ЗАДАЧА 1.

ЗАДАЧА 1.
1. Определить положение центра тяжести сечения.
2. Найти осевые (экваториальные) и центробежные моменты инерции относительно
случайных осей, проходящих через центр тяжести (xcи yc).
3. Определить направление главных центральных осей (Uи V).
4. Найти величины моментов инерции сечения относительно главных центральных осей.
I-швеллер №36, II-уголок 90 х 90 х 8.
Геометрические характеристики элементов сечения:
Швеллер № 36:h=36 см, b=11 см, d=0,75см, t=1,26 см, A=53,4 см2, z0=2,68см,
Jx=10820см4, Jy=513 см4.
Уголок № 90 х 90 х 8мм:B=9см,d=0,9 см, A=13,93 см2, z0=2,51 см,
Jy= Jx=106,11см4, Jx0=168,4см4 Jy0=43,8см4.
Находим центр тяжести сечения:
x1=b-z0=11-2,68=8,32 см, x2=b-z0=11-2,51=8,49см.
xc
ΣSi
ΣAi
A1 x1 A 2 x 2
А1 А 2
y1=h/2=36/2=18см,
yc
ΣSi
ΣAi
53,4 8,32 13,9 8,49
8,351см
53,4 13,93
y2=h+2,51=38,51см.
A1 y1 A 2 y 2
А1 А 2
53,4 18 13,93 38,51
22,243см
53,4 13,93
XC, YC – главные центральные оси сечения.
Главные центральные моменты инерции всего сечения:
аi – расстояния между осью Xc и центрами тяжести каждой из фигур:
а1 = y1-yс=18-22,243=-4,243см
а2= y2-yс=38,51-22,243=16,267 см
bi – расстояния между осью YС и центрами тяжести каждой из фигур:
b1 = x1-xс=8,32-8,351=-0,031 см
b2= x2-xс=8,49-8,351=0,139 см
1
Jx= Jxi= JxI+ JxII = Jx1+ A1 a12+ Jx2+A2 a22=10820+53,4∙(-4,243)2+106,11+
+13,93∙16,2672=15573,564см4
Jy= Jyi= JyI+ JyII=Jy1+ A1 b12+ Jy2+A2 b22=513+53,4∙(-0,031)2+106,11+13,93∙0,1392=619,43см4
2
Центробежный момент инерции:
Швеллер имеет горизонтальную ось симметрии, собственные центральные оси швеллера
являются главными осями, поэтому первое слагаемое в формуле для швеллера равно 0.
Для уголка:
так как оси x0,y0 являются главными центральными осями, то момент инерции
равен нулю.
Угол
, так как оси x1,y1, относительно которых вычисляется центробежный момент
инерции, повернуты против часовой стрелки относительно осей x0,y0.
Следовательно:
Для всего сечения:
Направление главных центральных осей:
Откладываем угол
по часовой стрелке и проводим главные центральные оси Uи V:
Вычисляем моменты инерции относительно главных центральных осей:
так как
, то
относительно главной оси U,
относительно главной оси V.
3
Проверка:
Juv = Jxycos2α – 0,5(Jy−Jx)∙sin2α=
ЗАДАЧА 2.
Построить эпюры Qи М в долях ql2, эпюру прогибов.
4
Для раскрытия статической неопределимости используем метод начальных параметров.
Поскольку на правой опоре перемещениеy0= 0 , в соответствии с условиями закрепления
балки y( z= l) = 0, θ(z= l) = 0, функции прогиба и угла поворота запишутся следующим образом:
на опоре Bдействует поперечная сила Q=-ql и моментM=-0,3ql2от действия силы на консоли.
EJ x yz
EJ x
l
l3
l RB
6
0
z l
RB
0
l2
2
l4
(l 0,5l )3
q
ql
24
6
q
l3
6
ql
(l 0,5l )2
2
l2
0,3ql
2
0,3ql 2
ql
l3
ql
6
l2
2
0
0
тогда:
l2
RB
2
0
0,842ql 3
0 RB 1,513ql
Из уравнений равновесия находим реакции RAи МА:
;
Строим эпюры Qи М.
Определяем прогибы на консоли и в пролете:
помещаем начало координат в жесткой заделке, тогда y0= 0,
EJ x y z
MA
1, 3l
0,213 ql 2
yz
1,3l
2
(1,3l ) 2
2
2
(1,3l ) 3
6
3
1,3l
0,513 ql
6
RA
0
0
(1,3l ) 4
(1,3l l ) 4
(0,8l ) 3
(0,3l ) 3
q
ql
RB
24
24
6
6
4
3
3
4
1,3l
(1,3l l )
0,8l
0,3l
q
q
ql
1,513ql
24
24
6
6
q
0,0344ql 4
0,0344 ql 4
перемещение вниз.
