Исследовательская работа на тему:" Эффективные методы

Работу над проектом выполнила ученица
10 класса Сизова И.Р.
1.Неравенства, содержащие модуль
- Неравенства вида ‫׀‬f(х)‫ < ׀‬g(х)
- Неравенства вида ‫׀‬f(х)‫ > ׀‬g(х)
- Неравенства вида ‫׀‬f(х)‫׀ < ׀‬g(х)‫׀‬
2.Показательные неравенства
3.Логарифмические неравенства
- Неравенства вида log a f(x) >0(<0)
- Неравенства вида log a f(x) > logag(x)
- Более сложные неравенства. Пример №1.Пример№2
4.Показательные неравенства с переменным
основанием
5.Неравенства для логарифмов с переменным
основанием
1.Неравенства, содержащие модуль
Мы рассматриваем неравенства,
содержащие переменную под знаком абсолютной
величины ( под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств
целесообразно разбить числовую ось на промежутки
так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на
каждом из промежутков сохраняли знак, т.е. были
положительными, или отрицательными. Тогда на
каждом таком промежутке неравенство можно записать
без модуля. В таком случае говорят, что мы раскрыли
модуль.
Неравенства вида ‫׀‬f(х)‫ < ׀‬g(х)
Пусть в некоторой точке а выполнено неравенство
‫׀‬f(х)‫ < ׀‬g(х), тогда g (a) > 0 и ‫׀‬f(а)‫ < ׀‬g(a).
Выполняется неравенство – g(a) < f (a) < g(a)
и, наоборот, пусть в некоторой точке а выполнены
неравенства
– g(a) < f (a) < g(a)
тогда ,
во- первых , – g(a) < g (a) ↔ g (a) > 0,
во- вторых, ‫׀‬f(а)‫ < ׀‬g(a).
Следовательно, имеет место условие равносильности.
f(х) < g(х)
‫ ׀‬f(х)‫ < ׀‬g(х) ↔ – g(х) < f (х) < g(х) ↔ {
f(х) > - g(х)
Неравенства вида ‫׀‬f(х)‫ > ׀‬g(х)
Пусть дано неравенство ‫׀‬f(х)‫ > ׀‬g(х). Тогда,
- если g(х)<0, неравенство выполнено, т. к. модуль принимает
неотрицательные значения и всегда больше любого
отрицательного числа;
- если g(х)≥ 0, то выполнена совокупность неравенств
f(х) > g(х)
f(х) < - g(х);
И ,наоборот, пусть в некоторой точке х= а имеет место
совокупность
f(а) > g(а),
f(а) < - g(а);
Тогда,
- если g(а) < 0, то неравенство ‫׀‬f(а)‫ > ׀‬g(а) выполнено,
- если g(а)≥ 0, то выполнено неравенство ‫׀‬f(а)‫ > ׀‬g(а).
Следовательно, имеет равносильное соотношения
f(х) > g(х),
‫ ׀‬f(х)‫ > ׀‬g(х) ↔
f(х) < - g(х);
Неравенства вида ‫׀‬f(х)‫׀ < ׀‬g(х)‫׀‬
Рассмотрим разность ‫׀‬f(х)‫ ׀‬- ‫ ׀‬g(х)‫׀‬
Она может быть любого знака, но ‫׀‬f(х)‫ ׀‬+ ‫ ׀‬g(х)‫ ׀‬всегда
неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не
изменит знака разности, т. е. :
Правило 1. Знак разности модулей ‫׀‬f(х)‫ ׀ < ׀‬g(х) ‫׀‬
совпадает со знаком произведения
(f( x) – g( x))( f ( x) + g( x)).
Действительно,
(‫׀‬f(х)‫ ׀‬+ ‫׀‬g(х)‫׀)( ׀‬f(х)‫ ׀‬- ‫׀‬g(х)‫׀ =)׀‬f(х)‫׀‬2 - ‫׀‬g(х)‫ ׀‬2 =
= (f 2( x) – g2( x))= ( f ( x) – g( x))( f ( x) + g( x)).
Правило 2. Если g(х)≥ 0, то знак разности ‫׀‬f(x)‫׀‬- g(x)
совпадает со знаком произведения
(f ( x) – g( x))( f ( x) + g( x)).
Итак, имеем еще одно условие равносильности
‫ ׀‬f(х)‫ ׀ < ׀‬g(х) ‫ ( ↔ ׀‬f ( x) – g( x))( f ( x) + g( x)) < 0
Условие равносильности имеют тот же вид для нестрогих
неравенств .
2.Показательные неравенства
Рассмотрим неравенство
f(x)
a
>
g(x).
a
- Если а>0, то f(x) > g(x) и ( а-1) (f(x) - g(x) )>0 .
- Если 0<а<1, то f(x) < g(x) и опять ( а-1) (f(x) - g(x) )>0 .
