Поздняков В

Вишневский Д.М. Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН
3, просп. Коптюга, 630090, Новосибирск
тел.: +7(383) 3304957
e-mail: vishnevskydm@ipgg.nsc.ru
Чеверда В.А. Институт нефтегазовой геологии и геофизики,
Параллельная реализация численного моделирования
трехмерного распространения волн путем декомпозиции области1
Аннотация. Для моделирования трехмерного распространения волн в вязкоупругой
среде, на примере межскважинного просвечивания, используется конечно-разностный
подход,
реализованный
для
многопроцессорной
вычислительной
системы.
Межскважинное просвечивание разномасштабная задача. Для верного описания
неоднородностей малого масштаба используется сгущение шагов разностной сетки.
Рассматриваются особенности численного моделирования вязкоупругой среды.
Приводятся результаты численных экспериментов.
Введение. Наиболее эффективный способ улучшения разрешающей
способности волновых изображений, это увеличение доминирующей частоты
звукового сигнала. Но при использовании этого подхода возникает ряд
особенностей. Распространяющиеся в Земле, волны поглощаются и рассеиваются.
Оба эти эффекта часто количественно выражают добротностью. Добротность
характеризует относительное рассеяние сейсмической энергии на амплитуду, на
период волны. Если поглощение не очень велико, добротность можно трактовать,
как число длин волн, которое волне необходимо пройти в среде, чтобы амплитуда
волны уменьшилась в e раз.
Лабораторные и полевые эксперименты доказывают, что параметры можно
рассматривать, как независимые от частоты для достаточно широкого их
диапазона [1]. Следовательно, чем выше доминирующая частота источника, тем
короче расстояние с приемлемым отношением уровня полезного сигнала к шуму.
Следовательно, для получения изображения с высоким разрешением необходимо
располагать регистрирующую систему настолько близко к целевому объекту,
насколько возможно. Единственная возможность осуществить это – расположить
источники и приемники в скважинах вблизи объекта. В свою очередь,
присутствие скважины заполненной буровым раствором вносит значительные
особенности в распространение волнового поля, и обязано приниматься во
внимание при описании модели. А это, в свою очередь, привносит требование
локального измельчения сетки, чтобы она могла описать неоднородности среды
самого малого масштаба.
Исследование посвящено численному моделированию распространения
волн в вязкоупругой среде для геофизического метода межскважинного
просвечивания: источники и приемники располагаются в скважинах,
расположенных с разных сторон от целевой области. В моделировании такого
процесса присутствуют два значительно различающихся масштаба величин –
диаметр скважины и расстояние между источниками и приемниками.
Исследование выполнено при частичной поддержке РФФИ, проекты 06-05-64748, 07-05-00538 и
08-05-00265.
1
Вязкоупругие среды. Процессы распространения волн в рамках линейной теории
упругости определяются двумя группами уравнений: уравнения движения (второй
закон Ньютона) и уравнения состояния (связь между тензорами напряжений и
деформаций – закон Гука). В действительности упругая среда обладает
поглощением с «памятью» – напряжения в момент времени t зависят от
деформаций на промежутке времени t  t0 , t  . В наиболее общей форме закон
Гука для таких материалов записывается следующим образом:
t
 ( x, t   )
(1)
 ij ( x, t )  Gijkl ( x,0) kl ( x,t )   Gijkl ( x, ) kl
d .


0
Численное решение интегро-дифференциального уравнения (1) очень
тяжело. Наиболее приемлемый способ упростить его – представить уравнение
состояния в дифференциальной форме, так называемая обобщенная модель
линейного твердого тела (ОМЛТТ), основанная на представлении вязкоупругого
материала при помощи механического аналога – системы пружин и поршней [2].
Для ОМЛТТ закон Гука записывается следующим образом:
L
   j ;
j 1
 i

 M R (   i ).
t
t
Полевые и лабораторные исследования показывают, что затухание в
упругих средах обладает не зависящей от частоты добротностью [1, 3, 4]. Для
закона Гука описываемого ОМЛТТ добротность выписывается следующим
образом:
L
1   2 l l
1 L  
2 2
l 1 1    l
.
Q( ) 
L
 ( l   l )

2 2
l 1 1    l
Далее задача состоит в подборе  l , l таким образом, чтобы обеспечить
близость Q ( ) к требуемой константе на заранее определенном диапазоне частот.
Для этого используется метол минимальных квадратов:
 i   i
J (  ,  ) 
2
1
1
 Q ( )  Q0 d  min,
1
2
а также представленный в [2, 5]  -метод, в котором обосновывается возможность
использовать постоянную   для всей области вычислений при добротностях
Q  10 .
Получаемая система дифференциальных уравнений в частных производных
в одномерном случае выглядит следующим образом:
v 

