ск. пр. Угол между прямыми.

Угол между векторами. Скалярное
произведение векторов.
Повторяем теорию:
• Что называется скалярным произведением векторов?
a  b  a  b  cos   xa xb  ya yb  za zb
• Чему равно скалярное произведение
перпендикулярных векторов?
• Чему равен скалярный квадрат вектора?
2
a
 a
2
 xa2  ya2  za2
• Свойства скалярного произведения?
а 0
2
ab  ba
0
a  b c  ac  bc
k  ab   k a   b
Косинус угла между векторами
cos  
a b
ab

xa xb  ya yb  za zb
x y z  x y z
2
a
2
a
2
a
2
b
2
b
2
b
Задача №453
а
Направляющий
вектор прямой.
В
А
 Ненулевой вектор называется
направляющим вектором прямой, если
он лежит на самой прямой, либо на
прямой, параллельной ей.
№1. Найти угол между двумя прямыми
(пересекающимися или скрещивающимися), если
известны координаты направляющих векторов этих
прямых.
qx ; y ; z 
p x ; y ;z

а)
р
1
1
1

б)
2
2
2
р


q
р
р
θ
q
q
q
θ
φ=θ
φ = 1800 - θ
Ответ:
cos  
/ x1 x2  y1 y2  z1 z 2 /
x y z  x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
№ 464 (а)
С 6;3;2 D7;3;1
Найти: угол между прямыми АВ и CD.
Дано:
А3;2;4 В4;1;2
Ваши предложения…
1. Найдем координаты векторов
АВ 1;1;2 и CD 1;0;1
2. Воспользуемся формулой:
cos 
x1 x2  y1 y 2  z1 z 2
x y z  x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
φ = 300
2
2
2
2
Дано: куб АВСDA1B1C1D1
точка М принадлежит АА1
АМ : МА1 = 3 : 1; N – середина ВС
№ 466 (а)
Вычислить косинус угла между прям. MN и DD1
z
1. Введем систему координат.
D1
2. Рассмотрим DD1 и МN.
A1
3. Пусть АА1= 4, тогда
М 0;4;3
N 4;2;0
4. Найдем координаты
векторов DD1 и MN.
5. По формуле найдем cosφ.
3
Ответ: 29
C1
B1
М
D
A
у
C
B
N
х
Вычисление углов между прямыми и
плоскостями
 Углом между прямой и плоскостью,
пересекающей эту прямую и не
перпендикулярную к ней, называют
угол между прямой и её проекцией
на
a
плоскость.
a1 A
)


1. Если a, то проекцией a на  является т. А
A=a
(a,)=90
a
A

2. Если a||, a1 - проекция a на , то a||a1, a1.
a
(a,)=0
a1

№2. Найти угол между прямой и плоскостью, если
известны координаты направляющего вектора
прямой и координаты ненулевого вектора,
перпендикулярного к плоскости..
px1; y1; z1
а)
б)
пx2 ; y2 ; z2 
п
θ
п
а
θ
р
α
φ
φ
р
φ
а
α
sin 𝜑 = | cos 𝜃|
Самостоятельная работа:
1 вариант
2 вариант
№ 464в)
№ 464г)
№ 509а)
№ 509б)
П. 48,
№454
№467 (а)