Фактор-критические графы Лекция 9

Фактор-критические графы
Лекция 9
Необходимость
• Необходимое условие для графа иметь
совершенное паросочетание – это четное число
вершин в каждой компоненте связности.
• Однако это условие не является достаточным.
Нечетные связные компоненты
# нечетных связных компонент
Пусть X  V(G),
и qG(X) ― число нечетных связных
компонент в G – X.
Если qG(X) > |X| для некоторого X  V(G),
то G не имеет совершенного
паросочетания.
Условие Татта
Определение 9.1
• Граф G удовлетворяет условию Татта,
если qG(X) ≤ | X | для всех X  V(G).
• Непустое множество вершин X  V(G)
называется барьером, если qG(X) = | X |.
Фактор-критический граф
Утверждение 9.2
Для любого графа G и любого X  V(G) имеем
qG(X) – | X | ≡ |V(G)| (mod 2).
Определение 9.3
• Граф G называется фактор-критическим, если
G – v имеет совершенное паросочетание для
каждого v  V(G).
• Паросочетание называется почти совершенным,
если оно покрывает все вершины кроме одной.
Упражнение 9.1
• Доказать, что фактор-критический граф
всегда является связным.
Теорема Татта
Теорема 9.4 (Tutte [1947] )
Граф G имеет совершенное паросочетание
тогда и только тогда, когда он удовлетворяет
условию Татта:
qG(X) ≤ | X | для всех X  V(G).
qG(X) ≤ | X | для всех X  V(G)
•
•
•
•
•
•
Докажем достаточность индукцией по |V(G)|.
Утверждение очевидно для |V(G)| ≤ 2.
Пусть G удовлетворяет условию Татта.
 в нем четное число вершин (иначе qG() ≥ 1).
Утверждение 9.2  |X| – qG(X) четно для всех X  V(G).
Четность и условие Татта  одновершинное множество
является барьером.
• Выберем максимальный по мощности барьер X.
qG(X) ≤ | X | для всех X  V(G)
• Выберем максимальный по мощности барьер X.
– G – X имеет |X| нечетных связных компонент.
– В G – X нет четных связных компонент.
• Докажем, что каждая нечетная связная
компонента в G – X является фактор-критической
(для любой v ∈ G – X, G – X – v имеет
совершенное паросочетание).
qG(X) ≤ | X | для всех X  V(G)
• Пусть C нечетная связная компонента G – X и v ∈ V(C),
такие что в C – v нет совершенного паросочетания.
• По индукции  Y V(C)\{v} такой что qC–v(Y) > |Y |.
• Утверждение 9.2  qC–v(Y) – |Y | четно  qC–v(Y) ≥ |Y |+2.
• Так как X, Y, {v} попарно не пересекаются, то
qG(X UY U{v}) = qG(X) – 1 + qC(Y U{v}) =
= |X | – 1 + qC–v(Y) ≥
≥ |X | – 1 + |Y | + 2 =
= |X UY U{v}|.
• X UY U{v} – барьер, что противоречит максимальности X.
Доказательство
• Осталось найти паросочетание между вершинами X и
представителями связных нечетных компонент.
• Двудольный граф G' : V (G' ) = XUZ, где Z множество
вершин, соответствующих связным нечетным
компонентам Cz в G – X.
• Вершины x  X и z  Z связаны ребром {x,z}  E(G' ),
если  ребро из x в одну из вершин Cz .
• Если в G' нет совершенного паросочетания, то Теорема
Фробениуса   A  Z такое, что |G' (A)| < |A|.
•  qG(G' (A)) ≥ |A| > |G' (A)|  противоречие.
Теорема Татта
Теорема 9.4 (Tutte [1947] )
Граф G имеет совершенное паросочетание
тогда и только тогда, когда он удовлетворяет
условию Татта:
qG(X) ≤ | X | для всех X  V(G).
Формула Бержа-Татта
Теорема 9.5 (Berge [1948] )
2 G   max qG  X   X   V G .
X V G 
Доказательство ≤
• Для любого X  V(G), любое паросочетание
должно оставлять по крайней мере
qG(X) – | X | вершин не покрытыми.
•  2ν(G) + qG(X) – | X | ≤ | V(G) |.
Доказательство ≥
k :
max
q G X   X .
X V G 
H
k
G
Если в H есть совершенное паросочетание, то
2ν(G) + k ≥ 2ν(H) – k = |V(H)| – k = |V(G)|.
k :
max
q G X   X 
X V G 
• Пусть в H нет совершенного паросочетания.
• Теорема Татта   Y  V(H), такое что q(Y) > |Y|.
• Утверждение 9.2  k имеет ту же четность как
и V(G)  V(H) – четно.
•  Y ≠  и qH(Y) > 1.
•  Y содержит все новые вершины.
• qG(Y∩V(G)) = qH(Y) > |Y| = |Y∩V(G)| + k.
• Противоречие с определением k.
Формула Бержа-Татта
Теорема 9.5 (Berge [1948] )
2 G   max qG  X   X   V G .
X V G 
Ушки
Определение 9.6
• Декомпозицией графа G на множество ушек
называется последовательность r, P1,...,Pk с
G=({r},) + P1 + ... + Pk, такая что каждый Pi
есть либо путь с граничными точками из
{r}UV(P1) U... UV(Pi–1), либо цикл, в котором
ровно одна из его вершин принадлежит
{r}UV(P1)U...UV(Pi–1) (i{1,...,k}).
• P1,...,Pk называются ушками. Если k ≥ 1,
P1 ― цикл длины не меньше 3, и P2,...,Pk ― пути,
то декомпозиция называется совершенной.
Декомпозиция
P2
P3
P5
P4
P1
Нечетная декомпозиция
Определение 9.7
• Декомпозиция называется нечетной, если
каждое ушко имеет нечетную длину.
Теорема 9.8 (Lovász [1972] )
Граф является фактор-критическим тогда и
только тогда, когда он имеет нечетную
декомпозицию. Более того, начальная
вершина в декомпозиции может быть
выбрана произвольна.
Доказательство
• Пусть G граф с фиксированной нечетной
декомпозицией.
• Докажем что G фактор критический
индукцией на число ушек.
• Пусть P последнее ушко в нечетной
декомпозиции.
Индукция
G
P
G
P
Доказательство
• Выберем произвольную вершину z, как
начальную вершину декомпозиции.
• Пусть M почти совершенное паросочетание в G
покрывающее V(G)/{z}.
• Предположим, что мы построили нечетную
декомпозицию для Ĝ  G такую, что z V(Ĝ),
и M ∩ E(Ĝ) является почти совершенным
паросочетанием в Ĝ.
Доказательство
•
•
•
•
Пусть G ≠ Ĝ.
G – связный, то {x,y} E(G) \ E(Ĝ), и xV(Ĝ).
Если yV(Ĝ) ,то {x,y} следующее ушко.
Иначе, пусть N почти совершенное паросочетание
в G покрывающее V(G)/{y}.
• Тогда M∆N содержит путь P из y в z.
• Пусть w будет ближайшая к y вершина в P ,
которая принадлежит Ĝ.
M∆N и P[y,w]
G
M
N
P
y
w
z
x
Ĝ