Kriterialniki_Otvety

3. Конус возможных направлений. Конусы внутренней и внешней аппроксимации.
Конус возможных направлений - множество всех возможных направлений в точке х,
принадлежащей конусу, то есть множество таких направлений, что двигаясь вдоль их от
точки x по некоторой ее окрестности мы будем оставаться в множестве, которому
принадлежит x.
Конус внутренней аппроксимации конуса возможных направлений – Множество
ненулевых направлений в точке x таких что для любых активных ограничений в точке x –
скалярное произведение производной (градиента ?) активного ограничения в точке x и
направления из данного множества будет строго меньше нуля.
Конус внешней аппроксимации конуса возможных направлений - … нестрого меньше
нуля.
4. Теорема о замыкании конуса возможных направлений .
Если конус внутренней аппроксимации в точке x не пуст, то замыкание конуса возможных
направлений в точке x совпадает с конусом внешней аппроксимации.
5. Условия регулярности: независимость градиентов активных ограничений; условие
Слейтера; линейность ограничений.
Условия регулярности (общий случай) – условия, при которых конус внутренней
аппроксимации не пуст.
Условие регулярности: Если градиенты активных ограничений линейно независимы ->
Конус внутренней аппроксимации не пуст.
Условие Слейтера - пусть есть задача выпуклого программирования : целевая функция на
минимум, ограничения представляют из себя выпуклые функции, тогда говорят, что для
задачи выполнено условие Слейтера, если существует точка x, принадлежащая множеству
допустимых решений, такая что все ограничения в этой точке принимают отрицательные
значения.
По сути, условия Слейтера говорят о существования внутренней точки множества
допустимых решений.
Линейность ограничений : Пусть ограничения задачи выпуклого программирования
линейны <=0 тогда конус внешней аппроксимации совпадают с конусом возможных
направлений в точке x.
6. Необходимые условия оптимальности в геометрической форме.
Для того, чтобы точка из множества допустимых решений была точкой локального
минимума целевой функции, необходимо, чтобы пересечение конуса направлений
убываний целевой функции с конусом внутренней аппроксимации конуса возможных
направлений в этой точке было пустым множеством.
7. Необходимые условия оптимальности Фритца-Джона.
Пусть точка является локальным экстремумом задачи с целевой функцией и
ограничениями <= 0, причем целевая функция и ограничения непрерывны и непрерывно
дифференцируемы.
Тогда найдутся такие неотрицательные множители Лагранжа, не все равные нулю, что
минус градиент целевой функции в этой точке на соответствующий множитель Лагранжа
будет равен линейной комбинации ограничений в этой точке. Также линейная комбинация
активных ограничений будет равна нулю. (Условие дополняющей нежесткости).
8. Необходимые условия оптимальности Куна-Таккера.
Пусть точка является локальным экстремум задачи с целевой функцией и ограничениями
<= 0, причем целевая функция и ограничения непрерывны и непрерывно
дифференцируемы и градиенты активных ограничений являются линейно независимыми.
Тогда найдутся такие неотрицательные множители Лагранжа, что минус градиент
целевой функции в точке x будет равен линейной комбинации активных ограничений в
точке x.
10. Первая и вторая теоремы двойственности ЛП.
Первая теорема двойственности - Прямая и двойственная задача либо одновременно
разрешимы, либо одновременно неразрешимы.
При этом в первом случае оптимальные значения целевых функций этих задач совпадают,
а во втором случае по крайней мере одна из задач неразрешима в силу несовместности ее
ограничений.
Вторая теорема двойственности – два вектора являются оптимальными решениями
прямой и соответственно двойственной задачи тогда и только тогда когда
1) Произведение ограничения линейной задачи на соответствующую ему компоненту
вектора – решения двойственной задачи равно нулю.
2) Произведение ограничения двойственной задачи на соответствующую ему компоненту
вектора – решения линейной задачи равно нулю.
13. Понятие вырожденного и невырожденного б.д.р.
Бдр вырожденное, если у базисной компоненты вектора есть нулевые компоненты.
15. Представление об элементарном преобразовании как движении из текущей вершины
по ребру. Случай ограниченного ребра.
Коэффиценты замещения симплекс таблицы, находящиеся в столбце, соответствующем
небазисной переменной, взятые с обратным знаком образуют направляющий вектор ребра
множества допустимых решений, выходящем из бдр, находящемся в симплекс таблице.
Соответственно при выполнение элементарного преобразования одного из базисных
столбцов на небазисной, происходит движение вдоль ребра, находящимся в данном
небазисном столбце.
Случай ограниченного ребра – если есть положительные элементы среди столбца
соответствующего небазисной переменной, тогда будет существовать верхняя граница для
параметра перемещения вдоль ребра, такая что при достижении ее – мы перейдем в новый
б.д.р.
16. Интерпретация неразрешимости задачи ЛП в с.-м. как перемещения из текущей
вершины по неограниченному ребру в направлении убывания целевой функции.
Если оценка замещения соответствующая небазисному столбцу строго отрицательна и
коэффиценты замещения из того же столбца неположительны, то не существует
оптимального решения, в силу существования неограниченного ребра направленного
вдоль убывания целевой функции.
17. Идея прямого и двойственного симплекс – метода.
Прямой – Взять вершину (б.д.р.) – проверить на оптимальность, если не оптимально –
искать ребро в направлении которого целевая функция убывает, если ребро бесконечно –
конец, задача неразрешима, если ребро конечно, метод вычисляет вершину соединенную
ребром и следующая итерация начинается с этой вершины.
Или так
Прямой – Выбираем прямо допустимый базис, далее перебираем прямо допустимые
базисы до тех пор пока не обнаружим двойственно допустимый базис или
неразрешимость задачи.
