5. Задачи на построение. Треугольники и окружности. Решение задачи на построение обычно состоит из четырех стадий: 1. Общий анализ решения (он начинается с того, что задача предполагается решенной). 2. Построение. 3. Доказательство. 4. Исследование решения. Теоретические сведения и задачи:[2], [24], [25]. Задачи взяты из [2], [5], [13], [16], [22]. Можно провести дополнительное занятие, взяв задачи из [13]. Литература Задача 1. На прямой АС найти точку, равноотстоящую от точки А и от данной точки М. М Анализ. Пусть точка Х такая, что АХ=ХМ. Для определения положения точки Х соединим А и М. Искомая точка Х является Е вершиной равнобедренного АХМ. Но вершина равнобедренного треугольника лежит на перпендикуляре, X проведенном через середину основания. Поэтому точка Х А N должна лежать на перпендикуляре ЕN, проведенном в середине отрезка АМ. Построение. 1) Соединить А и М; 2) через середину АМ провести перпендикуляр, который пересечет прямую АС в искомой точке Х. Доказательство. АЕХ=ЕХМ имеют общий катет ЕХ и катет АЕ=ЕМ, так как Е – середина АМ; поэтому АХ = МХ. Исследование. Задача становится невозможной, если точка М расположена так, что МАС – прямой, так как в этом случае прямая ЕN //АС и с ней не пересекается. Задача 2. Через данную точку А провести прямую так, чтобы её отрезок между параллельными МN и PQ был равен данному отрезку а. a A M N S В К D Р Q С Е R Анализ. Пусть АС проведена так, что отрезок ВС= а. Задача приводится к определению направления АС. Поэтому проведем где-нибудь DE // AC; тогда DE = BC = a как отрезки параллельных между параллельными. Точка Е взята произвольно, и так как ЕD = а, то точка D отстоит от Е на расстоянии, равном а, и потому лежит на окружности, описанной из центра Е радиуса а. Построение. Нужно 1) из произвольной точки Е прямой PQ описать радиусом а дугу, которая пересечет МN в точках D и К; 2) соединить D и К с Е и из точки А провести прямую параллельно DE или EK. Получатся две прямые АС и AR. Доказательство. BC = DE и SR =KE, как отрезки параллельных между параллельными; но так как окружность начерчена радиусом а, то DE=EK= a, а потому ВС=SP= a. Исследование. Задача вообще имеет два решения и всегда возможна, за исключением того случая, когда отрезок а меньше расстояния между прямыми МN и PQ. Если перпендикуляр МР= а, то задача имеет только одно решение, и искомая прямая перпендикулярна к MN. Задача 3. Построить треугольник по углу А, стороне с и сумме сторон а и в. Решение. Задача 4. Построить треугольник, середины сторон которого находились бы в данных точках. Решение. Задача 5. Дан треугольник АВС, вершина которого С не помещается на чертеже. Провести медианы из вершин А и В этого треугольника. Решение. Задача 6. Дана окружность, центр которой недоступен (т.е. центр нельзя использовать при построении). Построить прямую, касающуюся этой окружности в данной точке. Решение. Задача 7. Построить треугольник по трем его медианам. Решение. Задача 8. Около треугольника описана окружность. На окружности отмечены середины дуг, определяемых его вершинами. После этого треугольник стерли, а окружность и середины дуг оставлены. Восстановить треугольник. Решение. Содержание