Таким образом, мы вывели условие равносильности
f(x)
g(x)
а
> а
↔ ( а-1) (f(x) - g(x) )>0 .(*)
f(x)
g(x)
Теперь рассмотрим нестрогое неравенство а
≤a
, где а>0. Тогда
f(x)
а
.
≤a
а
g(x)
↔
a
f(x)
f(x)
g(x)
= a,
<a
g(x)
( а-1) (f(x) - g(x) )=0
↔
( а-1) (f(x) - g(x) )< 0
↔
↔ ( а-1) (f(x) - g(x) )≤0.
Итак, для любого а>0 верно, что
f(x)
g(x)
a ≤ a ↔ ( а-1) (f(x) - g(x) )≤0. f(x) g(x)
При рассмотрении неравенства а < a меняется знак произведения в( *) , и мы
получаем
Правило 3.
f(x)
g(x)
Знак разности а - a совпадает со знаком произведения ( а-1) (f(x) - g(x) )
3.Логарифмические неравенства
Неравенство вида
log a f(x) >0(<0)
Рассмотрим неравенство log a f(x) >0(<0), где а – заданное положительное число,
отличное от 1
ОДЗ: f(x) >0.
-Если а>1, то log a f(x) >0(<0) тогда и только тогда, когда f(x) >1(<1), т.е.
( а-1)( f(x)-1) >0(<0).
-Если 0<a<1, то log a f(x)> 0(<0) тогда и только тогда, когда f(x) <1(>1), т.е.
( а-1)( f(x)-1) <0(>0).
Следовательно, имеет место условие равносильности
log a f(x) >0(<0) ↔ ( ОДЗ) ( а-1)( f(x)-1) >0(<0). (**)
Можно записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ:
f(x)>0,
log a f(x) >0(<0) ↔ {
( а-1)( f(x)-1) >0(<0).
Условие равносильности верны ( для обоих знаков) и для нестрогого неравенства
log a f(x)≥0 ↔( ОДЗ) ( а-1)( f(x)-1)≥0
Полное ( с учетом ОДЗ) условие равносильности для нестрогого неравенства
имеет вид
f(x)>0,
log a f(x)≥0(≤) ↔ {
( а-1)( f(x)-1)≤0(≥0).
Правило 4. Знак log a f(x) совпадает со знаком произведения ( а-1)( f(x)-1) в ОДЗ.
Неравенства вида log a f(x) > log a g(x)
Рассмотрим неравенство log af(x) > log ag(x), где а>0, а≠1. ОДЗ определяется
системой
f(x)>0,
{
g(x)>0.
Если а>1, то log a f(x) > log a g(x) тогда и только тогда, когда f(x)> g(x), т.е
( а-1)( f(x)- g(x))>0.
Если 0<a<1, то log a f(x) > log a g(x) тогда и только тогда , когда f(x) < g(x), т.е
опять ( а-1)( f(x)- g(x))>0.
Можно записать полное условие равносильности , включающее ОДЗ.
log
a
f(x) >(<) log
a
f(x)>0,
g(x)↔ { g(x)>0.
( а-1)( f(x)- g(x))>0(<0).
Отсюда следует
Правило 5. Знак разности log a f(x) - log a g(x) совпадает со знаком произведения
( а-1)( f(x)- g(x)) в ОДЗ.
Условия равносильности верны( для обоих знаков) и для нестрогого неравенства
log a f(x) ≥ log a g(x) ↔( а-1)( f(x)- g(x)) ≥0
Рассмотрим неравенство
f (x) ( log a g1(x) - log a g2(x))
>0
log b g3(x)
где а>0,a≠1, b>0, b≠1.
Решение рассматриваемого неравенства определяется
знаками множителей. Воспользуемся тем, что в ОДЗ знак
разности log a g1(x) - log a g2(x) совпадает ( в силу правила
5) со знаком произведения (а-1)(g1(x)- g2(x), а знак log bg3(x)
совпадает в ОДЗ со знаком ( b-1)( g3(x)-1) ( правило 4).
Поэтому
f (x) ( log
log bg3(x)
a
g1(x) - log
a
g2(x))
>0(≥0) ↔
f(x) (а-1)(g1(x)- g2(x)
( b-1)( g3(x)-1)
>0(≥0)
2
2
lg( 3x- 3x + 7)- lg ( 6 + x – x)
≥0
(2x-6)(2x-3)
Решение.
ОДЗ:
2
3x- 3x + 7≥0 (1)
2
хЄR
6 + x – x ≥ 0 (2)
x Є (-2;3)
{
↔ {
↔ (-2;1,5) U ( 1,5 ;3)
2x-6 ≠ 0 (3)
х≠3
2x-3 ≠ 0 (4)
х ≠ 1,5
2. 2
2
2
2
lg( 3x- 3x + 7)- lg ( 6 + x – x )
( 10-1) (( 3x- 3x + 7)- ( 6 + x – x))
≥0 ↔
≥0 ↔
(2x-6)(2x-3)
(х-3) ( х-1,5)
1.
