Задачи к курсу Эконометрика

Задачи к курсу «Методы оптимальных решений»
Артамонов Н.В., кафедра ЭММАЭ
весна 2014
Содержание
1 Задачи оптимизации
1.1 Безусловная оптимизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Однородные и выпуклые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Оптимизация с ограничениями равенства . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Оптимизация с ограничениями неравенства. Задача выпуклого программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Линейное программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
10
2 Сетевое планирование
13
1
1
1
2
4
5
Задачи оптимизации
Внимание: Во всех расчетных задачах обязательно проверять достаточные условия экстремума!
1.1
Безусловная оптимизация
№1. Завод производит три вида товаров и продает их по ценам P1 = 2, P2 = 1 и
P3 = 3 (цены экзогенны). Издержки производства равны
C(Q1 , Q2 , Q3 ) = 2Q21 + Q22 + 2Q23 + Q2 Q3
(Q1 , Q2 , Q3 – объемы производства товаров). Найдите оптимальные объемы производства. Какой экономической ситуации соответствует экзогенность цен?
№2. Завод производит два вида товаров, (обратные) функции спроса на которые
имеют вид P1 = 50 − 2Q1 + Q2 и P2 = 40 − 2Q2 + Q1 (цены эндогенны). Функция
издержек равна
C(Q1 , Q2 ) = 2Q21 + Q22
1
(Q1 , Q2 – объемы производства товаров). Найдите оптимальные объемы производства. Какой экономической ситуации соответствует эндогенность цен?
№3. Завод производит три вида товаров и продает их по ценам P1 = 1, P2 = 1
и P3 = 2 (цены экзогенны). Издержки производства равны C(Q1 , Q2 , Q3 ) = Q21 +
Q22 + 2Q23 + Q2 Q3 (Q1 , Q2 , Q3 – объемы производства товаров).
1. Какой экономической ситуации соответствует экзогенность цен?
2. Будет ли функция издержек однородной? Если да, то какой степени и дайте
интерпретацию степени однородности.
3. Постройте модель для нахождения оптимальных объемов производств.
4. Приведите необходимые условия экстремума.
5. Приведите достаточные условия экстремума.
6. Найдите оптимальную производственную программу.
№4. Потребительская корзина состоит из четырех товаров и ее функция полезности имеет вид
U (Q1 , Q2 , Q3 , Q4 ) = 30Q1 + 50Q2 + 50Q3 + 40Q4 −
Q21 − 2Q22 − Q23 − 3Q24 − 2Q1 Q2 − 2Q3 Q4
1. Постройте модель для нахождения оптимальной потребительской корзины.
2. Найдите оптимальную потребительскую корзину (проверьте необходимые и
достаточные условия экстремума).
1.2
Метод наименьших квадратов
№5. Пусть задано n наблюдений (точек на плоскости) {xi , yi }ni=1 . Для линейной
функции y = β0 + β1 x
1. применив метод наименьших квадратов выведите систему нормальных уравнений для нахождения параметров (оптимальной) прямой, наименее уклоняющейся от заданных наблюдений (точек на плоскости);
2. выведете формулы для оценок βb0 и βb1 коэффициентов оптимальной прямой;
3. покажите, что для оценок коэффициентов верно
cov(x,
c
y)
βb1 =
,
d
Var(x)
βb0 = ȳ − βb1 · x̄.
№6. Пусть задано n наблюдений (точек на плоскости) {xi , yi }ni=1 . Для линейной
функции y = βx
2
1. применив метод наименьших квадратов выведите систему нормальных уравнений для нахождения параметров (оптимальной) прямой, наименее уклоняющейся от заданных наблюдений (точек на плоскости);
2. выведете формулы для оценки βb коэффициента оптимальной прямой.
№7. A company sets different prices for particular DVD system in eight different
regions of the country. The accompanying table shows the numbers of units sold and
corresponding price (in $100)
Sales
P rice
420 380 350 400 440 380 450 420
5.5 6.0 6.5 6.0 5.0 6.5 4.5 5.0
a) Plot these data and run linear regression of Sales on P rice.
b) What effect would you expect a $100 increase in price to have on sales?
c) Let Revenue is equal P rice∗Sales. Plot the graph of the predicted Revenue against
P rice. Could you derive some conclusion on «optimal» price?
