2_01

2.1. Обычный эффект Холла
Обычный эффект Холла. Применение.
Случай сильного и слабого поля. Понятие
магнитной длины. Двумерный
электронный газ
Эксперимент Холла
.
 Через
плоскую
прямоугольную
пластину
пропускается
транспортный ток с объемной плотностью J в присутствии
поперечного магнитного поля напряженности H. Электроны
проводимости с массой m, согласно простейшей модели Друде,
разгоняются приложенным электрическим полем E, отклоняются
силой Лоренца во внешнем магнитном поле, и рассеиваются
(например, на примесях) с характерным временем между
столкновениями τ
H
EY
JX
EX
2
Эксперимент Холла
.
 Изменение импульса электрона в единицу времени подчиняется
следующему соотношению:



dP
P
e 
 eE  
PH
dt
 cm
 
 Тензор магнетосопротивления в плоскости xy:
E     J ,
,   x , y ;
 c   0   0  R HH 
 1 0
  
 .

ˆ  
1  0   R HH
0 
 c   0
 На эксперименте измеряют две физические величины:
 1) магнетосопротивление  сопротивление в направлении
протекания тока в отсутствие поперечного тока;
 2) Коэффициент Холла  отношение поперечной электродвижущей
силы (Э.Д.С. Холла) к x-компоненте тока и магнитному полю
3
Коэффициент Холла
.
 В реальном твердом теле электрон проводимости не является
свободной частицей, и его масса в общем случае отлична от массы
свободного электрона
 Пусть имеется двухзонная система, т.е. электроны в каждой
системе характеризуются своим тензором магнитосопротивления:
 R iH 
 

i   i
ˆ
R
H

 i

i
 Суммарный ток:
1
j   [1   2 ]E  , ,   x , y; 
ˆi
ˆi  
4
Коэффициент Холла
.
 Итоговая матрица магнетосопротивления:
 R HH 
 
1





;





;


ˆ ˆ ˆ1 ˆ 2 ˆ 
ˆ
 
 R HH
  [1 2 (1   2 )  (1R 22   2R 12 )H2 ] / A
R H  [R 1 22  R 2 12  R 1R 2 (R 1  R 2 )H2 ] / A
A  (1   2 ) 2  (R 1  R 2 ) 2 H2
5
Коэффициент Холла
.
 В пределе сильного и слабого поля:
H  0 (c   1) :
  1 2 /(1   2 );
R H  (R 1 22  R 2 12 ) /(1   2 ) 2
H
( c   1) :
  (1R 22   2R 12 ) /(R 1  R 2 );
R H  R 1R 2 /(R 1  R 2 )
 В сильных полях можно преобразовать постоянную Холла:
R H  R1R 2 /(R1  R 2 )  1 /(1 / R1  1 / R 2 )  1 /(n1e1c  n2e2c)
 Таким образом, в достаточно сильных полях, когда зоны дают
аддитивный вклад в проводимость, можно измерять суммарную
концентрацию носителей заряда, несмотря на сложную
энергетическую структуру
6
Магнитная длина
.
 Поперечный




размер образца, в котором наблюдается эта
холловская ЭДС, не критичен для эффекта
При поле H ~ 1-10Тл имеем rH =VF/ωc ~ 10-3 - 10-4 см
При более сильных полях такая полуклассическая оценка
становится неправильной
Более строгое квантовомеханическое описание дает другой
параметр для области локализации электрона в магнитном поле 
lH (называемого магнитной длиной)
Волновая функция электрона в поперечном магнитному полю
направлении убывает как
exp(r 2 / 2lH2 )
 Магнитная длина
lH  c eH
7
Магнитная длина
.
 Для поля H ~ 5–10 Тл lH ~ 100 ангстрем
 Структуры
с
поперечным
профилем
такого
масштаба
(наноструктуры) удается сделать на базе гетероструктур
GaAs – Al1-xGaxAs, представляющих собой систему плоских
квантовых ям
 Такие структуры изготовляют послойным напылением на подложку
полупроводника GaAs, чередуя его со слоями того же
полупроводника, допированного алюминием
 Трехвалентный Al, замещающий трехвалентный Ga, не меняет
концентрацию электронов, участвующих в проводимости, однако
имеет несколько иной ионный радиус и силу связи с As, и приводит
к другому химическому потенциалу и дну зоны проводимости для
электронов
8
Магнитная длина
.
 Допированные алюминием области становятся энергетическими




9
барьерами для электронного газа, и он располагается между ними
в плоских областях чистого GaAs с поперечным размером порядка
сотни ангстрем
Таким образом реализуется двумерный электронный газ
Для того, чтобы у электронного газа отсутствовала поперечная
составляющая импульса pz, и электроны были двумерны в
физическом смысле, необходимо сильное магнитное поле
Магнитная длина есть характерный масштаб в продольном полю
направлении
В поперечном магнитном поле движение электрона проводимости
финитно. Это приводит к дополнительному квантованию его
энергии по уровням Ландау
Магнитная длина
.
 Энергия электрона как функция продольного импульса и номера
уровня Ландау:
E j (k Z )   2 k 2Z / 2m  ( j  1 / 2)c
 В геометрии периодического трехмерного “ящика” продольный
импульс также квантуется: kZ = [2π/d]n, n = 0,1,2.. Если поперечный
размер структуры d мал, то расстояние между уровнями энергии с
различным импульсом kZ (так называемыми уровнями размерного
квантования) велико. Для истинного двумерного состояния
системы необходимо, чтобы все другие характерные энергии были
много меньше, чем расстояние между уровнями размерного
квантования, тогда фактически всегда будет реализован нулевой
поперечный импульс:
 2k 2Z / 2m  c
10