(В силу правила №5)
{
2х-1=0
х=0,5
↔ {
(х-3) ( х-1,5)>0
↔ (-∞;0,5] U [ 0,5; 1,5) U (3;+ ∞)
(-∞;1,5) U ( 3; +∞)
3.
С учетом ОДЗ, получаем ответ:
(-2;1,5) U ( 1,5 ;3)
↔ ( -2; 0,5) U ( 0,5; 1,5)
{
(-∞;0,5] U [ 0,5; 1,5) U (3;+ ∞)
Ответ: ( -2; 0,5)U ( 0,5; 1,5).
2
(2х-1)
≥ 0,
(х-3) ( х-1,5)
2
1
2
2
log x-1(-x+ 8x – 7) - — log x-1 ( x-7) ≥ 2
16
Решение
1.
ОДЗ:
х-1≠1
x ≠2
х-1>0
x>1
{
→ {
→ (1;2) U (2;7)
х ≠7
2
-x + 8x -7 >0
(1;7)
2.
1
log x-1 (х-1)(7-х) - — (log x-1 ( x-7)2)2 ≥ 2,
16
1
log x-1 (х-1) + log x-1(7-х) - — ( 2 log x-1│ x-7│)2 ≥ 2,
16
1
2
1 + log x-1(7-х) - — log x-1 (7-х) ≥ 2,
4
1
2
log x-1(7-х) - — log x-1 (7-х) -1 ≥0 .
4
log x-1(7-х)= t
1
- — t + t -1≥0, t=2
4
3.
log x-1(7-х) = 2,
7-х= (x-1)2,
х 2 - 2х +1 +х -7=0,
х 2 –х – 6 =0,
х1= 3, х 2 = -2.
4.
(1;2) U (2;7)
{
x=-2 , х= 3
-2 не пренадлежти в ОДЗ.
Ответ: х= 3.
5.Показательные неравенства с
переменным основанием
f(x)
Рассмотрим неравенство а(х)
g(x)
>
a(x),
где а(х), f(x), g(x)- непрерывные функции на Х ; ОДЗ: а(х) > 0.
Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве с число е
( можно взять любое другое допустимое число)
f(x)
g(x)
f(x) ln a (x)
g(x) ln a (x)
Неравенство а(х) > a(x)
принимает вид е
>e
И, используя (*), получим равносильное неравенство
(е-1)( f(x) ln a(x) – g(x) ln a (x)) = (е-1)( f(x) – g(x)) ln a (x)>0,
а, используя (**), найдем окончательное условие равносильности
f(x)
g(x)
а(х) > a(x) ↔ ( а(х) – 1)( f(x) – g(x))>0.
Можно записать полное условие равносильности для строгого неравенства
f(x)
g(x)
а(х)>0,
а(х)
> a(x) ↔ {
( а(х) – 1)( f(x) – g(x))>0.
Отсюда следует
Правило 6.
f(x)
g(x)
знак разности а(х)- a(x)
совпадает со знаком произведения
( а(х) – 1)( f(x) – g(x)) в ОДЗ.
Преимущество этого правила состоит в том, что если а(х), f(x), g(x)
рациональные функции, то за один шаг мы перешли к классическому варианту
метода интервалов.
6.Неравенства для логарифмов с
переменным основанием
Рассмотрим неравенство log a(x)f(x) > 0. ОДЗ левой части определяется системой
а(х)>0,
{ а(х)≠0,
f(x)>0.
По определению
lg f(x)
log a(x)f(x)=
,
а(х)>0,
а(х)≠0,
f(x)>0.
lg a(x)
В силу правила 4 , знаки lg f(x), lg a(x) совпадают со знаками разностей f(x)-1 и a(x)-1
соответственно.
Поэтому знак
lg f(x)
f(x)-1
совпадает со знаком
или со знаком
lg a(x)
a(x)-1
произведения (a(x)-1)( f(x)-1).
Правило 7. Знак функции log a(x)f(x) совпадает со знаком произведения (a(x)-1)( f(x)-1).
Полное условие равносильности, включающее ОДЗ:
а(х)>0
log a(x)f(x)>0 (<0) ↔{ f(x)>0
(a(x)-1)( f(x)-1)>0(<0)
Для нестрогого неравенства условие выглядит по- другому.
а(х)>0
а(х)≠0
log a(x)f(x)≥0(≤0)↔ { f(x)>0
(a(x)-1)( f(x)-1)≥0(≤0).
Литература






Е. А.Полякова. Уравнения и неравенства.
С.М. Никольский. Алгебра и начало математического анализа.
С.И. Колесникова. Математика.
А.Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.
Е.Е. Калугина. Уравнения, содержащие знак модуля.
А. Г. Клово. Математика. Сборник тестов по плану ЕГЭ 2010.