Векторная алгебра

Векторная алгебра
(практическое занятие)
Кафедра высшей
математики
ТПУ
Лектор:
доцент
Тарбокова
Татьяна
Васильевна
1
Алгоритм решения задачи 1
• а) При умножении вектора на число все его
координаты умножаются на это число. При
сложении – соответствующие координаты

складываются. Модуль вектора a  (a x , a y , a z )
• в Декартовой системе координат равен
a  a x2  a y2  a z2
• Направляющие косинусы вектора равны
отношению соответствующей координаты к
длине этого вектора cos   a x ; cos   a y ; cos   a z .
a
a
a
• Орт вектора – это вектор единичной длины
0
a  (cos  , cos  , cos  )
2
Алгоритм решения задачи 1
• б) Скалярное произведение двух
векторов в ортонормированном
(декартовом) базисе равно сумме
произведений одноименных координат


этих векторов: если a  (a x , a y , a z ), b  (bx , by , bz ) ,
• то (a, b)  (b, a)  axbx  a yby  azbz .
  
i
j k
• Произведение  
a a
a a
a a
a, b   a a a  i b b  j b b  k b b
• с) векторное:
b b b
• d) cмешанное:
a a a
1
2
1
2
3
1
3
1
2
2
3
1
3
1
2
3
2
3
x
y
z
( a , b, c )  b x
cx
by
cy
bz
cz
3
Алгоритм решения задачи 2
• Если
,
АК

КВ
• то
x A  xB
y A  y B
z A  z B
xK 
; yK 
; zK 
1 
1 
1 
4
Алгоритм решения задачи 3
• Длина вектора
• в аффинном (произвольном) базисе
равна a  (a, a) .
• Поэтому
2

( a   b,  a   b)   a  (  ) a b cos(a, b)   b
2
5
Алгоритм решения задачи 4
• а) Векторы AB и DC равны, поэтому
( x B  x A , y B  y A , z B  z A )  ( xC  x D , y C  y D , z C  z D )
• Приравняв соответствующие
координаты, найдём координаты точки
D.
AB, AD
• б)
hD 
• с)

cos AC ,
AB


AC , BD 
BD  
AC BD
6
Алгоритм решения задачи 5
• Точки лежат в одной плоскости, если
векторы, построенные на этих точках,
компланарны. Условием
компланарности векторов является
равенство нулю их смешанного
произведения. То есть, например,
( AB, AC , AD)  0
• Площадь четырёхугольника можно
найти как сумму площадей двух
треугольников.
7
Геометрический смысл
векторного произведения
• Модуль векторного произведения численно
равен площади параллелограмма,
построенного на перемножаемых векторах
как на двух смежных сторонах. Обычно
векторы приводят к общему началу.
Половина модуля векторного произведения
численно равна площади треугольника,
построенного на перемножаемых векторах
как на двух смежных сторонах этого
треугольника. Обычно векторы приводят к
общему началу.
8
Алгоритм решения задачи 6
• Поскольку вектор x
• коллинеарен вектору a , то их
координаты пропорциональны.
• Поэтому для нахождения
коэффициента пропорциональности
надо использовать второе условие
задачи: данное скалярное
произведение ( a, b) .
• Косинус острого угла положительный,
• а тупого – отрицательный.

9
Алгоритм решения задачи 7
• По определению вектор векторного
произведения перпендикулярен
перемножаемым векторам.
• Следовательно, координаты искомого
вектора пропорциональны векторному
произведению двух данных векторов.
• А то, что искомый вектор единичной
длины, позволяет найти коэффициент
пропорциональности.
10
Алгоритм решения задачи 8
• Модуль смешанного произведения трех
векторов равен объему параллелепипеда,
построенного на этих векторах как на ребрах.
• Объём пирамиды, построенной на этих
векторах, равен одной шестой объёма
параллелепипеда, построенного на этих же
векторах как на ребрах.
• Высоту пирамиды (параллелепипеда) можно
найти, разделив объём параллелепипеда на
площадь основания параллелепипеда
(модуль векторного произведения векторов,
образующих основание).
11
Алгоритм решения задачи 9
• Векторы, образующие базис в трёхмерном
пространстве, не могут быть компланарными.
Следовательно, смешанное произведение
этих векторов должно быть отлично от нуля.
• Составив систему уравнений из координатстолбцов
x  a  b   c
• и решив её, найдём координаты
• вектора x  ( ,  ,  )
• в базисе векторов a , b, c.
12