Алгоритм Эдмондса Лекция 11

Алгоритм Эдмондса
Лекция 11
Идея алгоритма Эдмондса
• Пусть есть некоторое паросочетание M,
построим M-чередующийся лес F. Начинаем
с множества S вершин не покрытых M и с
пустого множества ребер.
• На каждом шаге алгоритм рассматривает
вершину y соседнюю с внешней вершиной x.
Пусть P(x) обозначает путь в F от x к корню.
Возможны три случая и, соответственно, три
операции (“прирост”, “увеличение”, и
“стягивание”).
Прирост
•
•
y  V(F)
Тогда лес может быть наращен
добавлением ребра {x, y} и ребра
из M покрывающего y.
Увеличение
y ― внешняя вершина в другой
связной компоненте F.
• Тогда увеличим M вдоль
P(x)U{x, y}UP(y).
•
Стягивание
• y ― внешняя вершина в той же связной
компоненте F (с корнем q).
• Пусть r будет первой вершиной в P(x) (считая от
x), которая принадлежит и P(y). Если r ― не
корень, то она должна иметь степень не меньше 3.
Следовательно r ― внешняя вершина .
• Тогда C := P(x)[x,r] U{x, y}UP(y)[y,r] ― цветок с не
менее чем тремя вершинами. Стягиваем C.
x3
Цветок
y3
x2
x1
v
Три случая
Прирост:
x1 , y1 ;
Увеличение: x2, y2;
Стягивание 3: x3, y3.
y2
y1
w
P(vw) ― увеличивающий путь
Максимальное паросочетание
• Если ни один из трех случаев не возник, то
все соседи внешних вершин внутренние.
Докажем, что тогда M ― максимально.
Доказательство
Пусть X ― множество внутренних вершин, s:=|X|,
и пусть t ― число внешних вершин. G – X имеет
t нечетных компонент (каждая внешняя вершина
изолирована в G – X ), то есть qG(X) – |X|= t – s.
Из формулы Бержа-Татта получаем, что любое
паросочетание оставляет по крайней мере t – s
вершин непокрытыми. С другой стороны, число
непокрытых вершин в M равно числу корней F и
равно t – s по Утверждению 10.9.
Следовательно, M ― максимально.
Замечание
• Важный вопрос как процедуру стягивания
производить эффективно, так чтобы можно
было впоследствии восстановить исходный
граф. Заметим, что какие-то вершины могут
участвовать в нескольких процедурах
стягивания.
• Вместе применения процедур стягивания,
будем рассматривать лес с цветками.
Цветочный лес
Определение 11.1
Дан граф G и паросочетание M в G.
Подграф F из G называется цветочным лесом
(относительно M), если существует разбиение
V(F) = V1 UV2 U...UVk множества вершин, такое
что Fi := F[Vi] является максимальным факторкритическим подграфом F с
|M∩E(Fi)| = (|Vi| – 1)/2 (i = 1,...,k) и после
стягивания каждого из V1,...,Vk получается
чередующийся лес F'.
Цветки
Определение 11.1 (продолжение)
Fi называется внешним цветком (внутренним
цветком) если Vi внешняя (внутренняя) вершина
в F'. Все вершины внутреннего (внешнего) цветка
называются внутренними (внешними).
Цветочный лес в котором каждый внутренний
цветок является простой вершиной называется
специальным цветочным лесом . Все вершины
G, не принадлежащие специальному цветочному
лесу называются вне-лесными.
Специальный цветочный лес
Паросочетание,
внутренние вершины
Нетривиальные
внешние цветки
Замечание
• В дальнейшем, мы будем рассматривать только
специальный цветочный лес.
• Лемма о стягивании цветков (Лемма 10.7)
применима только к внешним цветкам.
Лемма 10.7
Пусть G ― граф и M ― паросочетание в G, и C ― цветок в G
(относительно M). Предположим, что существует M-чередующийся vr-путь Q четной длины из вершины v, непокрытой M, в базу r цветка
C, и E(Q)∩ E(C) = .
Пусть G′ и M′ получаются из G и M стягиванием V(C) к одной
вершине. Тогда M максимально в G тогда и только тогда, когда M′
является максимальным паросочетанием в G′.
