Задания 10 класс (2)

«Российская аэрокосмическая олимпиада школьников по математике»
Отборочный этап 2012/13
10 класс (2 вариант)
1. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна
. Найдите радиус окружности,
вписанной в треугольник МРК, если точки М, Р и К − середины сторон AB, CD, EF соответственно.
2. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60, а площадь равна 24 3 , вписана
окружность. Найдите радиус этой окружности.
параметра a , при которых множество решений неравенства
x( x  2)  (a  1)( x  1  1) содержит все члены некоторой бесконечно убывающей геометрической
прогрессии с первым членом, равным 1,7, и положительным знаменателем.
3.
Найдите
все
значения
4. Найти нули функции
f ( x)  6 x  x 2  x3  cos  x  1
5. Вычислить значение выражения:
3
log3 2
2
log2 3
6. Решить неравенство: log 0,5 x (0,25 x  1,25 x  1,5)  1
2
7. Найдите все значения p, при которых уравнение 6sin x  p  5cos 2 x не имеет корней.
3
8. Функция f(x) определена на всей числовой прямой и является четной периодической функцией с
периодом, равным 6. На отрезке [0;3] функция задана формулой f(x)=2+2x-x2. Определите количество
нулей этой функции на отрезке [-5,4].
 3 ( x  y )  3 ( z  y )  3,

9. Решить систему уравнений 
 3 ( z  y )  3 ( x  z )  1,
3
3
 ( x  y )  ( z  x)  0.
10. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить в несколько дней 216 кубометров дров.
Первые три дня бригада выполняла ежедневно установленную норму, а затем ежедневно
заготавливала по 8 кубометров сверх плана. Поэтому уже за день до срока было заготовлено 232
кубометра. Сколько дров в день должна была заготавливать бригада по плану?
11. Разность арифметической прогрессии является отрицательным числом. Найти сумму первых семи
членов этой прогрессии, если сумма третьего и седьмого членов равна 18, а их произведение равно 45.
12. Путешественник выходит на прогулку в горы из гостиницы в 3 часа дня и возвращается той же
дорогой в 9 вечера того же дня. Найти расстояние, пройденное путешественником, если известно, что
он спускается с любой горы со скоростью 6 км/ч, поднимается со скоростью 3 км/ч, идет по ровной
дороге со скоростью 4 км/ч?
13. Медианы треугольника имеют длину 9, 12, 15. Найдите площадь треугольника.
14. Найти все значения a, при каждом из которых оба числа a  2
являются решениями неравенства
log x5,5 (log 4
15.
x3
)0
x  10
Решить систему уравнений
5sin 2 x  3sin x cos x  4  0,

 tgx
1

 tgx
a 2
и 3a  2a  4a 2  4a3  27