Вопросы на допуск к экзамену по курсу «Теория поля» для ФУПМ

Вопросы на допуск к экзамену
по курсу «Теория поля» для ФУПМ
М.Г. Иванов
Что это такое?
Предполагается, что студент ответит по одному вопросу из каждой из трёх тем (без
подготовки), перед тем как получить экзаменационный билет. При неправильном ответе на
какой-то вопрос сразу ставится двойка. Правильный ответ на вопросы ещё не
гарантирует тройки!!!
Во всех вопросах предполагается c=1.
u i — четырёхмерная скорость,
p i — четырёхмерный импульс,
w i — четырёхмерное ускорение,
g i — четырёхмерная сила,
A i — четырёхмерный потенциал (или абстрактный 4-вектор).
Тема 1
1-6. Вычислить свёртки (все величины относятся к одной частице массы m в один момент
времени):
1) u i ui , 2) p i pi , 3) u i wi ,
Доп. вопросы («со звёздочкой» — желательно уметь решать, но для допуска задаваться не
будут): 4*) p i ui , 5*) p i wi , 6*) g i ui .
7-10. Написать выражения компонент в некоторой системе отсчёта через компоненты
трёхмерной скорости v и массы m для четырёхмерной скорости 7) u i и 8) ui , для
четырёхмерного импульса 9) p i и 10) p i .
11-16. Что такое
dx i du i d 2 x i dp i
x i

A


A
,
,
,
,
,
.
i j
j i
x j
ds ds
ds
ds 2
Тема 2
1-3. Переписать уравнения в трёхмерных обозначениях:
1)  i j i  0 , 2)  i  i A j  0 , 3)  i Ai  0 .
4-6. Переписать уравнения в четырёхмерных обозначениях:


2 A j
j




A  0.


A

0
4)   j  0 , 5)
,
6)
t 2
7-12. Записать уравнения 7,8) Максвелла и калибровочное условие 9,10) Лоренца в
трёхмерной и четырёхмерной форме, записать 11) волновое уравнение (без источника) для
A i , 12) тензор электромагнитного поля Fij через 4-мерный потенциал Ai .
13-15. F 02  a , F 32  b , K 00  f . Записать:
2
2
0
13) F 0 2 , F0 , F02 ; 14) F 3 2 , F3 , F32 ; 15) K 0 , K 00 , K 0 0 .
Тема 3
1-8. Вычислить четырёхмерный скалярный квадрат Ai Ai и определить тип 4-ветокра A
заданного в некоторой системе отсчёта следующими компонентами:
1) Ai =(1,1,1,1), 2) Ai =(0,1,1,1), 3) Ai =(1,0,1,0), 4) Ai =(2,1,1,1),
5) Ai =(1,1,1,1), 6) Ai =(0,1,1,1), 7) Ai =(1,0,1,0), 8) Ai =(2,1,1,1).
9-12. Вычислить четырёхмерное скалярное произведение Ai Bi для следующих компонент:
9) Ai =(1,1,1,1), B i =(1,0,0,2);
10) Ai =(1,1,1,1), Bi =(1,0,0,2);
11) Ai =(1,1,1,1), B i =(1,0,0,2);
12) Ai =(1,1,1,1), Bi =(1,0,0,2).

13-16. Записать через  следующие выражения:

13) div rot, 14) div grad, 15) rot grad, 16) grad div A .
17-20) Написать матрицу преобразования Лоренца для скорости направленной по 17) x, 18) z,
19) –y, 20) –x .
Вопросы по курсу «Теория поля» для ФУПМ
1. Понятие тензора. Скалярное произведение векторов, метрический тензор.
Пространство Минковского.
2. Пространственно-временной континуум. События. Интервал. Мировая линия. 4скорость и её геометрический смысл.
3. Инерциальные системы отсчёта. Принцип относительности. Вывод преобразований
Лоренца из требования инвариантности метрики пространства Минковского и их
геометрическая интерпретация.
4. Относительность понятий "здесь" и "сейчас". Релятивистское изменение масштабов
длины и времени. Собственное время.
5. Релятивистское сложение скоростей. Одинаковость скорости света во всех
инерциальных системах отсчёта.
6. Лагранжиан и действие для свободной частицы. Вывод уравнения движения из
вариационного принципа. 4-импульс и гамильтониан. Законы сохранения энергии и
импульса как следствия однородности пространства и времени.
7. 4-импульс свободной частицы. Аберрация света и эффект Допплера.
8. Лагранжиан и действие для заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле.
Вывод уравнения движения из вариационного принципа. Сила Лоренца. 4-импульс и
гамильтониан.
9. Движение заряженной частицы в постоянном магнитном поле. Её магнитный момент.
10. Движение заряженной частицы в медленно меняющемся магнитном поле.
Адиабатический инвариант и его связь с магнитным моментом частицы.
11. Дрейф заряженной частицы во взаимно перпендикулярных электрическом и
магнитном полях.
12. Сила, действующая на магнитный диполь в слабонеоднородном магнитном поле.
13. Описание движения заряженной частицы в магнитном поле Земли.
14. Переход от точечных зарядов к распределенной системе зарядов и токов с помощью
-функции. Закон сохранения электрического заряда. Уравнение непрерывности. 4вектор плотности тока.
15. Вывод уравнения непрерывности из уравнений Максвелла в 3-мерной и в 4-мерной
форме.
16. Способы описания электромагнитного поля: 4-потенциал Ai, напряжённости
электрического E и магнитного H полей, тензор Fij . Калибровочная инвариантность.
17. Преобразования Лоренца для электромагнитного поля. Инварианты поля.
18. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля (без вывода: компоненты, их
физический смысл, уравнения непрерывности для энергии и импульса).
19. Плотность энергии и плотность потока энергии электромагнитного поля.
20. Плоские электромагнитные волны. Плоская монохроматическая волна и её
поляризация. Волновой 4-вектор.
21. Угловое распределение и полная интенсивность излучения в дипольном
приближении.
22. Первая пара уравнений Максвелла, её 3-мерная и 4-мерная форма записи.
Калибровочная инвариантность.
23. Калибровочная инвариантность уравнений Максвелла. Уравнения для 4-потенциалов
в калибровке Лоренца.
24. Энергия взаимодействия двух систем зарядов, находящихся на большом расстоянии
друг от друга.
25. Функция Грина оператора Лапласа. Поле системы неподвижных зарядов на больших
расстояниях. Дипольный и квадрупольный моменты.
26. Функция Грина оператора Лапласа. Полe системы стационарных токов на больших
расстояниях. Магнитный дипольный момент.
27. Функция Грина волнового уравнения (без вывода). Запаздывающие потенциалы.
28. Потенциалы Лиенара-Вихерта (потенциалы, но не поля E и H).
29. Дипольное излучение. Поле в квазистационарной (ближней) и волновой (дальней)
зонах. Угловое распределение и поляризация.
30. Полная интенсивность излучения магнитного диполя и квадруполя (без вывода, но с
обсуждением зависимости от скоростей, частот, пространственных и временных
масштабов).
31. Сила радиационного трения. Пределы её применимости на малых расстояниях и в
сильных полях.
32. Синхротронное излучение. Интенсивность излучения, оценки углового и
спектрального распределений.
33. Постановка задачи рассеяния. Дифференциальное и полное сечения рассеяния.
Рассеяние света на свободном электроне, формула Томсона.
34. Рассеяние электромагнитных волн в дипольном приближении.