Определенный интеграл продолжение План лекции: Замена переменной в определенном интеграле. II. Приложения определенного интеграла. III. Функции нескольких переменных I. (частные производные, дифференцирование сложных функций, экстремумы функций нескольких переменных) I. Замена переменной в определенном интеграле При вычислении определенного b интеграла f ( x)dx методом замены a переменной данный интеграл с помощью замены ψ(х) = t преобразуется в другой определенный интеграл с новой переменной интегрирования t, причем старые пределы интегрирования х1 = a и х2 = b заменяются новыми пределами t1 = ψ(a) и t2 = ψ(b) согласно уравнению (b ) замены: b f ( x)dx g (t )dt a (a) 5 Пример. Вычислить 3 5 x 2dx 2 Сделаем замену: 5 x 2 t 5 x 2 t 3 d (5 x 2) d (t 3 ) 3 2 3 2 (5 x 2)dx (t )dt 5dx 3t dt dx t dt 5 3 Вычислим новые пределы интегрирования: при x1 2 t1 3 5 (2) 2 2, при x2 5 t2 5 5 2 3. 3 5 Теперь 2 4 3 3 t 5 4 2 3 3 3 3 2 3 3 5 x 2dx t t dt t dt 5 5 2 2 3 43 3 4 39 4 t (3 (2) ) . 20 2 20 4 II. Приложения определенного интеграла. 1. Площадь плоской фигуры: а) площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и двумя непрерывными кривыми y = f1(x) и y = f2(x), где разность функций имеет постоянный знак, находится по b формуле S ( f 2 ( x) f1 ( x)) dx . a Если знаки разности функций известны, то знаки модуля можно опустить согласно определению модуля б) В случае, если фигура ограничена по бокам точками пересечения кривых f1(x) и f2(x), то площадь вычисляется по такой же формуле, но пределы интегрирования находятся как абсциссы этих точек пересечения. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 + 4x и прямой y = x + 4. Сделаем чертеж: Предел a = -4 находится по построению. Найдем оба предела интегрирования как абсциссы точек пересечения линий. Так как в точках пересечения значения обеих функций y1 и y2 равны, то x 4 a 2 2 x 4 x x 4 x 3x 4 0 x 1 b b 1 Тогда S ( y2 y1 )dx ( x 4 x 2 4 x)dx a 0 4 3 2 x 3x 3 ( x 3x 4)dx 4 x 2 3 4 1 2 64 125 4 24 16 кв. ед. 3 3 3 6 1 1 4 2. Решение физических задач a) Если точка движется по некоторой кривой со скоростью v(t) ≥ 0, то путь, пройденный точкой за время [t1; t2], равен S t2 v(t )dt t1 Расслабляйся!