For computation use MS Excel.
№8. Пусть β̂ есть OLS-оценка коэффициента наклона линейной функции y на x
без константы , а γ̂ – OLS-оценка коэффициента наклона в линейной функции x
на y без константы. Верно ли для этих оценок равенство
γ̂ =
1
β̂
?
№9. Пусть βb1 есть OLS-оценка коэффициента наклона линейной функции y на x
с константой, а γ
b1 – OLS-оценка коэффициента наклона линейной функции x на
y с константой. Покажите, что
γ
b1 =
1
⇐⇒ corr(x,
d y) = ±1.
βb1
№10. Пусть βb0 , βb1 – OLS-оценки коэффициентов линейной функции y на x, а
βe0 , βe1 – OLS-оценки коэффициентов линейной функции (c1 y) на (c2 x) (c1 , c2 6= 0).
Покажите, что
c1 b
βe1 =
· β1 , βe0 = c1 βb0 .
c2
№11. Пусть βb0 , βb1 – OLS-оценки коэффициентов линейной функции y на x, а βe0 , βe1
– OLS-оценки коэффициентов линейной функции (y + c1 ) на (x + c2 ). Покажите,
что
βe1 = βb1 , βe0 = βb0 + c1 − c2 βb1 .
3
№12. Пусть βb0 , βb1 – OLS-оценки коэффициентов линейной функции y на x, а γ
b0 , γ
b1
– OLS-оценки коэффициентов линейной функции (y+cx) на x (c 6= 0). Как связаны
βb0 , βb1 и γ
b0 , γ
b1
№13. Пусть βb0 , βb1 – OLS-оценки коэффициентов линейной функции y на x, а γb0 , γb1
– OLS-оценки коэффициентов линейной функции y − ȳ на x − x̄. Покажите, что
γb0 = 0 и γb1 = βb1 .
№14. Рассмотрим линейную функцию y = β0 +β1 x1 +β2 x2 . Покажите, что систему
нормальных уравнений можно записать в виде
β0 + β1 · x̄1 + β2 · x̄2 = ȳ
d 1 )β1 + cov(x
Var(x
c 1 , x2 )β2 = cov(x
c 1 , y)
d 2 )β2 = cov(x
cov(x
c 1 , x2 )β1 + Var(x
c 2 , y)
Найдите формулы для OLS-оценок β̂0 , β̂1 и β̂2 .
№15. Рассмотрим линейную функцию y = β1 x1 + β2 x2 .
1. Выведите систему нормальных уравнений для нахождения OLS-оценок коэффициентов.
2. Найдите явные формулы для OLS-оценок коэффициентов.
1.3
Однородные и выпуклые функции
№16. Какие из функций являются однородными? Если функция однородна, то
найдите её степень однородности (a, b, c > 0) и покажите, что она удовлетворяет
уравнению Эйлер (кроме функций с max и min)
√
f = ax + by
f = ax2 + by 2 + cxy f = cxa y b
f = b c1 x a + c2 y a
f = c max{ax, by} f = c min{ax, by}
f = a ln x + b ln y f = a ln x + by
№17. Фирма производит два вида товаров и реализует их по ценам P1 и P2 (цены
экзогенны). Функция издержек имеет вид
C(Q1 , Q2 ) = cQα1 Qβ2 ,
α, β ≥ 0 α + β < 1
1. Будет ли функция издержек однородной? Если да, то дайте экономическую
интерпретацию степени однородности и покажите, что она удовлетворяет
уравнению Эйлера.
2. Выпишите функцию прибыли π(Q1 , Q2 ). Будет ли она однородной? Дайте
экономическую интерпретацию полученного вывода.
№18. При каких значениях параметра β функция
f (x1 , x2 , x3 ) = 2x21 + 4x22 + x23 − βx1 x3
будет строго выпуклой? Строго вогнутой? Ответ обоснуйте. Будет ли эта функция
однородной? Если да, то какой степени.
