точности можно считать равномерным. Другими словами, значение средней скорости при ∆t→0 стремится к некоторому вполне определённому значению, которое и называют мгновенной скоростью (טt○) материальной точки в момент времени t○. Итак, טср(∆t○)=∆x / ∆t→(טt○) при ∆t→0. Но по определению производной ∆x / ∆t→ x(׳t○) при ∆t→0. По этому считают, что мгновенная скорость (טt) определенна (только) для любой дифференцируемой функции х(t), при этом (טt)= x(׳t). Коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной. Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (t1;t2) положительна, то точка движения в положительном направлении, т.е. координата растёт с течением времени, а если (טt) отрицательна, то координата х(t) убывает. Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения: α(׳ט=׳t). Коротко говорят: производная от скорости по времени есть ускорение. Рассмотрим свободное падение материальной точки. Если координатную прямую направить вертикально в низ, а начальное положение материальной точки совпадает с 0, то, как известно из физики, х(t)=(gt²/2)= gt, а ускорение а а =(gt)=׳g есть величина постоянная. Пусть зависимость координаты точки, движущейся по прямой, от времени выражается формулой х(t)= а/2*t²+○טt+х○, Где а≠0, ○טи х○ - постоянные. Найдём скорость и ускорение движения. Скорость этого движения такова: =טх(׳t)=(а/2t²+○טt+х○)(=׳2а\2)t+ =○טаt+○ט Так как нам известна скорость движения как функция времени, мы можем найти ускорение этого движения:(׳טt)=(аt+=׳)○טа. Мы видим что ускорение при движении по квадратичному закону постоянно и равно а. Если а>0, то это равноускоренное движение; если же а<0, то равнозамедленное. Отметим также, что (ט=○ט0), а х○=х(0). Можно доказать, что если при движении по прямой ускорение а постоянно, то движение происходит по квадратичному закону: х(t)= а/2*t²+○טt+х○, Где ○ט-начальная скорость точки, а х○-начальная координата. ► Пусть у =f(х)-произвольная дифференцируема функция. Тогда мы можем рассмотреть движение материальной точки по координатной прямой, совершаемое согласно закону х =f(t). Механический смысл производной позволяет дать наглядную интерпретацию теорем дифференциального исчисления.