Министерство образования Российской Федерации Саратовский государственный технический университет УСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Методические указания и контрольные задания к выполнению самостоятельной работы для студентов направления 521500 «Менеджмент» Одобрено редакционно-издательским советом Саратовского государственного технического университета Саратов 2010 РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить соответствующие разделы курса по пособиям, рекомендуемым в списке литературы. В методических указаниях даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых задач. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре «Высшая математика и механика» Технологического института СГТУ. На обложке тетради, в которой выполнена работа, студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы и адрес, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины и дату отправки работы в институт. Если работа выполнена без существенных ошибок, то студент допускается к собеседованию, по результатам которого работа может быть зачтена, либо не зачтена. При наличии существенных ошибок работа возвращается студенту для исправления. ЛИТЕРАТУРА 1. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. – М.: Дело, 2000. 2. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. –М.: Инфра-М, 2001. 3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – Т. 1,2. – М.: Высшая школа, 1981. 4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1980. 5. Канторович Л.В. Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. - М.: Наука, 1980. 6. Ларионов А.И., Юрченко Т.И., Новоселов А.Л., Экономикоматематические методы в планировании. – М.: Высшая школа, 1991. 3 ПОНЯТИЕ ОБ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В условиях рыночной экономики практически значимыми являются задачи поиска экстремальных (максимальных и минимальных) значений экономических функций при наличии ограничений на переменные. В качестве примера рассмотрим производственную функцию, т.е. уравнение связывающие ресурсы (факторы производства) и выпуск продукции. В рыночной экономике к ресурсам относятся: земля, капитал (основные фонды), труд и предпринимательская способность, т. е. способность объединить все виды ресурсов в едином процессе производства товаров и услуг. Ограничимся для простоты двумя ресурсами: капиталом K и трудом T . Тогда производственная функция может быть записана в виде Q f K ,T , где Q – количество произведенных товаров и услуг. На приобретение ресурсов фирма планирует конкретную сумму денег, обозначим её S . Если цена единицы капитала (основных фондов) равна Pk , а единицы труда - PT , то должно выполняться условие Pk K PT T S . В процессе деятельности перед фирмой возникает практически важный вопрос: как наиболее эффективно распределить имеющиеся средства? Другими словами, какую часть общей суммы S следует выделить на закупку оборудования (капитал K ), а какую – на оплату труда персоналу (труд T ). Математически эта задача формулируется так: найти максимум целевой функции (в данном случае это производственная функция). Q f K ,T , при условии (ограничения по затратам) Pk K PT T S . Рассмотрим метод подстановки и метод множителей Лагранжа решения задач условной оптимизации. 4 МЕТОД ПОДСТАНОВКИ В простых случаях для нахождения условного экстремума произвольной целевой функции z f x , y при условии (ограничении) ( x, y ) 0 можно применять метод подстановки. Для этого, используя ограничение, выражают одну переменную через другую, например, y через x : y g x . Подставляя g x в целевую функцию, получают некоторую функцию одной переменной: z f x , g x F x . Далее находят экстремальные точки уже этой функции. По конкретным значениям x , используя функцию y g x , вычисляют соответсвующие экстремальные значения переменной y и значение целевой функции. Применим метод подстановки для решения простой задачи. Производственная функция фирмы имеет вид: Q f K ,T 2 K 2 3 KT . Определить уровень затрат на капитал и труд, при которых производственная функция Q достигает максимума. Затраты на единицу капитала и труда составляет 2 и 1 соответственно, а общая сумма затрат 400 . Математическая формулировка задачи: найти максимум целевой функции Q 2 K 2 3 KT при условии 2 K T 400 . Для решения выразим T через K , используя последнее равенство (ограничение по затратам) T 400 2 K . 5 Подставляя это выражение в производственную функцию, получаем Q 2 K 2 3 K 400 2 K 1200 K 4 K 2 , т.е. целевую функцию одной переменной K . Далее найдем максимум полученной функции. Для этого вычисляем производную функции Q K и приравниваем её к нулю: Q 1200 8 K 0 Из полученного равенства определяем стационарную точку K 150 Находим вторую производную функции Q K : Q 8 0 . Так как Q отрицательна, то в стационарной точке имеет место максимум целевой функции Qmax 1200 150 4 1502 90000 Соответствующие затраты на труд находятся подстановкой оптимальной величины K в ограничение по затратам T 400 2 K 400 2 150 100 Итак, производственная функция фирмы Q K ,T достигнет максимума, если затраты на капитал и труд будут 150 и 100 соответственно. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА Метод множителей Лагранжа в задаче отыскания условного экстремума является универсальным, так как позволяет решать задачу и в случае, когда трудно или невозможно из уравнения условия x , y 0 явно выразить одну из переменных через другую. Если требуется найти условный экстремум целевой функции z f x , y 6 при наличии условия (ограничения) x , y 0 , то отыскание условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа u f x , y x , y , где - неопределенный постоянный множитель. Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид: u f x x x 0 u f 0 y y y x , y 0 Уравнения образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными. Решение этой системы - тройка чисел x0 , y0 , 0 , первые два из которых, т.е. x0 , y0 , и дают координаты точки условного экстремума целевой функции z f x , y . Применим метод множителей Лагранжа для следующей задачи. Фирма – монополист производит два вида товаров G 1 и G 2 в количестве Q 1 и Q 2 соответственно. Функция затрат имеет вид: C 3Q1 Q1Q2 5 Q2 Кривые спроса для каждого товара: P1 20 Q1 2Q2 P2 50 Q1 Q2 , где P1 и P2 - цена единицы соответственно товаров G 1 и G 2 . Фирма связана ограничением на общий объем производства товаров G 1 и G 2 , ее квота составляет 19 единиц, т.е. 7 Q1 Q 2 19 Требуется найти максимальную прибыль, которая может быть достигнута при этом условии. Для решения задачи построим целевую функцию, в данном случае функцию прибыли, которая определяется как разница между доходом и затратами: RC Для дохода от продажи товара G 1 имеем: R1 P1Q1 20 Q1 2Q2 Q1 20Q1 Q12 2Q1Q2 , где выражение для P1 берется из кривой спроса товара G 1 . Аналогично доход от продажи товара G 2 : R2 P2 Q2 50 Q1 Q2 Q2 50Q2 Q1Q2 Q22 . Очевидно, что суммарный доход будет R R1 R2 20Q1 Q12 3Q1Q2 50Q2 Q22 Поскольку затраты известны из условия задачи, то прибыль (целевая функция) имеет вид: Q1 ,Q2 R C 20Q1 Q12 3Q1Q2 50Q2 Q22 3Q1 Q1Q2 5Q2 17Q1 Q12 2Q1Q2 45Q2 Q22 . Переписав ограничение в виде Q1 ,Q2 19 Q1 Q2 0 , получаем задачу условной оптимизации (поиска условного экстремума). Для ее решения применим метод Лагранжа. Строим вспомогательную функцию Лагранжа uQ1 ,Q2 , 17Q1 Q12 2Q1Q2 45Q2 Q22 19 Q1 Q2 . Вычисляем частные производные и приравниваем их к нулю: 8 u 17 2Q1 2Q2 0 Q1 u 2Q1 45 2Q2 0 ; Q2 Q1 Q 2 19 Полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными представим в виде: 2Q1 2Q2 17 2Q1 2Q 2 45 Q Q 19 1 2 и решим методом исключения. Для этого складываем первое и второе уравнения, что дает 2 62 , 31 . Подставляя полученное значение в первое уравнение, получаем 2Q1 2Q2 14 . Q1 Q2 19 Ее решение легко находится: Q1 6 , Q 2 13 . Это и есть координаты точки условного экстремума, т.е. тот объем продаж, при котором прибыль максимальна. Соответствующее значение самой прибыли будет 6 ,13 17 6 6 2 2 6 13 45 13 13 2 648 . Метод Лагранжа в том виде, как он был изложен, позволяет находить условные экстремумы. Вопрос о том, максимум это или минимум, остается открытым. При решении экономических задач, часто сам характер задачи подсказывает что ожидать – максимум или минимум. Кроме того, существует простой способ анализа точки экстремума, вытекающий из самого определения максимума. Пусть x0 , y0 – координаты точки экстремума, а f x 0 , y0 - соответствующее значение целевой функции. Берется точка x , y , близкая к точке x0 , y0 , и вычисляется значение целевой функции, т.е. f x , y . Если f x , y f x 0 , y0 , то в точке x0 , y0 имеет место максимум. Если f x , y f x 0 , y0 , то в точке x0 , y0 имеет место минимум. 9 ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Задачи составляются по таблицам в соответствии с последней цифрой N номера зачетной книжки. Задача 1. Производственная функция фирмы имеет вид: Q KT T 2 Определить уровень затрат на капитал K и труд T , при которых производственная функция Q достигает максимума. Затраты на единицу капитала и труда составляют и соответственно, а общая сумма затрат - S. Числовые значения параметров задачи 1 даны в табл.1 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 2 3 3 3 3 3 4 4 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 3 1 1 2 1 1 3 3 3 3 3 2 3 4 2 2 Таблица 1 S 400 600 800 700 600 600 700 800 700 900 Задача 2. Фирма – монополист производит два вида товаров G 1 и G 2 в количестве Q 1 и Q 2 соответственно. Функция затрат имеет вид: C F Q1 L Q1 Q 2 M Q 2 , а кривые спроса для товаров: P1 A f Q1 gQ 2 P2 B h Q1 r Q2 . 10 Квота фирмы на общий объем производства товаров G 1 и G 2 составляет R единиц. Найти максимальную прибыль, которая может быть достигнута при этом условии. Числовые значения параметров задачи 2 даны в табл.2 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 F 10 20 15 17 21 19 16 24 22 20 L 2 1 1 1 2 2 3 3 3 4 M 10 16 19 21 17 21 22 18 16 18 A 50 60 40 50 70 80 90 70 60 50 g f 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 11 B 30 40 60 70 50 50 60 40 30 90 h 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 Таблица 2 r R 1 16 1 22 1 20 1 24 1 18 1 30 2 26 2 24 2 32 2 28 СОДЕРЖАНИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ .......... 3 ЛИТЕРАТУРА ..................................................................................................... 3 ПОНЯТИЕ ОБ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ............................................................................................... 4 МЕТОД ПОДСТАНОВКИ ................................................................................. 5 МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА............................................................ 6 ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ................................................ 10 УСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Методические указания и контрольные задания к выполнению самостоятельной работы Составил Дайниченко Николай Владимирович Рецензент: И.В. Соломин Редактор 12