4
№19. Исследуйте на выпуклость/вогнутость функции
f
f
f
f
= cK α Lβ
= a ln K + b ln L
= ax2 + by 2 + cxy
= P1 x + P2 y + P3 z − x2 − y 2 − 2z 2 − xy − xz
f = cxα y β z γ
α, β > 0
a, b > 0
a, b 6= 0
P1 , P2 , P3 > 0
α, β, γ > 0
№20. Функция полезности потребительской корзины, состоящей из четырех товаров, имеет вид
U (Q1 , Q2 , Q3 , Q4 ) = 30Q1 + 50Q2 + 50Q3 + 40Q4 −
Q21 − 2Q22 − Q23 − 3Q24 − 2Q1 Q2 − 2Q3 Q4
Исследуйте эту функцию на выпуклость/вогнутость.
1.4
Оптимизация с ограничениями равенства
№21. Рассмотрим задачу оптимизации
max f (x, y)
g(x, y) = C
(1)
1. Напишите функцию Лагранжа для задачи оптимизации (1)
2. Укажите необходимые условия экстремума для задачи оптимизации (1).
3. Укажите достаточные условия экстремума для задачи оптимизации (1).
№22. Рассмотрим задачу оптимизации
min f (x, y)
g(x, y) = C
(2)
1. Напишите функцию Лагранжа для задачи оптимизации (2)
2. Укажите необходимые условия экстремума для задачи оптимизации (2).
3. Укажите достаточные условия экстремума для задачи оптимизации (2).
№23. Рассмотрим задачу оптимизации
max f (x, y, z)
g(x, y, z) = C
1. Напишите функцию Лагранжа для задачи оптимизации (3)
2. Укажите необходимые условия экстремума для задачи оптимизации (3).
3. Укажите достаточные условия экстремума для задачи оптимизации (3).
5
(3)
№24. Рассмотрим задачу оптимизации
max f (x, y, z)
g(x, y, z) = C1
h(x, y, z) = C2
(4)
1. Напишите функцию Лагранжа для задачи оптимизации (4)
2. Укажите необходимые условия экстремума для задачи оптимизации (4).
3. Укажите достаточные условия экстремума для задачи оптимизации (4).
№25. Найти экстремум функции полезности u = x2 y при бюджетном ограничении
2x + 3y = 90. Дайте экономическую интерпретацию параметров функции полезности.
№26. Для производства предприятие закупает два вида ресурсов по ценам P1 = 10
и P2 = 20, бюджет составляет $1200. Производственная функция предприятия рав√
на f (x, y) = xy. Найдите количество ресурсов с целью обеспечения оптимальной производственной программы. Дайте экономическую интерпретацию производственной функции и ее параметров.
№27. Для производства предприятие закупает два вида ресурсов по ценам Px = 5
и Py = 2 (цены экзогенны), бюджет составляет $200. Производственная функция
√
предприятия равна f (x, y) = 2 xy.
1. Какой экономической ситуации соответствует экзогенность цен?
2. Будет ли производственная функция однородной? Если да, то какой степени
и дайте интерпретацию степени однородности.
3. Постройте модель для нахождения оптимального производства.
4. Приведите необходимые условия экстремума.
5. Приведите достаточные условия экстремума.
6. Какое количество ресурсов необходимо закупить?
7. Дайте экономическую интерпретацию множителя Лагранжа.
√
№28. Производственная функция предприятия равна f (x, y) = xy. Ресурсы закупаются по ценам Px и Py . Рассмотрим задачу оптимизации
min(Px x + Py y)
f (x, y) = Q0
1. Дайте интерпретацию экстремальной задачи с ограничениями
2. Напишите функцию Лагранжа и сформулируйте необходимые условия экстремума.
6
3. Сформулируйте достаточные условия экстремума.
4. Найдите решения экстремальной задачи.
5. Дайте экономическую интерпретацию множителя Лагранжа. Как (экономически) можно объяснить, что множитель Лагранжа не зависит то объема
выпуска Q0 ?
№29. Потребительская корзина состоит их трех товаров, цена на которые равны
P1 , P2 , P3 . Доход равен I. Функция полезности потребителя равна
U (q1 , q2 , q3 ) = ln q1 + ln q2 + ln q3 .
