Лабораторная работа 2. Приближенное вычисление интегралов. Цель работы: изучение различных методов вычисления определенных интегралов, практическое интегрирование функций на ЭВМ. Описание методов вычисления определенных интегралов. Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям: Существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подынтегральная функция заменяется «близкой» к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции. Формула прямоугольников. Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x0, x1, … , xm, то в качестве функции «близкой» к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках. Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей: При этом y0 = f(x0), y1 = f(x1), …. , yn = f(xn). Общая формула прямоугольников: или Формула трапеций является более точной по сравнению с формулой прямоугольников. 1 Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл. Формула трапеций: Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула). Томас Симпсон (1710-1761) - английский математик. Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2). Для каждой пары отрезков построим такую параболу. Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой. Обозначим . Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то 2 . Тогда уравнения значений функции имеют вид: C учетом этого: Формула Симпсона: Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено. Формула относительной погрешности: I Ih *100% , I I – точное значение интеграла, вычисленное через первообразную функции; Ih – значение интеграла, полученное в результате применения конкретной формулы интегрирования. Блок-схема алгоритма программы интегрирования функции (формула Симпсона). При запуске программы требуется ввод подынтегральной функции; первообразной функции; значений отрезка [a, b]; числа n – количество подотрезков; значения точности, с которой необходимо вычислить значение интеграла на отрезке [a, b]. Алгоритм нахождения значения интеграла 1 arctg(x) с заданной 0 точностью (10-5) по формуле Симпсона заключается в следующем: 1. Формула Симпсона для всего отрезка имеет вид Simp := (h/6)*(F(a) + F(b) + Res), где переменная Res представляет собой сумму значений функции F(x). If Round(i/2) = i/2 then Res := Res + 2*F(x) //четные Else Res := Res + 4*F(x); //нечетные. 3 2. Для нахождения величины шага, обеспечивающей заданную точность организуем цикл, уменьшая шаг в 2 раза и находим значения интеграла Int := (h/3)*(F(a) + F(b) + Res). Алгоритм вычисление погрешности заключается в нахождении первообразной функции Perv(a, b) и расчету по формуле, где переменная Int – значение интеграла, вычисленное с помощью формулы Симпсона: Prec := (Abs((Perv(a, b) - Int)/Perv(a,b)))*100. Вариант 7. Дано: f(x) = x^2 * sin x F(x) = x^2 * sin x – (x^2 – 2) cos x a=0 b=1 Если n = 10 (количество подотрезков), то 1 Ответ: arctg (x) = 0,43882, h = 0,025, δ = 0,0000012373. 0 4