Структура хранения специального
цветочного леса
M
 x для x непокрытых
 x   
 y для x, y M
 x для x  V F  или x ― база цветка в F
y
 для x, y E F  \ M и x― внутренняя вершина
 x   
 y для x, y E F  \ M в соответствии с M -чередующейся
 декомпозицией цветка содержащего x, если x ― внешняя вершина
 x если x не является внешней вершиной

 x    y если x является внешней вершиной и y ― база
 внешнего цветка в F , содержащего x

(1)
(2)
(3)
Специальный цветочный лес
u → v ((u) = v )
Паросочетание,
внутренние вершины
Нетривиальные
внешние цветки
Максимальный путь
Для каждой внешней вершины v определим P(v) как максимальный
путь, заданный подпоследовательностью v, (v), ((v)), (((v))),
((((v)))),...
Утверждение 11.2
Пусть F ― специальный цветочный лес относительно M, и пусть
, : V(G) → V(G) удовлетворяют (1) и (2). Тогда:
a)
Для каждой внешней вершины v, P(v) ― чередующийся v-q-путь,
где q ― корень дерева F, содержащего v.
b)
Вершина x является
•
внешней тогда и только тогда, когда либо (x) = x или ((x)) ≠ (x)
•
внутренней тогда и только тогда, когда ((x)) = (x) и (x) ≠ x
•
вне-лесной тогда и только тогда, когда (x) ≠ x и (x) = x и
((x))
= (x) .
Доказательство a)
• Из определения  и леммы 10.5 начало
последовательности v, (v), ((v)), (((v))),
((((v)))),... это M-чередующийся x-r-путь
четной длины к базе цветка r.
• Если r не корень, то он покрыт M.
•  последовательность продолжится ребрами
{r, (r)} и {(r), ((r))} ((r)-внутренняя)
•  ((r)) внешняя вершина (можно применить
индукцию).
Алгоритм Эдмондса
Input: Граф G.
Output: Максимальное паросочетание в G, заданное ребрами {x, (x)}.
1. Set μ(v):=v, φ(v):=v, ρ(v):=v и scanned(v):= false для всех v  V(G).
2. If все внешние вершины просмотрены
then stop,
else пусть x ― внешняя вершина с scanned(x) = false .
3.
Пусть y ― сосед x, такой что ( y ― вне-лесная ) или
( y ― внешняя и ρ(y) ≠ ρ(x)).
If таких вершин нет then set scanned(x):= true и go to 2.
“Прирост”
4. If y ― вне-лесная, then set φ(y):=x и go to 3.
x
y
“Увеличение”
5. If P(x) и P(y) не имеют общих вершин then
μ(φ(v)):=v, μ(v):=φ(v), для всех
vP(x) с нечетным расстоянием от x
и всех vP(y) с нечетным расстоянием от y;
μ(x):=y; μ(y):=x;
φ(v):=v, ρ(v):=v, scanned(v):= false
для всех vV(G)
Go to 2.
“Увеличение”
y
x
v
w
P(vw) ― увеличивающий путь
“Стягивание”
6. Пусть r ― первая вершина из P(x)∩P(y),
для которой ρ(r) = r.


For v  Px x ,r   P y  y ,r  c нечетным расстоянием
от x (resp. y ) на Px x ,r  (resp. P y  y ,r  ) и   v   r do :
Set   v  : v.
If  x   r then set  x  : y.
If   y   r then set   y  : x.
For всех v V G  с  v   Px x ,r   P y  y ,r  do set  v  : r
Go to 3.
“Стягивание”
Нетривиальные
внешние цветки
y
x
q
w
(w)
(w) == wq
(u, v) | (u) = v
Паросочетание,
внутренние вершины
r
(q)
(q) == wr
Алгоритм Эдмондса
Лемма 11.3
a)
b)
c)
Следующие утверждения выполняются на любом
шаге Алгоритма Эдмондса :
Ребра {x, (x)} принадлежат M;
Ребра {x, (x)} и {x, (x)} образует специальный
цветочный лес F относительно M (+ некоторые
изолированные ребра паросочетания);
Свойства (1), (2) и (3) выполнены относительно F.