1. Постройте модель оптимизации для нахождения оптимальной потребительской корзины.
2. Сформулируйте необходимые и достаточные условия экстремума.
3. Найдите оптимальную оптребительсую корзину.
4. Дайте экономическую интерпретацию множителя Лагранжа.
№30. В условиях предыдущей задачи рассмотрите функцию полезности
U (q1 , q2 , q3 ) = a ln q1 + b ln q2 + c ln q3
1.5
a, b, c > 0
Оптимизация с ограничениями неравенства. Задача выпуклого программирования
№31. Рассмотрим задачу оптимизации
max f (x, y, z)
g(x, y, z) ≤ C
x, y, z ≥ 0
(5)
1. При каких условиях задача (5) будет задачей выпуклого программирования?
2. Напишите функцию Лагранжа и приведите необходимые условия экстремума в задаче (5).
3. Что означает условие Слейтера для задачи (5)?
4. При каких условиях необходимые условия экстремума буду достаточными?
№32. Рассмотрим задачу оптимизации
min f (x, y, z)
g(x, y, z) ≤ C
x, y, z ≥ 0
(6)
1. При каких условиях задача (6) будет задачей выпуклого программирования?
2. Напишите функцию Лагранжа и приведите необходимые условия экстремума в задаче (6).
7
3. Что означает условие Слейтера для задачи (6)?
4. При каких условиях необходимые условия экстремума буду достаточными?
№33. Будет ли задача с ограничениями
min(2x2 + 5y 2 )
x + y > 10
задачей выпуклого программирования? Ответ обоснуйте. Если да, то найдите ее
решение.
№34. Рассмотрим задачу оптимизации
max(7x + 4y − 4x2 − 6y 2 + xy)
3x + 5y 6 70
x, y > 0
1. Будет ли эта задача оптимизации задачей выпуклого программирования?
Ответ обоснуйте
2. Запишите систему уравнений Куна-Таккера.
3. Будут ли решения системы Куна-Таккера решением задачи оптимизации?
Ответ обоснуйте.
№35. Завод производит два вида товаров, цена на которые равны P1 = 50 и
P2 = 40. Функция издержек равна
C(Q1 , Q2 ) = 2Q21 + Q22
(Q1 , Q2 – объемы производства товаров). Найдите оптимальные объемы производства, максимизирующие выручку, если издержки не должны превышать $20.
№36. Завод производит два вида товаров, (обратные) функции спроса на которые
имеют вид P1 = 50 − 2Q1 и P2 = 40 − 2Q2 (цены эндогенны). Функция издержек
равна C(Q1 , Q2 ) = Q1 +Q2 (Q1 , Q2 – объемы производства товаров). Производитель
опеределил, что издержки не должны превышать 100.
1. Какой экономической ситуации соответствует эндогенность цен?
2. Будет ли функция издержек однородной? Ответ обоснуйте. Если да, то какой
степени и дайте интерпретацию степени однородности.
3. Постройте модель для нахождения оптимальных объемов производства.
4. Приведите необходимые условия экстремума.
5. Приведите достаточные условия экстремума.
8
6. Найдите оптимальную производственную программу.
№37. Завод производит два вида товаров, цена на которые равны P1 = 2 и P2 = 4
(цены экзогенны). Функция издержек равна C(Q1 , Q2 ) = Q21 +2Q22 (Q1 , Q2 – объемы
производства товаров). Производитель определил, что выручка не должна быть
меньше 20.
1. Какой экономической ситуации соответствует экзогенность цен?
2. Будет ли функция издержек однородной? Если да, то какой степени и дайте
интерпретацию степени однородности.
3. Постройте модель для нахождения объемов производства, оптимизирующих
издержки.
4. Приведите необходимые условия экстремума.
5. Приведите достаточные условия экстремума.
6. Найдите оптимальную производственную программу.
№38 (Consumption–Leisure choice). Экономический агент имеет два «товара»: «отдых» l (leisure, в часах) и потребление x. Пусть w – почасовая оплата и P – цена
потребления. Агент располагает общим временем H, которое он может тратить
на работу и на отдых, и также имеет фиксированный доход M (non-labor income).