EJ x
1, 3l
прогиб на расстоянии 0,5 l:
EJ x y z
0 , 5l
0,5l
q
24
yz
0 , 5l
MA
(0,5l ) 2
2
RA
(0,5l ) 3
6
q
(0,5l ) 4
24
0,213 ql 2
0,5l
2
2
0,513 ql
0,5l
6
3
4
0,013ql 4
0,013 ql 4
перемещение вверх.
EJ x
5
прогиб на расстоянии 0,6l:
EJ x y z
0, 6l
0,6l
q
24
yz
0 , 5l
MA
(0,6l ) 2
2
RA
(0,6l ) 3
6
q
(0,6l ) 4
24
0,213 ql 2
0,6l
2
2
0,513 ql
0,6l
6
3
4
0,0145ql 4
0,0145 ql 4
перемещение вверх
EJ x
Строим эпюру прогибов.
ЗАДАЧА 3.
Чугунный короткий стержень сжимается силой P, приложенной в точке А.
1. Вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжение в
поперечном сечении, выразив эти сечения через P и размеры сечения.
2. Найти допускаемую нагрузку P при заданных размерах сечения и допускаемых
напряжениях для чугуна на сжатие и растяжение.
cж
100 МПа
р.
23МПа а 5см b 3см
Сечение состоит из 2 фигур:
6
Iпрямоугольник со сторонами 15 х 3 (см)
IIпрямоугольник 6 х 5(см)
Сечение симметрично относительно Y, следовательно, необходимо найти только координату Yc
yi– расстояния от оси X до центров тяжестей Ci каждой из фигур:
y1=1,5 смy2=6 см
Площади фигур:
F1= 15 ∙ 3 = 45см2F2= 6 ∙ 5 = 30 см2
Координаты центра тяжести всей фигуры:
YC
F1 y1 F2 y2
F1 F2
45 1,5 30 6
45 30
247,5
75
3,3см
Проводим через найденный центр тяжести центральную ось XC.
Моменты инерции каждой из фигур относительно собственных осей:
прямоугольник
Jx
bh3
Jy
12
hb3
12
аi – расстояния между осью Xc и центрами тяжести каждой из фигур:
d1 = y1-yс=1,5-3,3=-1,8 см
d2= y2-yс=6-3,3=2,7 см
Моменты инерции всей фигуры относительно главных центральных осей:
Jx= Jxi= JxI+ JxII = Jx1+A1 d12+Jx2+A2 d22=
Jy= Jyi= JyI+JyII= Jy1+Jy2=
Радиусы инерции сечения относительно осей XC, YC.
ix
Jx
F
488 ,25
75
2,55см i y
Jy
F
906 ,25
75
3,476 см
Определяем положение нулевой (нейтральной линии).
Координаты точки приложения силы P.
7
xА=2,5 см, yА=5,7 см
Отрезки, отсекаемые нулевой линией на координатных осях:
a
i y2
xA
3,4762
2,5
4,833см b
ix2
yА
2,55 2
5,7
1,141см
Откладываем эти отрезки на осях XCиYCи через эти оси проводим нейтральную линию n-n.
Наиболее удаленные точки от нейтральной линии т.1 и т.2 являются наиболее напряженными.
Координаты т.A:xА=2,5 см,yА=5,7 см
Координаты т.B: xB=-7,5 см,yB=-3,3 см
Напряжения в этих точках:
A
P
x
1 2P x A
F
iy
yP
yA
ix2
P
2,5
5,7
1
2,5
5,7
2
75
3,476
2,552
B
P
x
1 2P xB
F
iy
yP
yB
ix2
P
2,5
1
( 7,5)
75
3,4762
P 0,0869
5,7
( 3,3)
2,552
0,0459 P
Из условия прочности находим допускаемую нагрузку P:
P 0,0869 104
PA
сж
100МПа
P 115,074кН
P 0,0459 104
RB.
F
р.
23МПа
50,108кН
принимаем Pmin=50,108кН
тогда
B
А
0,0869 P 104
0,0459 P 104
0,0869 50,108 104 103
0,0459 50,108 104 103
43,54МПа
22,99МПа
р.
сж
100МПа
23МПа
8
9