;
t x

v L

 M R (1  L )   rl ;
t
x l 1
r
1
v
 l   ( M R  rl ).
t
 l
x
Использование
ОМЛТТ
предполагает
появление
в
уравнениях
дополнительных независимых переменных «памяти». Для трехмерной модели
таких переменных получается 6 L – количество компонент тензора напряжений на
количество релаксационных механизмов. Это приводит к значительному
увеличению требуемого для численных расчетов объема памяти.

Параллельная реализация решения конечно-разностной схемы. Для
численного решения приведенных выше дифференциальных уравнений
используется метод конечных разностей: явная разностная схема на сдвинутых
сетках. Для параллельной реализации алгоритма область вычислений разбивается
на некоторое число меньших подобластей, каждая из которых закрепляется за
отдельным процессором многопроцессорной системы. Вычисление поведения
волнового поля включает в себя независимые вычисления внутри подобластей и
обмен данными между соседними подобластями на границах их соприкосновения.
Для межскважинного просвечивания область вычислений – параллелепипед
с длиной (которая определяется расстоянием между скважинами) 200-500м,
приблизительно такой же высотой (глубина скважин) и шириной порядка 100м.
Конечно-разностная сетка строится таким образом, чтобы у нее были сгущения
около обеих скважин, с источниками и приемниками. Разбиение области
вычислений должно обеспечивать равномерную загрузку независимых
процессоров и минимизировать объем передаваемой между ними информации.
Для этого область вычислений разрезается плоскостями по трем направления на
меньшие параллелепипеды таким образом, чтобы полученные подобласти имели
близкие друг другу размеры, а по форме были бы близки к кубу. При таком
подходе, каждый процессор обменивается информацией с 3-6 соседями.
Численные расчеты. Численные расчеты производились на кластере МВС1000/128 (Сибирский суперкомпьютерный центр, Новосибирск), в составе 64
двухпроцессорных модулей DEC Alpha 21064 (667 МГц) и пиковой
производительностью 196 ГФлоп/с.
Для вычислений использовалась значительно упрощенная модель
нефтегазового пласта [6]. Она представляла собой плоскопараллельную среду,
состоящая из трех слоев с различными скоростями продольных (Vp), поперечных
волн (Vs), плотностью (  ) и добротностью (Qp). Размеры модели: 14 метров в
длину, 2 метра в ширину и 24 метра в глубину. Источник – вертикально
ориентированная сила, расположенная в одной из скважин и по времени
задаваемая импульсом Риккера с доминирующей частотой 750 Гц.
Результаты расчетов представлены на Рис. 1. По изображению видно, что
влияние скважин, заполненных жидкостью, на формирование волнового поля
значительно.
Это
подтверждает
необходимость
осуществления
полномасштабного численного моделирования для
представления о структуре межскважинного пространства.
получения
верного
Заключение.
Существующая
версия
программного
обеспечения,
разработанного для моделирования волновых полей в трехмерных неоднородных
вязкоупругих средах, дает возможность детального исследования ряда задач
скважинной геофизики в постановках близких к реальным.
Литература.
1. McDonal F.J., Angona F.A., Mills R.L., Sengbush R.L., van Nostrand R.G., White J.E.: Attenuation of
shear and compressional waves in Pierre shale. Geophysics 23, pp. 421 - 439 (1958).
2. Hestholm S. et al. Quick and accurate Q parameterization in viscoelastic wave modeling. Geophysics,
71(5), T147 - T150.
3. Siddiqui S.A. : Dispersion analysis of seismic data. M.S. thesis, Univ. of Tulsa, 1971.
4. Wuenschel P.C. Dispersive body waves - an experimental study. Geophysics 30, 539 - 551, 1965.
5. Blanch J.O., Robertsson J.O.A., Symes W.W. Modeling of a constant Q: Methodology and algorithm
for an efficient and optimally inexpensive viscoelastic technique. Geophysics, 60(1), 176 – 184.
6. Priest J.A., Best A.I., Clayton C.R.I. Attenuation of seismic waves in methane gas hydrate-bearing sand.
Geophys. J. Int., 164, pp. 149 - 159, 2006.
Рис. 1. Межскважинное просвечивание, распространение волнового поля. Сверху
x-компонента, снизу z-компонента.