Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет радиотехники и электроники Кафедра микро- и наноэлектроники Дисциплина ОИнфТ РЕФЕРАТ Задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Постановка задачи. Описание метода. Преимущества и недостатки метода. Выполнил: Малиновский К.Е. гр. 7M2721 Проверил: Минск 2017 СОДЕРЖАНИЕ Введение ............................................................................................................... 3 1 Задача на условный экстремум ....................................................................... 3 2 Метод множителей Лагранжа ......................................................................... 7 3 Преимущества и недостатки метода ............................................................. 9 Заключение ........................................................................................................ 11 Список использованых источников .............................................................. 122 2 ВВЕДЕНИЕ В настоящее время оптимизация находит применение в науке, технике и в любой другой области человеческой деятельности. Оптимизация - целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях. Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 веке были заложены математические основы оптимизации (вариационное исчисление, численные методы и др). Однако до второй половины 20 века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое требовало использование огромной математических вычислительной работы, методов оптимизации которую без ЭВМ реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев - невозможно. Оптимизация - это выбор, т.е. то, чем постоянно приходится заниматься в повседневной жизни. Термином "оптимизация" в литературе обозначают процесс или последовательность операций, позволяющих получить уточненное решение. Хотя конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего или "оптимального" решения, обычно приходится довольствоваться улучшением известных решений, а не доведением их до совершенства. По этому под оптимизацией понимают скорее стремление к совершенству, которое, возможно, и не будет достигнуто. 3 1. Задача на условный экстремум При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных. Пусть заданы функция z f ( x , y ) и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P(x, y), в которой значение функции f ( x , y ) является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции f ( x , y ) на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L. Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Поясню сказанное обычным примером. Графиком функции z 1 x 2 y 2 является верхняя полусфера (Рис 1). Рис.1 Верхняя полусфера Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки 4 А и В (ее уравнение x+y-1=0), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение 1 1 функции достигается в точке P0 ; , 2 2 лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции z 1 x 2 y 2 на данной линии; ей соответствует точка M1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи. Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области нам приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум. Приступим теперь к практическому отысканию точек условного экстремума функции Z= f(x, y) при условии, что переменные x и y связаны уравнением (x, y) = 0. Это соотношение будем называть уравнение связи. Если из уравнения связи y можно выразить явно через х: y=(x), мы получим функцию одной переменной Z= f(x, (x)) = Ф(х). Найдя значение х, при которых эта функция достигает экстремума, и определив затем из уравнения связи соответствующие им значения у, мы и получим искомые точки условного экстремума. Так, в вышеприведенном примере из уравнения связи x+y-1=0 имеем y=1-х. Отсюда: Z 1 x (1 x ) 2x 2x Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи y=0,5, и мы получаем как раз точку P, найденную из геометрических соображений. Очень просто решается задача на условный экстремум и тогда, когда уравнение связи можно представить параметрическими уравнениями 5 х=х(t), y=y(t). Подставляя выражения для х и у в данную функцию, снова приходим к задаче отыскания экстремума функции одной переменной. Если уравнение связи имеет более сложный вид и нам не удается ни явно выразить одну переменную через другую, ни заменить его параметрическими уравнениями, то задача отыскания условного экстремума становится более трудной. Будем по-прежнему считать, что в выражении функции z= f(x, y) переменная (x, y) = 0. Полная производная от функции z= f(x, y) равна: Z y ` ( x, y) f `x ( x, y ) f `y ( x , y) f `x ( x, y ) x f ` ( x , y), x x `y ( x , y ) y Где производная y`, найдена по правилу дифференцирования неявной функции. В точках условного экстремума найденная полная производная должна ровняться нулю; это дает одно уравнение, связывающее х и у. Так как они должны удовлетворять еще и уравнению связи, то мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными f `x ( x, y) `x ( x, y) f ` ( x, y) 0, `y ( x , y ) y ( x, y) 0. Преобразуем эту систему к гораздо более удобной, записав первое уравнение в виде пропорции и введя новую вспомогательную неизвестную : f `y f `x `x `y (знак минус перед поставлен для удобства). От этих равенств легко перейти к следующей системе: f`x=(x,y)+`x(x,y)=0, f`y(x,y)+`y(x,y)=0 (*), которая вместе с уравнением связи (x, y) = 0 образует систему трех уравнений с неизвестными х, у и . 