 § 6. Интегрирование функции комплексной переменной  

§ 6. Интегрирование функции комплексной переменной
ОПР 17. Пусть в области D задана
однозначная и непрерывная
ф. к. п. w = f ( z )
и пусть Г (MN) – произвольная
кусочно-гладкая ориентированная
кривая (Г ∊ D).
zk
z2
z1
z2
z1
M=z0
zk+1
zn-1
zk
zn-1 zn
N=zn
D
а) T {M = z0 , z1 , z2 , …, zn= N},
б) zk ∊ (zk , zk+1 )
в) Sn 
n
 f z z
k
k
zk  zk 1  zk
k 1
г) d = max| zk , zk+1 |
Предел комплексной интегральной суммы при d → 0 называется интегралом
от функции f(z) вдоль кривой Г и обозначается
 f z  dz 

n
lim
max  z k 0
k
 f z
k 1
k
 z k
6.1
Теорема 6.1. (теорема существования)
Если функция f(z) однозначна и непрерывна на кусочно-гладкой
ориентированной кривой Г, то предел комплексной интегральной суммы сущ.
и не зависит ни от способа разбиения кривой, ни от выбора точек zk .
 f z  dz   u dx  v dy  i  u dy  v dx
Свойство интеграла фкп.
1)


6.2

 f z dz   f z dz
 

z2
2)
 dz  z
2
 z1
z1
 n

3) 
ck f k z dz 
 k 1



4)
c  f
k
k 1
k
z  dz

 f z dz   f z dz   f z dz

5)
n
1
конец Г1 совпадает с началом Г2
2
 f z dz   f z  dl


6) Если функция f (z) ограничена на Г, т.е. | f (z) | ≤ M ∀z∈Г, то
где l – длина кривой Г
 f z dz  Ml

Теорема 6.2. (теорема Коши для односвязной области)
Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, а С – замкнутая,
кусочно-гладкая кривая, лежащая в области D, то
f z dz  0
6.3

C
Справедлива обратная теорема: если f ( z ) непрерывна в D и для ЛЮБОГО
замкнутого контура С, лежащего в D
, тоf zf (dzz ) 0аналитична.

C
Теорема 6.3. (независимость интеграла от пути интегрирования )
Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то
интеграл от неё вдоль любой дуги L∈D не зависит от формы
дуги L, а зависит только от начальной a и конечной b точки
пути интегрирования
b
L2
D
L1
a
Следствие
1. Для аналитической в D функции интеграл не зависит от формы дугиbL, а
только от начальной и конечной точек пути интегрирования
 f z dz   f z dz
L
a
2. Если Ф(z) любая функция, для которой Ф’( z )= f ( z ), ( f ( z ) - аналитична), то
b

a
f z dz  z  a  b   a 
b
Теорема 6.4. (теорема Коши для многосвязной области)
Если функция f(z) аналитична в многосвязной области G, то
n
 f z dz    f z dz
k 1
C0
6.4
Ck
G
C1
g1
gk
C0
Ck
Теорема 6.5. (интегральная формула Коши)
Если функция f(z) аналитична в замкнутой односвязной области D и на
ее границе С, и z0 – внутренняя точка области D, то
f z0   2 i
1

C
f  z
z  z0
dz
6.5
Выводы.
1) Интегральная формула Коши показывает, что многие свойства
аналитических функций определяются свойствами простейшей из них:
1
K ( z , z) 
 ядро Коши
0
z  z0
2) Интеграл Коши определяется лишь значениями f(z) на границе С области D.
Т.о. значения функции внутри области аналитичности задаются ее значениями
на границе. Формула Коши позволяет вычислить значения функции во всех
точках области, если известны граничные значения этой функции.
Теорема 6.6.
Функция F(z), определенная интегралом типа Коши, аналитична в любой
конечной точке z0, не лежащей на кривой Г и
F '  z0  
1
2 i

 z  z0 
f z
2
dz

Следствие 1. F(z) обладает производными любого порядка и
F n   z0  
n!
2 i

 z  z0 
f z
n 1
dz

Следствие 2. Любая аналитическая в замкнутой области D функция f(z)
обладает внутри этой области производными всех порядков, причем
f
n 
 z0  
n!
2 i


f z
n 1
C  z  z 
0

dz
6.5