§10. Интеграл типа Коши. Теорема Мореры. п.1. Интеграл типа Коши. Пусть Г — произвольная кусочно-гладкая кривая, замкнутая или незамкнутая. Пусть функция f (z ) непрерывна вдоль Г. Рассмотрим интеграл 1 f ( ) d . 2i z (1) Выражение (1) имеет определенное значение в каждой точке z, z . Поэтому, оно определяет однозначную функцию 1 f ( ) F ( z) 2i z d , z . Если Г — замкнутая кривая, и f (z ) — аналитическая функция как внутри Г, так и на Г, то f ( z ), z внутри , F ( z) 0, z вне . В этом случае (1) называется интегралом Коши. При общих вышеуказанных предположениях выражение (1) называется интегралом типа Коши. Теорема 1. Функция F (z ) , определенная интегралом типа Коши (1), аналитична во всякой односвязной области G, не содержащей точек кривой Г, и для ее производной имеет место формула 1 f ( ) F ' ( z) d . 2i ( z ) 2 Доказательство. Пусть z — произвольная точка области G; z — такое, что z z G. Рассмотрим приращение 1 f ( ) 1 f ( ) F ( z z ) F ( z ) d d 2i z z 2i z z z f ( ) d . 2i ( z z )( z ) z z G Тогда F ( z z ) F ( z ) 1 f ( ) lim lim d z 0 z 0 2i ( z z )( z ) z или 1 f ( ) F ' ( z) d , 2 2i ( z ) если возможен предельный переход под знаком интеграла в правой части. Обоснуем этот предельный переход. Покажем, что разность 1 f ( ) 1 f ( ) R d d 2 2i ( z z )( z ) 2i ( z ) z f ( ) d 2i ( z z )( z ) 2 стремится к нулю при z 0. Так как функция f (z ) непрерывна вдоль Г, то | f ( ) | M , . Поэтому, | z | M | R | 2 | d | | z z | | z | . 2 Обозначим через 2d расстояние от точки z до кривой Г, т.е. 2d : min | z | . Тогда | z | d , , и, кроме того, при достаточно малых | z z | d . Поэтому, | z | M | R | 2 где l — длина Г. | d | d 3 | z | Ml 2d 3 , z Значит, lim R 0. z 0 Последнее равенство обосновывает предельный переход, что и завершает доказательство теоремы. Теорема 2. Функция F (z ) , определенная интегралом типа Коши (1), имеет в каждой точке z, лежащей вне кривой Г, производные всех порядков. При этом имеют место формулы F ( n) n! f ( ) ( z) d , n N . 2i ( z ) n1 Доказательство. Методом математической индукции. п.2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Теорема 3. Каждая функция f (z ) , аналитическая в области G, имеет производные всех порядков в этой области, т.е. бесконечно дифференцируема в ней. Доказательство. Пусть z — произвольная точка области G; Г — кусочно-гладкий замкнутый контур, окружающий точку z и лежащий со всеми своими внутренними точками в области G. С одной стороны, по интегральной теореме Коши z G 1 f ( ) f ( z) d . 2i z С другой стороны, на основании теоремы 2 функция f (z ) , определяемая интегралом типа Коши, дифференцируема в точке z произвольное число раз. В силу произвольности выбора точки z заключаем, что функция f (z ) имеет производные всех порядков повсюду в области G. Замечание 1. Для производных аналитической функции справедливы формулы f ( n) n! f ( ) ( z) d , n N , 2i ( z ) n1 которые называются формулами Коши для производных. Замечание 2. Любая производная аналитической функции является аналитической функцией. п.3. Обращение интегральной теоремы. Теорема 4 (Морера). Пусть G — односвязная область; f (z ) — непрерывная в G функция; для любого кусочно-гладкого замкнутого контура Г, G , справедливо равенство f ( )d 0. Тогда функция f (z ) является аналитической в области G. Доказательство. Из условия теоремы следует, что интеграл z f ( )d z0 не зависит от пути, соединяющего точки z0 и z. По теореме 1 §9 функция z F ( z) f ( )d z0 является аналитической в области G, причем F ' ( z ) f ( z ). Для завершения доказательства осталось применить замечание 2.