Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/условная сходимость, признаки Дирихле и Абеля. А. Н. Медведев ЛЭТИ 23 марта 2020 г. Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Критерий Коши I Договоренность Все теоремы доказываются для несобственных интегралов первого рода (ограниченная функция на неограниченном промежутке). Но они также верны и для интегралов второго рода (неограниченная функция на ограниченном промежутке), а также для случая интегралов с внутренними особенностями (в том смысле, как мы их понимаем – сумму нескольких интегралов перовго/второго рода) Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Критерий Коши II Критерий Коши сходимости несобственного интеграла Пусть функция f (x) кусочно-постоянна на [a, ∞). R∞ Несобственный интеграл f (x)dx сходится тогда и только a тогда, когда для всякого ε > 0 существует значение N ≥ a такое, что для всех x2 > x1 > N Z x2 f (x)dx < ε. x1 Rx Доказательство. Рассмотрим функцию F (x) = a f (t)dt. R∞ Несобственный интеграл f (x)dx сходится тогда и только a тогда, когда существует предел limx→∞ F (x). С другой стороны, согласно критерию Коши сходимости функции, предел limx→∞ F (x) существует тогда и только тогда, когда ля Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Критерий Коши III всякого ε > 0 существует значение N ≥ a такое, что для всех x2 , x1 > N выполнено |F (x2 ) − F (x1 )| < ε. Осталось лишь напомнить (потребуем, для удобства, чтобы x2 > x1 ), что Z x2 F (x2 ) − F (x1 ) = f (x)dx. x1 Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Абсолютная сходимость I Абсолютная сходимость Несобственный интеграл R∞ f (x)dx сходится абсолютно, если a сходится несобственный интеграл R∞ |f (x)|dx a Связь абсолютной сходимости и обычной сходимости R∞ Если несобственный интеграл f (x)dx сходится абсолютно, то a он сходится. Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Абсолютная сходимость II R∞ Доказательство. Пусть интеграл |f (x)|dx сходится. a Согласно критерию Коши, для всякого ε > 0 существует значение N ≥ a такое, что для всех x2 > x1 > N Z x2 |f (x)|dx < ε. x1 Но верно неравенство Z x2 Z x2 f (x)dx ≤ x1 |f (x)|dx. x1 Отсюда, все по тому же критерию Коши, сходится и интеграл R∞ f (x)dx. a Следует отметить, что обычная сходимость не влечет абсолютную. Контрпримером, например, является интеграл Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Абсолютная сходимость III R∞ sin(x) x dx, но, пока что, мы не можем объяснить его сходимость, для этого нужны признаки Абеля и Дирихле. Так что, пока, прошу принять это на веру. Таким образом, для несобственного интеграла существуют три возможности. 1 1 2 Абсолютная сходимость – сходится интеграл Условная сходимость – расходится интеграл сходится сходится интеграл R∞ R∞ a R∞ |f (x)|dx. |f (x)|dx, но a f (x)dx. a 3 Расходимость. Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Теоремы о среднем Нашей основной задачей будет изучить два признака сходимости несобственных интегралов, подпадающих под следующую формулу: даны две функции, интеграл от одной из которых сходится/ограничен, а вторая «не сильно все портит, а то и помогает», тогда интеграл от их произведения снова сходится. Как раз для оценки и анализа поведения интегралов от таких произведений, нам понадобится ряд «теорем о среднем», которые обобщают уже доказанную в курсе теорему о среднем, представленную ниже. «Нулевая» теорема о среднем для определенного интеграла Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то найдется такое ξ ∈ [a, b], что Zb f (x)dx = f (ξ)(b − a). a Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Первая теорема о среднем для определенного интеграла I Первая теорема о среднем для определенного интеграла Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны, а функция g (x), к тому же, неотрицательна на интервале (a, b). Тогда найдется число ξ ∈ [a, b] такое, что Zb Z f (x)g (x)dx = f (ξ) b g (x)dx. a a Доказательство. Функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. По второй теореме Вейерштрасса, найдутся такие точки x1 , x2 ∈ [a, b], что для всякого x ∈ [a, b] будет выполнено f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ). Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Первая теорема о среднем для определенного интеграла II С другой стороны, функция g (x) неотрицательна. Поэтому имеем f (x1 )g (x) ≤ f (x)g (x) ≤ f (x2 )g (x) для всех x ∈ [a, b]. Проинтегрировав обе части неравенства, получаем Z b Z g (x)dx ≤ f (x1 ) a b Z f (x)g (x)dx ≤ f (x2 ) a b g (x)dx. a Rb Если a g (x)dx = 0, то неравенство выше нам дает Rb a f (x)g (x)dx = 0 (хотя это и так понятно, так как интеграл от неотрицательной функции равен нулю, только если он нулевая) а значит искомое тождество выполнено для любого ξ ∈ [a, b]. Если интеграл от g (x) ненулевой, значит в неравенстве можем на него поделить (опять таки, знак неравенств не нарушится, Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Первая теорема о среднем для определенного интеграла III так число, на которое делим строго больше нуля, как интеграл от неотрицательной функции, не равный нулю). Таким образом, имеем Rb f (x1 ) ≤ a f (x)g (x)dx ≤ f (x2 ). Rb a g (x)dx По теореме о промежуточном значении, найдется ξ ∈ [a, b] такое, что Rb f (x)g (x)dx f (ξ) = a R b . a g (x)dx Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Вторая теорема о среднем для определенного интеграла Вторая теорема о среднем для определенного интеграла Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b]. Дополнительно предположим, что функция f(x) монотонна . Тогда найдется точка ξ ∈ [a, b] такая, что выполнено тождество Zξ Zb f (x)g (x)dx = f (a) a Zb g (x)dx + f (b) a g (x)dx ξ Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Вспомогательная лемма Вспомогательная лемма Пусть функция ϕ непрерывна на некотором отрезке, содержащем отрезок [a, b]. Тогда Zb lim h→0 ϕ(x + h) − ϕ(x) dx = ϕ(b) − ϕ(a) h a Замечание Требование непрерывности функции ϕ в некотором большем промежутке, чем отрезок [a, b], вполне естественно, так значения подынтегральной функции ϕ(x + h) выходят за рамки отрезка [a, b]. Но так как мы берем предел при h → 0, то «слишком далеко» отходить от отрезка [a, b] нам не надо: подойдет любой отрезок, содержащий отрезок [a, b]. Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Доказательство леммы I Пусть функция Φ – первообразная функции ϕ. Для каждого достаточно малого значения h (см. замечание выше) рассмотрим функцию Φh (x) = Φ(x + h) − Φ(x) , h заданную на отрезке [a, b]. Легко заметить, что Φ0h (x) = ϕ(x + h) − ϕ(x) h всюду на отрезке [a, b]. Т. е. функция Φh (x) является первообразной подынтегрального выражения из формулировки Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Доказательство леммы II леммы. Таким образом, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем Zb ϕ(x + h) − ϕ(x) dx = Φh (b) − Φh (a) = h a = Φ(b + h) − Φ(b) Φ(a + h) − Φ(a) − −−−→ Φ0 (b) − Φ0 (a) = h→0 h h = ϕ(b) − ϕ(a). Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Доказательство второй теоремы I Доказательство второй теоремы о среднем. В первую очередь, обсудим случай, когда f (x) ≡ C . Имеем Z b Z b f (x)g (x)dx = C Z ξ g (x)dx = C a a Z g (x)dx + C a Z = f (a) ξ g (x)dx = ξ Z g (x)dx + g (b) a b b g (x)dx ξ для любой точки ξ ∈ [a, b]. Тем самым, можем считать, что f (a) 6= f (b). Напомним, что для того, чтобы применить лемму, необходимо несколько выйти за рамки отрезка [a, b]. Легко заметить, что непрерывность и монотонность функции f (x) и g (x) можно при этом сохранить (например, можно их продолжить константами Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Доказательство второй теоремы II слева и справа). Поэтому можем смело проводить рассуждения и записать тождество Z b f (x + h)G (x + h) − f (x)G (x) dx = h a Z b Z b f (x + h)[G (x + h) − G (x)] f (x + h) − f (x) dx − G (x)dx, h h a a где функция G – первообразная функции g . Применив лемму к функции f (x)G (x), получаем соотношение Z b f (x + h)G (x + h) − f (x)G (x) dx = f (b)G (b)−f (a)G (a)+o(h) h a при h → 0. Рассмотрим f (x + h)[G (x + h) − G (x)] − f (x)g (x) ≤ h Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Доказательство второй теоремы III . Заметим, что G (x + h) − G (x) = ∆h G (x). h Воспользовавшись свойствами модуля и тождеством AB − CD = (A − C )B + (B − D)C , можем написать оценку ≤ |f (x + h) − f (x)||∆h G (x)| + |∆h G (x) − g (x)||f (x)| ≤ ≤ C1 |f (x + h) − f (x)| + C2 |∆h G (x) − g (x)|. Последнее неравенство имеет место, ввиду ограниченности функций f (x) и ∆h G (x). Ограниченность функции f (x) автоматически обеспечивает теорема Вейерштрасса. В то Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Доказательство второй теоремы IV время как, ограниченность функции ∆h G (x) требует дополнительных объяснений. Первообразная G (x) является непрерывной функцией, поэтому по теореме Лагранжа можем написать ∆h G (x) = G (x + h) − G (x) = G 0 (ξ) = g (ξ), h где ξ – некоторая точка между x + h и x. В свою очередь, функция g также непрерывна, поэтому последнее выражение тоже ограниченно. Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Доказательство второй теоремы V Напоминание: непрерывность на отрезке и модуль непрерывности Модулем непрерывности функции f , заданной на множестве X , называется функция ωf (δ) = |f (x1 ) − f (x2 )|. sup x1 ,x2 ∈X , |x1 −x2 |<δ Модуль непрерывности неотрицателен, не убывает, полуаддитивен. Кроме того, функция f непрерывна на отрезке тогда и только тогда, когда lim ωf (δ) = 0. δ→0+ Как указано в напоминании, имеем |f (x + h) − f (x)| ≤ ωf (|h|). Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Доказательство второй теоремы VI Как было получено ранее, найдется такая точка ξ между x + h и x такая, что ∆h G (x) = g (ξ). Заметим, что ξ = x + hξ , причем |hξ | ≤ |h|. Поэтому, ввиду неубывания модуля непрерывности, можем написать |∆h G (x) − g (x)| = |g (x + hξ ) − g (x)| ≤ ωg (|hξ |) ≤ ωg (|h|). Таким образом, можем записать оценку f (x + h)[G (x + h) − G (x)] − f (x)g (x) ≤ C1 ωf (|h|) + C2 ωg (|h|). h Отсюда Z a b f (x + h)[G (x + h) − G (x)] dx − h Z b f (x)g (x)dx ≤ a Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Доказательство второй теоремы VII Z a b f (x + h)[G (x + h) − G (x)] − f (x)g (x) dx ≤ h Z b Z b ≤ C1 ωf (|h|)dx + C2 ωg (|h|)dx ≤ a a ≤ C3 ωf (|h|) + C4 ωg (|h|) −−−→ 0. h→0 Таким образом Z a b f (x + h)[G (x + h) − G (x)] dx = h Z b f (x)g (x)dx + o(h). a Осталось разобраться со слагаемым Z a b f (x + h) − f (x) G (x)dx = h Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Доказательство второй теоремы VIII Применив сначала первую теорему о среднем, а затем вспомогательную лемму, получаем Z = G (ξh ) a b f (x + h) − f (x) dx = G (ξh )[f (b) − f (a) + o(h)]. h Тем самым, получаем тождество Z f (b)G (b)−f (a)G (a) = b f (x)g (x)dx−G (ξh )[f (b)−f (a)+o(h)]+o(h). a Кроме G (ξh ), все функции, представленные в соотношении имеют предел (они либо константы, либо бесконечно малые) при h → 0. Поэтому, так как f (b) − f (a) 6= 0, предел имеет и функция G (ξh ). Так как функция G (x) непрерывна, то найдется точка ξ ∈ [a, b], на которой этот предел реализуется, Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Доказательство второй теоремы IX т.е. G (ξ) = limh→0 G (ξh ). Отсюда, выполнив предельный переход в соответствующем тождестве, имеем Z f (b)G (b) − f (a)G (a) = b f (x)g (x)dx − G (ξ)(f (b) − f (a)). a Тем самым, получаем Z b f (x)g (x)dx = f (a)[G (ξ) − G (a)] + f (b)[G (b) − G (ξ)] = a Z = f (a) ξ Z g (x)dx + f (b) a b g (x)dx. ξ Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Признак Дирихле I Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла R∞ Рассмотрим несобственный интеграл a f (x)g (x)dx. Предположим, что функции f (x) и g (x) удовлетворяют условиям: 1 2 Функция f (x) непрерывна на [a, ∞). Rx Функция F (x) = a f (t)dt ограничена на [a, ∞). Функция g (x) дифференцируема, g 0 ≤ 0, limx→∞ g (x) = 0. R∞ Тогда несобственный интеграл a f (x)g (x)dx сходится. 