для вебинара

Кинематика поступательного и
вращательного движения
материальной точки.
Чужков Юрий Петрович
Доцент кафедры Физики, к.ф-м.н
Введение
ФИЗИКА
Классическая
(Ньютоновская)
Квантовая
Теория
относительности
Эйнштейна
МЕХАНИКА
кинематика
статика
динамика
Рассматриваемые вопросы
1. Система отсчета.
2. Действия над векторами.
3. Кинематика материальной точки. Поступательное
движение.
4. Движение материальной точки в поле тяготения
(прямолинейное и криволинейное).
5. Вращательное движение материальной точки.
Система отсчёта.
Z
z(t)
Уравнение движения точки
в векторной форме:
M (x1, y1,z1,t1)
 



r  r t   xe x  ye y  ze z
y(t)
x(t)
X
Y
Уравнения движения точки
в координатной форме:
x  xt ,
y  yt ,
z  zt 
Система отсчёта.
∆S - пройденный путь
Z
z(t)
S

t
M (x1, y1,z1,t1)
∆S
- средне путевая
скорость
- вектор перемещения
N(x2, y2,z2 ,t2)

r

t
y(t)
x(t)
X
Y
- средняя
скорость
Мгновенная скорость точки в
положении M:


r
dr
  lim

t 0
t
dt

Система отсчёта.
Z
z(t)




   x ex   y ey   z ez
M (x1, y1,z1,t1)
∆S
 x , y , z - проекции вектора на
N(x2, y2,z2 ,t2)
координатные оси.
y(t)
x(t)
X
Y
x 
dx
dt
, y 
dz
dy
z 
,
dt
dt
 t    x2   y2   z2
Выбор системы отсчёта.
△ 𝑟 = 𝜐0 ⋅ 𝑡 ;
𝑟 = 𝑟′ +△ 𝑟 ;
Z’
Z
𝜐=
𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
;
𝜐 = 𝜐 ′ + 𝜐0 - закон сложения
скоростей
𝑟′
Y’
△𝑟
Y
X’
X
Инерциальная система отсчета –
система отсчета, в которой тело
движется равномерно и прямолинейно.
Задача 1. Радиус-вектор начального
частицы

положения

определяется выражение r t   3ex  6e y  8ez
. Частица движется с




постоянной скоростью v  7 ex  9e y  2ez . Найти координаты
частицы через t=2 c после начала движения.
Решение:




r t   xex  ye y  zez




   x ex   y ey   z ez




r t   a0 ex  b0 e y  c0 ez



В начальный момент времени координаты радиус-вектора (a0,b0,c0), а
через время t:
a0=-3;
b0= 6;
c0= -8;
a1= 7;
b1= 9;
c1= 2;
x= -3+7*2=11
y= 6+9*2=24
z= -8+2*2=-4