Функция полезности экономического агента U (x, l). Рассмотрим задачу задачу оптимизации
max U (x, l)
P x + wl ≤ wH + M
0≤l≤H
x≥0
1. Дайте экономическую интерпретацию задачи оптимизации.
2. Сформулируйте необходимые условия экстремума.
3. Пусть функция полезности экономического агента равна
U (x, l) = x + c ln l
c > 0.
Найдите решение задачи оптимизации.
4. Дайти интерпретацию функции полезности.
№39. Экономический агент потребляет два товара и его функция полезности равна U (x, y) = y + c ln x ( c > 0). Цены на товары равны P1 и P2 , доход равен I.
1. Сформулируйте задачу об оптимальной потребительской корзине.
2. Найдите оптимальную потребительскую корзину.
3. Дайте экономическую интерпретацию функции полезности.
9
1.6
Линейное программирование
№40. Рассмотрим задачу линейного программирования
max(3x + 5y)
x+y 65
2x + y 6 8
x, y > 0
1. Нарисуйте на плоскости множество, определяемое ограничениями задачи
2. Как определить графически оптимальное решение?
3. Найдите решение задачи?
4. Напишите двойственную задачу и найдите ее решение (графически)
5. Дайте интерпретацию двойственной задаче.
№41. Решите задачу оптимизации
max(3x1 + 4x2 + 2x3 + x4 )
2x1 + x2 + 5x3 + 5x4 ≤ 40
x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 30
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
№42. Фирма производит три товара и использует для производства два ресурса.
Норма затрат ресурсов, количество ресурсов и прибыль от каждой единицы товара
приведены в таблице
Ресурс 1
Ресурс 2
Доход
Товар 1 Товар 2 Товар 3
2
1
5
4
2
3
3
8
2
Количество ресурса
100
120
Предполагается, что нормы затрат постоянны и цены экзогенны.
i) Постройте модель оптимизации производства.
ii) Постройте двойственную задачу.
iii) Найдите оптимальное производство.
iv) Найдите решение двойственной задачи и дайте экономическую интерпретацию этого решения.
10
№43. Фирма производит три товара и использует для производства два ресурса.
По плану первого товара нужно произвести не менее 100 единиц, второго – не
менее 120, третьего – не менее 150 ед. Норма затрат ресурсов и цена на ресурсы
приведены в таблице
Ресурс 1
Товар 1
2
Товар 2
4
Товар 3
3
Цена
3
Ресурс 2
1
3
5
6
План
100
120
150
Предполагается, что нормы затрат постоянны и цены экзогенны.
i) Постройте модель оптимизации затрат ресурсов.
ii) Постройте двойственную задачу.
iii) Найдите оптимальнго количество ресурсов.
iv) Найдите решение двойственной задачи и дайте экономическую интерпретацию этого решения.
№44. Фирма «Московия» заключила контракт с компанией АЛРОСА на покупку промышленного золота для его реализации в пяти городах в объеме: Самара
– 80 кг, Москва – 260 кг, Ростов-на-Дону – 100 кг, Санкт-Перербург – 140 кг,
Нижний Новгород – 120 кг. Компания АЛРОСА раполагает тремя месторождениями: «Мирное», «Удачный» и «Полевое», которые планируют за год выработать
соответственно 200, 250 и 250 кг золота.
Постройте модель оптимизации фрахта специализированного транспорта, обеспечивающего полное удовлетворение заявок покупателя, при заданной системе
тарифов (на 1 кг)
«Мирное»
«Удачный»
«Полевое»
Самара
7
13
5
Москва Ростов-на-Дону С.-Пб.
9
15
4
25
8
15
11
6
20
Н. Новгород
18
5
12
№45 (11 баллов). Московский филиал «The Coca-Cola Company», выпускающей
напитки приблизительного равного спроса (Sprite, Coca-Cola, Fanta), складируемых в разных местах, должен поставить свою продукцию в четыре крупных супермаркета: «Ашан», «Карусель», «Седьмой Континент» и «Арбатский». Каждая
упаковка содержит 12 банок емкостью 0.33 литра. Тарифы на доставку, объемы
запасов и заказы на продукцию приведены в таблице.