Двойственный – Выбираем двойственно допустимый базис, далее происходит перебор
двойственно допустимых базисов, пока не обнаружится прямо допустимый базис или
неразрешимость задачи.
18. Метод ветвей и границ.
Рассматриваем задачу: целевая функция на минимум, на множестве, являющимся
разложимым (на атомарные подмножества). Есть функции, определенные на множествах
– нижняя грань функции на множестве, наилучшее решение на множестве и ветвление
множества, и рекорд – наилучшее найденное допустимое решение.
Алгоритм: На каждом шаге алгоритма должны существовать множества непроверенных
решений и рекорд.
Шаг 0. Полагаем рекорд – произвольный элемент из начального допустимого множества,
множество решений есть начальное допустимое множество.
Текущий шаг: множество непроверенных решений будет отброшено, если выполняется
одно из условий:
1. Нижняя грань функции на этом множестве больше значения текущего рекорда.
2. Функция наилучшего решения определена на множестве, при этом происходит
пересчет рекорда, если наилучшее решение на множестве лучше текущего рекорда.
Если все множества оказались отброшены – конец. Рекорд – оптимум. Иначе выбираем
множество из неотброшенных, применяем к нему ветвление, получаем новый набор
непроверенных множеств -> Текущий шаг.
Кратко: Метод сводит поиск оптимального решения посредством последовательного
разбиения множества допустимых решений на все более мелкие подмножества и
последующего сравнения этих подмножеств с рекордом.
19. Метод покоординатного спуска.
Пусть целевая функция на минимум в R^n. Выберем точку – начальное приближение.
Идея метода: двигаемся от начального приближения вдоль единичных координатных
векторов задающих направление движения с некоторым шагом, если происходит
улучшение функции при движении вдоль этих векторов, иначе уменьшаем шаг, если ни
одно из направлений не дало улучшения на итерациях группы.
21. Критерий разрешимости задачи ЛП.
Задача линейного программирования разрешима тогда и только тогда, когда множество
допустимых решений не пусто и целевая функция ограничена на нем.
22. Метод искусственного базиса.
Идея – есть исходная задача . Вводим вспомогательную задачу, с искусственными
переменными, количество их равно количеству ограничений исходной задачи, добавляем
к каждому ограничению по одной переменной и рассматриваем целевую функцию как
сумму искусственных переменных на минимум. Строим симплекс таблицу для
вспомогательной задачи, в результате ее решения получаем б.д.р. исходной задачи либо
устанавливаем что множество допустимых решений пусто. Далее строим симплекс
таблицу соответствующую данному б.д.р. и применяем обычный симплекс.
24. Метод внешних штрафов.
Идея: свести решение задачи целевая на минимум, ограничения <=0 к последовательности
задач минимизации, в результате исходная задача будет преобразована в
последовательность задач целевая плюс штрафная на минимум.
При этом последовательности точек являющихся решением соответствующих задач будет
аппроксимировать оптимальное решение, приближаясь к множеству допустимых
решений из вне самого множества.
25. Метод внутренних штрафов.
Идея: свести решение задачи целевая на минимум, ограничения <=0 к последовательности
задач минимизации, в результате исходная задача будет преобразована в
последовательность задач целевая плюс штрафная на минимум.
При этом последовательности точек являющихся решением соответствующих задач будет
аппроксимировать оптимальное решение изнутри множества допустимых решений.
26. Формула метода Келли (метод секущих плоскостей).
Пусть есть задача целевая на минимум, ограничения <= 0, ограничения и целевая
являются выпуклыми непрерывными функциями, функционал линеен. Возьмем некоторое
многогранное множество которое содержит в себе оптимальное решение, такое, что
включало в себя множество допустимых решений. Начинаем на нем решать задачу; если
полученное оптимальное решение является допустимым для исходной, то конец, иначе
усекаем область решений добавлением линейного ограничения таким образом, что
найденная точка будет устранена из области вновь полученного линейного многообразия.
27. Формула метода Такахаши.
Задача на максимум, ограничения линейны. Сводим задачу к двойственной, если найдем
ее оптимальное решение – найдем оптимальное исходной. Двойственная представима как
Inf функции Лагранжа, при условии что выполняется одно из ограничений. Тогда строим
градиентным методом последовательность точек решения двойственной задачи до тех пор
пока не будет выполнено второе ограничение.
28. Формула метода решения задачи о (r|p)-центроиде.
Имеем множество пунктов для предприятий, множество клиентов, множество доходов с
каждого клиента и множества транспортных затрат. Есть лидер и конкурент, которые
открывают предприятия.
В задачу лидера входит открыть p предприятий, получив максимальный доход с клиента.
В задачу конкурента входит открыть r предприятий, получив максимальный доход с
клиентов, при этом, обслуживать только тех клиентов, с которыми затраты на
транспортные расходы будут меньше чем затраты у всех предприятий лидера на расходы
соответствующему клиенту (Стратегически более выгодно расположены предприятия).
Также имеем ограничение, что в каждом пункте можно открыть не более одного
предприятия.
29. Формула метода обобщенной декомпозиции Бендерса.
Задача имеет вид сумма функции от одной переменной и линейной функции от другой на
максимум, при ограничениях.
Идея: Проектируем задачу на пространство переменных первой функции, в результате
имеем подзадачу: супремум линейной с ограничениями; затем переходим к двойственной
задачи и далее аппроксимируем исходный супремум двойственной подзадачей на
минимум, в итоге получаем максимину задачу.
32. Метод градиентов.
Строим последовательность точек сходящихся к оптимальной точке, выбирая в качестве
направления спуска на каждой итерации градиент точки, полученной на предыдущей
итерации.