  a1ex  b1ey  c1ez
Ответ: 11; 24;-4
Тема: «Криволинейное движение под действием силы
тяжести».
Задача 2. Камень брошен горизонтально со скоростью
. Найти
радиус кривизны траектории камня через t= 3 c после начала движения.
1) tполёта = tпадения
y
2)
3)
- ускорение свободного падения
R
0
x
R – радиус кривизны траектории
Тема: «Криволинейное движение под действием силы
тяжести».
Задача 2. Камень брошен горизонтально со скоростью
. Найти
радиус кривизны траектории камня через t= 3 c после начала движения.
Решение:
y
𝑎𝜏 =
𝑑𝜐
𝑑𝑡
𝑎𝑛 =
𝜐2
𝑅
𝑎𝜏 2 + 𝑎𝑛 2
𝑎=
𝜐𝑥 = 𝜐0 ;
𝜐=
𝜐𝑥 2 + (𝑔𝑡)2
𝜐𝑦 = 𝑔𝑡;
По рисунку:
0
cos 𝛼 = 𝜐𝜐𝑥
x
2
𝑎𝑛 = 𝜐𝑅
Тангенциальное ускорение
показывает быстроту
изменения модуля скорости.
𝑎𝑛 = 𝜐𝑥𝜐∙𝑔
𝑎
= 𝑔𝑛
𝑅 = 𝑎𝜐
2
𝑛
Ответ: 305 м.
Нормальное ускорение показывает
быстроту изменения направления
3
𝑅 = 𝜐𝜐 ⋅𝑔
𝑥
Падение тела под действием сил
земного притяжения
Y
Vy = 0
1) С какой высоты упало тело, если
расстояние до земли оно преодолело за
2 с?
h
𝜐 = 𝑔𝑡
X
2) С какой скоростью упадет камень на
землю, если время падения длилось 3с?
Падение тела под действием сил
земного притяжения
𝜐 = 𝜐0𝑦 + 𝑔𝑡;
ℎ = 𝜐0𝑦 ⋅ 𝑡 +
Y
Vy = 0
𝜐0𝑦 = 0
𝑡2
𝑔⋅
2
𝜐 =𝑔⋅𝑡
𝑔 ⋅ 𝑡2
ℎ=
2
h
𝜐 = 𝑔𝑡
X
1) υ = 9,8 ⋅ 3 = 29,4 м/с
2) ℎ =
9,8⋅4
2
= 19,6 м
Материальная точка А движется по траектории, указанной
на рисунке с постоянным нормальным ускорением. Что
можно сказать о скорости материальной точки?
1) Скорость изменяется по
направлению и уменьшается
по величине.
𝜐
2) Скорость изменяется по
направлению и
увеличивается по величине.
3) Скорость не изменяется.
Тема: «Тело брошено под углом к горизонту».
Задача 3. Камень брошен под углом к горизонту 300 со скоростью 20 м/с.
Определить: 1) время подъёма камня на максимальную высоту; 2) максимальную
высоту поднятия камня; 3) максимальная дальность полета.
Решение:
Y
1)
A
𝜐𝑜𝑥 = 𝜐0 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝜐𝑜𝑦 = 𝜐0 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝜐0𝑦 = 0
𝜐𝑦 = 𝜐0𝑦 − g ⋅ t
𝜐0
𝜐0𝑦
𝑔
𝜐0𝑦 = g ⋅ t
ℎ𝑚𝑎𝑥
2) ℎ𝑚𝑎𝑥 = 𝜐0𝑦 ⋅ 𝑡 − 𝑔⋅𝑡2 ;
2
𝛼
0 𝜐0𝑥
𝑡подъёма = 𝜐0 ⋅𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑔
X
ℎ𝑚𝑎𝑥 = 𝜐0
𝑆𝑚𝑎𝑥
2 ⋅𝑠𝑖𝑛2 𝛼
2𝑔
3) 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝜐0𝑥 ⋅ 2 ⋅ 𝑡подъёма ;
𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝜐0
Ответы: t подъёма= 1,02 c; hmax = 5,1 м; Smax = 35,3 м.
2 ⋅𝑠𝑖𝑛2𝛼
𝑔
𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2𝑠𝑖𝑛𝛼 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝛼
Два тела одновременно брошены под углом к
горизонту, как показано на рисунке.
Y
Сравните:
V01
а) время полета двух тел;
V02
б) высоту максимального полета.
X
Вращательное движение материальной точки
∆ϕ - угол поворота радиус-вектора
𝜀=
Z
𝑑𝜔
𝑑𝑡
- угловое ускорение
  0  t
ε>0
∆ϕ
r
X
ε<0
  0t 
r(t)
Y
t
2
  2
2
  2N
2
a  R
an   2 R
a  a  a n
2
2
Угловая скорость характеризует быстроту изменения угла
поворота со временем при вращательном движении
Угловое ускорение характеризует быстроту изменения
угловой скорости при вращательном движении
На каком из рисунков при указанных направлениях
вращениях правильно отображено направление
углового ускорения?
𝑑𝜔
<0
𝑑𝑡
𝜀
1
𝑑𝜔
<0
𝑑𝑡
𝜀
2
𝑑𝜔
>0
𝑑𝑡
𝜀
3
𝑑𝜔
>0
𝑑𝑡
𝜀
4
Тема “Вращательное движение материальной точки”
Задача 4 Шарик движется по окружности радиусом 5 см с постоянным
тангенциальным ускорением 5 см/ с2. Определить: 1) угловую скорость шарика к
концу пятого оборота; 2) нормальное ускорение к концу пятого оборота; 3) полное
ускорение.
Решение:
1)
 0
  0  t
  0t 
t
2
0
  2N
2
a  R   a
R
an   2 R
3) a 
Ответ:
an  4Na
a  a n
2
t
2
R
2)
  t
2
an  0,63 м/с2 ; a = 0,885 м/с2
2N 
t 2
2


Вопросы для самоконтроля:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Что изучает кинематика?
Дайте определение мгновенной скорости материальной точки.
В чём отличие средней скорости от мгновенной.
Что определяет тангенциальное и нормальное ускорение?
Что такое угловая скорость и угловое ускорение?
Что такое инерциальная система отсчета?
Почему нельзя при вращательном движении вычислять пройденный путь в
метрах?