4х²+х-5=0 (х-5)(2х+4)=0 Выполнил: Сизиков Станислав

4х²+х-5=0
(х-5)(2х+4)=0
Выполнил:
Сизиков Станислав
Учитель:
Курилова М.Д.
Введение
Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится
величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят
широкое применение при решении тригонометрических,
показательных, логарифмических, иррациональных уравнений.
Мы все умеем решать квадратные уравнения, начиная с 8 класса.
А как же зарождалась и развивалась история решения
квадратных уравнений.
История квадратных уравнений
1.
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.
2.
Квадратные уравнения у Диафанта.
3.
Квадратные уравнения в Индии.
4.
Квадратные уравнения у Ал-Хорезми.
5.
Квадратные уравнения в Европе XII-XVII вв.
Немного о квадратных уравнениях
Квадратным уравнением называется уравнение
вида
ax² + bx + c =0, где х-переменная, a,b и c – некоторые
числа, причем а0.
В школьном курсе математики изучаются формулы
корней квадратных уравнений, с помощью
которых можно решать любые квадратные
уравнения. Однако имеются и другие способы
решения квадратных уравнений, которые
позволяют очень быстро и рационально решать
многие уравнения. Имеется десять способов
решения квадратных уравнений.
Десять способов решения
квадратных уравнений
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Разложение левой части на множители.
Метод выделения полного квадрата.
Решение квадратных уравнений по формуле.
Решение с помощью Теоремы Виета.
Решение способом «переброски».
Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Графическое решение.
Решение с помощью циркуля и линейки.
Решение с помощью номограммы.
Геометрический способ решения.
Разложение на
множители
1.Решим уравнение х² + 10х – 24=0.
Разложим левую часть на множители:
х² + 10х – 24=х² +12х – 24 –2х = х(х+12) – 2(х+12)=
=(х+12)(х-2). Следовательно, уравнение можно переписать
так: (х+12)(х-2)=0.
Так как уравнение равно нулю, то - по крайней мере один
из его множителей равен нулю.Поэтому х=2, а также
х=-12. Эти числа и являются корнями уравнения
х²+10х-24=0.
Метод выделения
полного квадрата
Поясним этот метод на примере:
Решим уравнение х²+6х-7=0.
х²+6х-7=0.
(х²+2х*3+9)-9-7=0,
(х+3)² – 16=0,
(х+3)= ± 4,
х+3=4 или х+3=-4,
х=4-3 х=-4-3,
х=1. х=-7.
Метод выделения полного квадрата позволяет вывести
формулу корней квадратного уравнения
ax²+bx+c=0, а>о или а<0.
Решение по формуле
Умножим последовательно обе части уравнения
ах²+bx+c=0 на 4а и имеем:
4a²x²+4abx+4ac=0,
((2ax)²+2axb+b²)-b²-4ac,
(2ax+b)²= b²-4ac,
2ax  b   b 2  4ac ,
x1, 2 
b
b 2  4ac
2a
Решение уравнений с
помощью теоремы
Виета
Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
x²+px+q=0.
(1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а=1 имеет
вид
 x1  x2  q,

 x1  x2   p.
Решение способом
«переброски»
Рассмотрим квадратное уравнение
ax²+bx+c=0,где а>0 или а<0.
Умножая обе части уравнения на а, получаем
уравнение
a²x²+abx+ac=0.
Пусть ax=y, откуда x=y/a; тогда приходим к уравнению
y²+by+ac=0, равносильному данному. Его корни
найдем с помощью теоремы Виета.
Окончательно получаем х1=y1/a, x2=y2/a.
Свойства
коэффициентов
Пусть дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0, где а0
1. Если a+b+c=0, (т. е. сумма коэффициентов равна нулю), то,
x1  1
x2 
2. Если а-b+c=0, или b=a+c, то,
x1  1, x2  
c
.
a
c
a
Графическое решение
квадратных уравнений
Если в уравнении x²+px+q=0 перенести второй и
третий члены в правую часть, то получим x²=-px-q.
Построим графики зависимости y=x² и y=-px-q. График
первой зависимости-парабола, проходящая через начало
координат. График второй зависимости-прямая.
Возможны следующие случаи
– прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,
абсциссы точек пересечения являются корнями
квадратного уравнения;
-прямая и парабола могут касаться (только одна общая
точка),т.е.уравнение имеет одно решение;
-прямая и парабола не имеют общих точек, т.е.
квадратное уравнение не имеет корней.
y  x2
y
y   px  q
1
х1
01
х2
х
Решение квадратных
уравнений с помощью
циркуля и линейки
Графический способ решения квадратных уравнений
с помощью параболы неудобен. Предлагаем
следующий способ c помощью линейки и циркуля.
Вх;0
y
 c
C  0; 
 a
 b ac
S  ;

 2a 2a 
А0;1
Вх;0
Dx2 ;0
х
Решение с помощью
номограммы
Это старый и незаслуженно забытый способ решения
квадратных уравнений. Номограмма позволяет, не
решая, определить корни уравнения.
q
p
O
F
B
H
А
С
E
D
Геометрический способ
решения
В древности когда геометрия была более развита, чем
алгебра, квадратные уравнения решали
геометрически.
C
D
6,25
2,5х
6,25
A
2,5х
х²
2,5х
6,25
2,5х
6,25
B
Заключение
Может быть математика где-то там в иных
измерениях записана вся и мы лишь достаем все
новые факты из дыры с мирами?... Кто его знает; но
выходит, что если физикам, химикам, экономистам
или археологам понадобится новая модель устройства
мира, эту модель всегда можно взять с полки, куда её
триста лет назад положили математики, либо собрать
из деталей, лежащих на той же полке…