6 Эти уравнения (*) легче всего запомнить при помощи следующего правила: для того, чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции Z= f(x, y) при уравнении связи (x, y) = 0, нужно образовать вспомогательную функцию Ф(х,у)=f(x,y)+(x,y) Где -некоторая постоянная, и составить уравнения для отыскания точек экстремума этой функции. Указаная система уравнений доставляет, как правило, только необходимые условия, т.е. не всякая пара значений х и у, удовлетворяющая этой системе, обязательно является точкой условного экстремума. Очень часто конкретное содержание задачи само подсказывает, чем является найденная точка. Описанный прием решения задач на условный экстремум называется методом множителей Лагранжа. 2. Метод множителей Лагранжа Метод множителей Лагранжа имеет наглядный геометрический смысл. Предположим, что на рис 2. Изображены линии уровня функции Z= f(x, y) и линия L, на которой отыскиваются точки условного экстремума. Рис.2 Линии уровня функции Z= f(x, y) и линия L. 7 Если в точке Q линия L пересекает линию уровня, то эта точка не может быть точкой условного экстремума т.к. по одну сторону от линии уровня функция Z= f(x, y) принимает большие значения, а по другую меньшие. Если же в точке P линия L не пересекает соответствующую линию уровня и, значит, в некоторой окрестности этой точки лежит по одну сторону от линии уровня, то точка P будет как раз являться точкой условного экстремума. В такой точке линия L и линия уровня Z= f(x, y) =С касаются друг друга (предполагается, что линии гладкие). И угловые коэффициенты касательных к ним должны быть равны. Из уравнения связи (x, y) = 0 имеем y`=-`x/`y, а из уравнения линии уровня y`=-fx`/fy`. Приравнивая производные и произведя простейшее преобразование мы получим уравнение f `y f `x `x `y Приведенное рассуждение теряет силу, если линия уровня такова, что во всех ее точках fx`=0, fy`=0. Можно рассмотреть, например, функцию z = 4-x2 и линию уровня x=0, соответствующую значению z = 4. Можно искать условный экстремум функции f(x,y,z) при двух уравнениях связи: 1(x, y, z) = 0 и 2(x, y, z) = 0 Эти уравнения определяют линию в пространстве. Таким образом задача сводится к отысканию такой точки линии, в которой функция принимает экстремальное значение, причем сравниваются значения функции только в точках рассматриваемой линии. Метод множителей Лагранжа в этом случае принимается следующим образом: строим вспомогательную функцию Ф(x, y, z) = f(x, y, z)+11(x, y, z) +22(x, y, z), где 1 и 2- новые дополнительные неизвестные, и состовляем систему уравнений для отыскания экстремумов этой функции. 8 f ` 2 1 2 0 x x x x f 1 ` 2 2 0 y y y y f 1 ` 2 2 0 z z z z Добавляя сюда два уравнения связи получаем систему уравнений с пятью неизвестными x, y, z, 1, 2. Искомыми точками условного экстремума могут быть только те, координаты х, у, z которых являются решением этой системы. 3. Преимущества и недостатки метода. Преимущества: 1) Нет ограничения на условие, что количество переменных 2) Задача с ограничениями сводится к задаче без ограничений. Составляется функция Лагранжа: где - неопределенные множители Лагранжа. Находим производные: (1) Находим производные по каждой из : (2) 9 Решаем (1) и (2) и находим: (1) =› (2) =› т.о. уходим от ограничений. Недостатки: 1) функция должна быть дифференцируема; 2) трудность решения систем уравнений; 3) повышена размерность задачи. 10 ЗАКЛЮЧЕНИЕ При использовании метода множителей Лагранжа приходится решать те же задачи, что и без ограничений. Некоторое усложнение в данном случае возникает лишь от введения дополнительных неопределенных множителей, вследствие чего порядок системы уравнений, решаемой для нахождения экстремумов критерия оптимальности, соответственно повышается на число ограничений. В остальном, процедура поиска решений и проверки их на оптимальность отвечает процедуре решения задач без ограничений. Множители Лагранжа можно применять для решения задач оптимизации объектов на основе уравнений с частными производными и задач динамической оптимизации. При этом вместо решения системы конечных уравнений для отыскания оптимума необходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений. Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе динамического программирования, где с их помощью иногда удается снизить размерность решаемой задачи. 11 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Тихонов, А. Н. Вводные лекции по прикладной математике / А. Н. Тихонов, Л. П. Костомаров – М. : Наука, 1984. – 192 с. 2. Кудрявцев, Е. Н. Исследования операций в задачах, алгоритмах и программах / Е. Н. Кудрявцев. – М. : Наука, 1982. – 184 с. 3. Кузнецов, Ю. Н. Математическое программирование / Ю. Н. Кузнецов, В. И. Кузубов, А. В. Волощенко – М., Высшая школа, 1980, - 302 с. 4. Ильин, В. А. Основы математического анализа / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк – М. : Наука, 1979. – 648 с. 12
