Геометрические характеристики плоских сечений Прочность при растяжении-сжатии зависит от площади поперечного сечения А. Т.о. А – геометрическая характеристика, определяющая напряжения при растяжении-сжатии. При изгибе, кручении ситуация иная. Там напряжения зависят от других характеристик поперечных сечений стержней. Пример 1 2 2 > 1 z Введем понятие статического момента: y dА z S y zdA A S z ydA [см3] A Из теоретической механики известно: y Sz Yc A Zc Sy A Т.о. статические моменты относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, равны нулю. Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными Введем понятие осевого момента инерции сечения: I z y 2 dA A I y z 2 dA [см4] A Центробежный момент инерции: I zy yzdA A Полярный момент инерции: I 2 dA A Из рис. следует: I 2 dA ( z 2 y 2 )dA z 2 dA y 2 dA I y I z A A A I I y Iz A Моменты инерции простейших фигур 1. Прямоугольник y dA b dy h 2 3 by I z y 2 da y 2bdy dy 3 h A y z h 0 2 3 3 3 bh b h h 12 3 8 8 Рассуждая аналогично: b hb 3 Iy 12 h 2 h 2 2. Треугольник Оси z, y – центральные. y Из подобия треугольников: 2/3h dy y by 0 1/3h b z h 2 h y 3 h; by b 2 h y b 3 ; by h b2 dA by dy h y dy; h3 2. Треугольник 2 h 3 b 22 b 3 b 2 I z y dA y h y dy y hdy y dy h 3 h h 3 h A 2 2 3 2 h 3 1 h 3 b2 y h h3 3 3 b y4 h 4 2 h 3 1 h 3 2 8 3 1 3 b 16 4 1 4 b h h h h 9 27 27 4h 81 81 bh 3 ..... 36 bh 3 Iz 36 y 3. Круг d Ранее было: I I y Iz Iy Iz 2 dA 2d z R I R I 2 dA 23d 2 A 0 Iy Iz 4 4 R 0 d 4 64 R 4 d R 2 2 d 4 32 4. Кольцо y I R 2 4 r4 r z R I y Iz I 2 R 4 4 r4 Моменты инерции относительно // осей y b yС dA z I z c , I y c , a, b Определить: z0 y0 zС С y 0 Дано: I z , I y , I zy I z c y dA; 2 0 A I y c z02 dA; a A z I zc yc y0 z0 dA; A I z y0 a dA y02 dA 2a y0 dA a 2 dA 2 A A A A Статический момент = 0 относительно центральной оси 2 I I b A Аналогично: y yc I z I zc a A 2 I zy yzdA z z0 b y y0 a A z0 b y0 a dA A z0 y0 dA ab dA b y 0 dA a z0 dA; A A A I zy I zc yc abA A Последнее слагаемое м.б. > 0, 0. Пример Ранее было получено: y bh 3 Iz 12 2 z h 0 h I z I z c bh 2 bh 3 bh 3 bh 3 12 4 3 z1 b bh 3 I z1 3 Теорема Центробежный момент инерции Izy = 0, если одна из осей является осью симметрии сечения (фигуры). y dA dA I zy yzdA A y y z A пр 2 пр ydA z лев A лев 2 z лев zправ 0 -z z z ydA