11
Склады
Coca-Cola
Sprite
Fanta
Заказы, уп.
«Ашан»
6
5
9
150
Супермаркеты
«Карусель» «7 Континет»
4
9
7
8
4
6
250
150
«Арбатский»
5
6
7
350
Запасы, уп.
400
300
200
Постройте оптимизационную модель плана поставок напитков в супермаркеты.
№46 (11 баллов). Коммерческое предприятие реализует три группы товаров A,
B и C. Плановые нормативы затрат ресурсов (на 1 тыс рублей товарооборота),
доход от продажи товаров (на 1 тыс. рублей товарооборота) приведены в таблице
Нормы затрат
Ресурсы
A
B
C
Объем ресурсов
Рабочее время продавцов
0.1
3
0.4
1100
Площадь торговых залов
0.05 0.2 0.02
120
Площадь складских помещений
3
0.02
2
8000
Доход
3
1
4
Постройте модель оптимизации для получения максимального дохода. Постройте
двойственную задачу.
№47 (11 баллов). Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку
ежедневно необходимо потреблять 118г белков, 56г жиров, 500г углеводов, 8г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1кг имеющихся в магазине продуктов питания, а также их стоимость приведены в таблице
Белки, г
Жиры, г
Углеводы, г
Мин. соли, г
Стоимость, кг
Содержание в 1 кг продуктов
мясо рыба молоко масло сыр крупа
180
190
30
70
260
130
20
3
40
865
310
30
0
0
50
6
20
650
9
10
7
12
60
20
1.9
1.0
0.28
3.4
2.9
0.56
картофель Нормы
21
118
2
56
200
500
70
8
0.1
Требуется составить модель оптимизации суточного рациона, содержащего не менее суточной потребности человека в белках, жирах, углеводах, минеральных солях и обеспечивающего минимальную стоимость продуктов.
№48. Три нефтеперерабатывающих завода с ежедневной производительностью 6,
5 и 8 млн. т бензина снабжают три бензохранилища, ежедневно потребность которых составляет 4, 8 и 7 млн. т бензина соответственно. Бензин транспортируется в
бензохранилища по бензопроводу. Стоимость транспортировки составляет 0.3 руб
за 1000 т на один км длины бензопровода. В таблице приведены расстояния в км
между заводами и хранилищами. Отметим, что первый нефтеперерабатывающий
завод не связан бензопроводом с третьим бензохранилищем.
12
Хранилища
Заводы
1
2
3 Объем
1
120 180 —
6
2
300 100 80
5
3
200 250 120
8
Вместимость 4
8
7
хранилища
Постройте оптимизационную модель транспортировки бензина.
2
Сетевое планирование
№1. Построить сетевой график и определить критический путь.
Работа
A
Предшествующие работы –
Время выполнения работы 3
B
–
4
C
A
2
D
B, C
5
E
A
6
F
A
1
G
D, E
4
Постройте диаграмму Ганта.
№2. Как распределить работы, необходимые для выполнения проекта, если компания может единовременно выделить не более 6 человек. Определите потребность
в персонале в период выполнения работ проекта. Данные о работах, их последовательности, длительности и потребности в персонале указаны в таблице.
Работы
Предшествующие работы
Продолжительность работы
Потребность в персонале
А
–
5
5
Б
А
5
3
В
А
4
4
Г
А
2
2
Д Е
Б В
4 2
5 4
Ж
Д, Г
8
2
№3. Постройте сетевую модель и определите, какие работы должны быть завершены точно в срок.
Работа
Предшествующая работа
Время выполнения
A B C D
— — B A
3 2 1 4
E
A
5
F
G
H
C, D, E C, D, E F
6
4
4
K
G, H
3
№4. Постройте сетевую модель и определите, c каких работ можно временно использовать сотрудников на других работах и на каких условиях.
Работа
Предшествующая работа
Время выполнения
A B C D
— — — B
2 4 5 2
13
E F
B B
3 3
G
C, E
1
H
A, D
6
K
A, D
4
L
H, F
5