Даны середины сторон n-угольника. Требуется восстановить nугольник по этим точкам. E ДАНО: А, В, С- середины сторон треугольника EDF. Построить треугольник EDF. В А ПОСТРОЕНИЕ: Соединим точки А,В,С отрезками. Через эти точки строим прямые параллельные сторонам треугольника АВС. D С F ДОК- ВО: AD || BC, AB || DC => ABCD- параллелограмм => AD=BC; AE || BC, EB || AC => AEBC- параллелограмм => AE=CB. Значит DA= AE => Aсередина DE. Аналогично доказывается про точки B и C. Сколько таких треугольников можно построить? Пусть треугольник KLM удовлетворяет условию задачи, т.е. А - середина КМ , В- середина KL, а С - середина LM. ВС || КМ (по свойству средней линии треугольника) , ВС || DЕ (по построению). Значит прямая DЕ совпадает с прямой КМ. Аналогично KL совпадает с ЕF , а МL совпадает с DF. Т.к. две прямые пересекаются только в одной точке, треугольники DEF и MKL совпадут. E K B A L D C F M Таким образом, можно построить только один такой треугольник. Построение возможно, если точки А, В, С не лежат на одной прямой. Лемма Четырехугольник , вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника , является параллелограммом. F F C B B C G D E G H E A D H A Дано: А, В, С, D – середины сторон четырёхугольника EFGH. F Построить четырехугольник EFGH. ПОСТРОЕНИЕ: Соединим точки A, B, C и D. Получился параллелограмм. Возьмем точку Е, лежащую вне АВСD. B C E G A D H Проведем отрезок EB. Построим окружность с центром в точке В и радиусом ЕВ. Проведя прямую через Е и В до пересечения с построенной окружностью, мы получаем вторую вершину четырехугольника F. С центром в точке А проводим окружность радиусом АЕ. Аналогично получаем точку Н. С центром в точке D проводим окружность радиуса НD. Аналогично получаем точкуG. Докажем, что С – середина FG. Пусть С1 – середина FG. Прямые ВС и ВС1 параллельны EG, прямые DC и DC1 параллельны HF. Значит С совпадает с С1. F B C G E A D H Таких четырехугольников можно построить бесконечно много, т.к. точку Е выбирали произвольно. В зависимости от выбора точки Е будут получаться выпуклые и невыпуклые четырехугольники. E B А F C H G D Дано: А, В, С, D, Е- середины сторон пятиугольника GPMLN. Построить пятиугольник GPMLN. ПОСТРОЕНИЕ: Предположим, что у нас уже построен пятиугольник. Если провести диагональ PN, то образуются треугольник и четырехугольник. Найдя середину PN (точку F), мы можем восстановить этот треугольник и четырехугольник. Построим параллелограмм по точкам B, C, D. Образовавшаяся точка F будет являться серединой диагонали искомого пятиугольника. G По AFE восстановим треугольник GPN. Далее строим четырехугольник PMLN. Единственность решения очевидна из методов построения. P B M A F C L E D N ДАНО: A, B, C, D, E, F, G- середины сторон семиугольника MNKOLSP. Построить семиугольник MNKOLSP. ПОСТРОЕНИЕ: Для начала рассмотрим вспомогательное утверждение. Предположим, что у нас уже построен семиугольник. Если провести диагонали KP и OP, то образуются 2 четырехугольника MNKP и POLS и треугольник PKO. Найдя середину KP (точку H) и середину OP (точку R), можем восстановить искомую фигуру. Значит, любой нечётноугольник мы можем построить, разбив его на треугольники и четырёхугольники. Причем, построение единственно. K B N C A M O H D G R L P E F S ДАНО: А, В, С, D, Е, K- середины сторон шестиугольника GHPMNL. Построить шестиугольник GHPMNL. ПОСТРОЕНИЕ: Для начала рассмотрим вспомогательное утверждение. Предположим, что у нас уже построен шестиугольник. Если провести диагональ HN, то образуются 2 четырехугольника. Найдя середину HN (точку F), мы можем восстановить эти 2 четырехугольника. Построим параллелограмм по точкам К, А, В. Образовавшаяся точка F будет являться серединой диагонали искомого шестиугольника. Выберем произвольную точку H.Начнем построение четырехугольников вокруг параллелограммов. Вполне очевидно, что вершина N нашего искомого шестиугольника является общей для 2 четырехугольников NLGH и NHPM, т.к. мы выбрали точку H произвольным образом, мы получаем, что мы можем построить бесконечно много шестиугольников по данным серединам их сторон. Таким образом, любой чётноугольник мы можем построить деля его на четырёхугольники. B G H C A F L P D K N E M Задача полностью решена для любых nугольников. Для нечетноугольников возможно единственное решение, а для четноугольников их бесконечное множество. Для выполнения презентации использовала следующие ресурсы: Программа Microsoft PowerPoint Работу выполнила Басова Ксения 8 класс МАОУ ДОД «ЦДОД «Компьютерный центр» Научный руководитель Рысева Л.Н.