Структура хранения специального цветочного леса
не нарушена.
b) Ребра {x, (x)} и {x, (x)} образует специальный
цветочный лес F относительно M (+ некоторые
изолированные ребра паросочетания);
• На шаге 1 и после шага 5 («увеличение») получаем специальный
цветочный лес без ребер.
• Шаг 4 («прирост») корректно увеличивает специальный цветочный
лес на два ребра.
• На шаге 6 r либо корень, либо имеет степень по крайней мере 3
 r внешняя.
• Пусть B:= V(P(x)[x,r]) U V(P(y)[y,r]).
• Рассмотрим ребро {u,v}, u  B и v  B.
• Так как F(B) содержит почти совершенное паросочетание, то
{u,v}  M тогда и только тогда {u,v} = {r, (r)}.
• Более того u была внешней до выполнения шага 6 
v внутренняя до выполнения шага 6 .
•  F остается специальным цветочным лесом после шага 6.
с) Структура хранения специального
цветочного леса
• Покажем, что после шага 6  и  соответствуют M-чередующейся
декомпозиции нового цветка.
• Пусть x и у две внешние вершины некоторой связной компоненты
специального цветочного леса и r ― первая вершина из P(x)∩P(y),
для которой ρ(r) = r.
• Новый цветок B:= {v  V(G): ρ(v)  P(x)[x,r] U P(y)[y,r]}
• (v) не изменяется для v  B с ρ(v) = r.
• Пусть Bold := {v  V(G): ρ(v) = r}, (v) задает декомпозицию Bold .
• Следующее ушко будет P(x)[x,x’] U {x,y} U P(y)[y,y’], где x’ и y’ первые
вершины на P(x) и P(y) в Bold .
• Каждое ушко Q старого внешнего цветка B'B, Q \ (P(x) U P(y))
является ушком в новой M-чередующейся декомпозиции.
Алгоритм Эдмондса
Теорема 11.4 (Edmonds [1965])
Алгоритм Эдмондса находит максимальное
паросочетание за время O(n3), где n = |V(G)|.
Доказательство корректности
• Лемма 11.3 и Утверждение 11.2  на каждом шаге мы
корректно определяем функции ,   корректно
определяем паросочетание M.
• Пусть M и F паросочетание и специальный цветочный лес,
полученные в момент остановки алгоритма.
• Пусть X множество внутренних вершин и B множество баз
внешних цветков в F.
• |V(G)| – |2M| = |B| – |X|
Доказательство корректности
• Шаг 3  любая вершина y соседняя с произвольной
внешней вершиной x, либо внутренняя либо принадлежит
тому же цветку что и x.
•  внешний цветок в F является нечетной компонентой в
G – X.
•  любое паросочетание должно оставить |B| – |X| вершин
непокрытыми.
•  M ― максимальное паросочетание.
Время работы
• Утверждение 11.2  статус каждой вершины можно
проверить за константное время.
• Шаг 4 выполняется за одну элементарную операцию и
шаги 5 и 6 требуют O(n) элементарных операций.
• Между двумя увеличениями шаги 4 и 6 выполняются не
более n раз каждый.
• Между двумя увеличениями каждая вершина
просматривается только один раз и шаг 3 для каждой
вершины требует O(n) элементарных операций.
• Общее время работы между двумя увеличениями не
превосходит O(n2) элементарных операций.
• Общее время работы алгоритма ≤ O(n3) элементарных
операций.
Упражнение 11.1
• Доказать, что k-регулярный двудольный
граф имеет k непересекающихся
совершенных паросочетаний.
Упражнение 11.2
• Показать, что любой граф на n вершинах,
у которого степень каждой вершины не
меньше k, имеет паросочетание мощности
min{k, n/2}.
Упражнение 11.3
• Пусть G ― двудольный граф с биразбиением V(G)
= A U B. Предположим, что S  A, T  B и
существует паросочетание, покрывающее S, и
паросочетание, покрывающее T. Доказать, что
существует паросочетание, покрывающее SUT.
Упражнение 11.4
• Доказать, что любой связный 3-регулярный
граф с не более чем двумя мостами имеет
совершенное паросочетание.
• Привести пример связного 3-регулярного
графа, который не имеет совершенного
паросочетания.
Упражнение 11.5
• Можно ли найти в произвольном графе
реберное покрытие минимальной
мощности в полиномиальное время.