3 Доказательство. В первую очередь, отметим, что функция g (x) монотонно стремится к нулю при x → ∞. С другой стороны, первообразная F (x) ограничена. Таким образом, для данного ε > 0 существуют такие M, N ≥ a, что |F (x)| ≤ M для всех x ∈ [a, ∞), и |g (x)| ≤ ε/4M для всех x ≥ N. Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Признак Дирихле II Возьмем x2 > x1 > N. По второй теореме о среднем, найдется точка ξ ∈ [x1 , x2 ] такая, что выполнено соотношение Z x2 Z ξ f (x)g (x)dx = g (x1 ) x1 Z f (x)g (x)dx + g (x2 ) x1 x2 f (x)g (x)dx. ξ Отсюда, получаем Z x2 f (x)g (x)dx ≤ |g (x1 )||F (ξ)−F (x1 )|+|g (x2 )||F (x2 )−F (ξ)| < x1 ε ε 2M + 2M = ε. 4M 4M Осталось только применить критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. < Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Признак Абеля I Признак Абеля сходимости несобственного интеграла R∞ Рассмотрим несобственный интеграл a f (x)g (x)dx. Предположим, что функции f (x) и g (x) удовлетворяют условиям: 1 2 Функция f (x) непрерывна на [a, ∞). R∞ Несобственный интеграл a f (x)dx сходится. Функция g (x) непрерывна, монотонна и ограничена на [a, ∞). R∞ Тогда несобственный интеграл a f (x)g (x)dx сходится. 3 Доказательство. Отметим, что функция g (x) ограниченна на [a, ∞). Значит найдется постоянная M такая,R что |g (x)| ≤ для ∞ всех x ∈ [a, ∞). Фиксируем ε > 0. Интеграл a f (x)dx Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Признак Абеля II сходится, поэтому, по критерию Коши, найдется N ≥ a такое, что для всех x2 > x1 > N выполнено Z x2 ε f (x)g (x)dx < . 2M x1 Функции f (x) и g (x) непрерывны, а g (x) монотонна, значит применима вторая теорема о среднем. Имеем Z x2 Z ξ f (x)g (x)dx = g (x1 ) x1 Z f (x)g (x)dx + g (x2 ) x1 x2 f (x)g (x)dx, ξ для некоторой точки ξ ∈ [x1 , x2 ]. Отсюда Z x2 f (x)g (x)dx ≤ |g (x1 )||F (ξ)−F (x1 )|+|g (x2 )||F (x2 )−F (ξ)| < x1 Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Признак Абеля III <M ε ε +M = ε. 2M 4M Комментарий Как видно из доказательств, достаточно написать вторую теорему о среднем, Z x2 f (x)g (x)dx ≤ |g (x1 )||F (ξ) − F (x1 )| + |g (x2 )||F (x2 ) − F (ξ)|, x1 и оценить множители. В одном случае – первый бесконечно мал, второй ограничен, в другом – первый ограничен, а второй бесконечно мал. Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Примеры I R∞ Исследуем на сходимость интеграл 1 sinx x dx. Рассмотрим две функции: f (x) = sin x и g (x) = x1 . Первообразная функции f (x) будет ограниченной. Действительно, имеем Z x sin(t)dt = | cos(1) − cos(x)| ≤ 2. |F (x)| = 1 Функция g (x) непрерывна и убывает R ∞ к нулю. Таким образом, по признаку Дирихле интеграл 1 sinx x dx сходится. Проверим его на абсолютную сходимость. Заметим, что | sin x| ≤ 1. Поэтому | sin x| ≥ sin2 (x) = 1 − cos(2x) . 2 Отсюда | sin x| 1 cos(2x) ≥ − . x 2x 2x Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Примеры II Постоянная 1/2 на сходимость/расходимость не влияет, R∞ расходится. Интеграл поэтому ее отбросим. Интеграл 1 dx x R ∞ cos(2x) dx наоборот сходится, все по тому же признаку x 1 Абеля. Действительно, функция g (x) = x1 непрерывна и убывает к нулю, а первообразная функции f (x) = cos(2x) ограничена, так как Z x sin(2x) sin(2) |F (x)| = cos(2t)dt = − ≤ 1. 2 2 1 R∞ Отсюда, по признаку сравнения, интеграл 1 | sinx x| dx R∞ расходится. Таким образом, интеграл 1 sinx x dx сходится условно. Разберем пример на признак Абеля. Рассмотрим интеграл R ∞ sin x arctan x dx. Функция g (x) = arctan x непрерывна, x 1 монотонна и ограничена. С другой стороны, интеграл от Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев Примеры III функции f (x) = sinx x сходится. Значит, по признаку Абеля, и интеграл от произведения этих функций сойдется. Абсолютно этот интеграл также разойдется. Достаточно написать неравенство | sin x arctan x| π | sin x| ≥ x 4 x при x ≥ 1, вспомнить, что интеграл от функции расходится, и применить признак сравнения. sin x x Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у А. Н. Медведев
