"Решение задач с помощью квадратных уравнений".

План урока в 8 классе.
Учитель: Рыбникова М.Н.
Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений.
Цель: обучение решению задач с помощью квадратных уравнений, развитие
логического мышления, воспитание внимания и умения слушать и отвечать на вопросы,
корректировать речь и произношение.
Задачи: знать формулу корней квадратного уравнения и уметь применять ее при
решении уравнений, уметь составлять уравнение по условию задачи, внимательно читать
вопрос при записи ответа, следить за словесным ударением и правильным произношением
звуков.
Оборудование: компьютер, раздаточный материал.
Ход урока.
I.
Организационный момент.
Сообщение темы, цели и задач урока.
Тема урока: “Решение задач с помощью квадратных уравнений”. Цель нашего
урока: научиться решать задачи с помощью квадратных уравнений. Чтобы достичь этой
цели, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения, составлять уравнения по условию
задачи и, конечно же, следить за речью, правильным произношением звуков, правильным
ударением. Запишите тему урока.
II.
Актуализация знаний.
Учитель.
Выполним тест, вы пишите номер задания и ответ.
1) Какое из уравнений является квадратным?
а) 4 – 3х = 0; б) 5х2 – 2х + 3 = 0;
в) 2х4 – 5х2 = 0
2) Назовите коэффициенты а, b и свободный член с в уравнении
2 – 5х + 3х2 = 0
3) Запишите формулу дискриминанта.
4) Установите соответствие
а) Д ˃ 0
1) корней нет
б) Д = 0
2) два корня
в) Д ˂ 0
3) один корень
5) Вычислите дискриминант квадратного уравнения
2х2 – 3х – 2 = 0
6) Составьте уравнение решения задачи:
Одна сторона прямоугольника на 5 м больше другой, а его площадь равна 84 м2.
Найти стороны прямоугольника.
Ответы к тесту.
1) (б);
2) а=3; b=-5; с=2;
3) D=b2-4ac;
4) а) Д ˃ 0 - два корня
б) Д = 0 - один корень
в) Д ˂ 0 -нет корней
5) 25;
6) х(х+5)=84.
III. Работа по теме.
Дома вы повторили формулу площади прямоугольного треугольника. Сейчас она
нам будет нужна при решении задачи.
- Чему равна площадь прямоугольного треугольника?
Решаем задачу: площадь прямоугольного треугольника равна 180 см2. Найти
катеты этого треугольника, если один катет больше другого на 31 см.
Вспомним порядок действий при решении задачи на составление уравнения:
1) Выберем неизвестное, которое обозначим через х.
2) По условию задачи запишем алгебраические выражения.
3) Составим уравнение.
4) Решим его.
5) Анализируем, подходят ли корни уравнения по условию задачи.
6) Если мы получим ответ на вопрос задачи, то делаем проверку.
7) Записываем ответ.
Запомни! Прежде чем записать ответ – прочитай еще раз вопрос задачи.
Ученик у доски выполняет I часть решения.
Обозначим меньший катет через х см.
Тогда другой катет равен (х + 31)см.
На основании, какого условия, можно составить уравнение?
Так как площадь треугольника по условию задачи равна
180 см2, пользуясь формулой, составим уравнение
.
Освободимся от знаменателя. Умножим обе части уравнения на 2:
,
х(х + 31) = 360,
х2 + 31х – 360 = 0,
х1,2 = -
,
х1 = - ,
х2 = = -
= - 40.
Учитель. Значение х=-40 . По условию х ˃ 0, значит (– 40) не удовлетворяет
условию, поэтому длина меньшего катета равна 9 см, а длина другого катета9 + 31 = 40 (см). Проверим, чему будет равна площадь треугольника
(см2), что и сказано в задаче.
Ответ: 9 см и 40 см.
Физминутка – упражнение на осанку.
Учитель. Встали. Ноги на ширине плеч. Руки на пояс. Свести плечи максимально
вперед по направлению к груди. Исходное положение. Развести плечи максимально назад
к спине. Повторить 3 – 5 раз, в среднем темпе. Сели. Продолжаем работу.
Учитель. Послушаем исторический материал о квадратных уравнениях.
Историческая справка.
Ученик. (Еремин Сергей)
Математика отражает развитие человеческой мысли, интеллекта. А когда люди
научились решать квадратные уравнения?
Необходимость решать квадратные уравнения была вызвана потребностью решать
задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами
военного характера, а также с развитием астрономии и математики. Квадратные
уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне.
А вот, к примеру, одна из задач древнегреческого ученого Диофанта:
“Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.”
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате
индийского математика и астронома Ариабхатты в 499 г.
Багдад IX век. В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация
квадратных уравнений. Например, его задача: “Квадрат и число 21 равны 10 корням.
Найти корень” (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).
В Европе впервые квадратные уравнения были изложены в “Книге абака”,
написанной в 1202 г итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Общее правило
решения квадратных уравнений было сформулировано в Европе лишь в 1544г. М.
Штифелем.
III.
Решение текстовых задач с помощью уравнений.
Решите задачу.
Автомашина за 5 часов прошла 360 км. Первые 2 часа она шла со скоростью на
20 км/ч больше, чем остальные 3ч. С какой скоростью шла машина первые два
часа?
Пусть х км/ч – скорость автомобиля в первые два часа. Тогда
T, ч
V,км/ч
S, км
1 часть
2
Х
2х
2 часть
3
Х-20
3(х-20)
Т.к. всего по условию машина прошла 360 км, то составим уравнение
2х+3(х-20)=360
Решение
2х+3х-60-360=0
5х=300
Х=60
60 км/ч – скорость автомобиля первые два часа.
Ответ. 60км/ч
Пусть х км/ч – скорость товарного поезда. Тогда
Товарный
s
400
V
Х
Скорый
400
Х+20
T
Т.к. по условию задачи скорый поезд прошел расстояние на час быстрее товарного, то
составим уравнение
Решение
Х1=-100; х2=80
Х1 – посторонний корень
80км/ч – скорость товарного поезда
100 км/ч – скорость скорого поезда
Ответ: 80 км/ч; 100 км/ч
Пусть х км/ч – скорость второго лыжника. Тогда
1 лыжник
S
30
V
Х+3
2 лыжник
30
Х
T
Т.к. по условию задачи 1 лыжник прошел расстояние быстрее на 20 мин (1/3 ч), то
составим уравнение
Решение
Д=1089
Х1=-18; х2=15
Х1 – посторонний корень
15км/ч – скорость второго лыжника
18 км/ч – скорость первого лыжника
Ответ: 15 км/ч; 18 км/ч
АЛГОРИТМ
1. Определить неизвестное и обозначить его.
2. Составить таблицу (t,v,s)
3. Определить связь между табличными данными и условием задачи.
4. Составить уравнение.
5. Решить уравнение.
6. Проверить наличие посторонних корней.
7. Записать ответ.
Самостоятельная работа.
1) Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна 23 см, а
гипотенуза 17 см.
2) Спортивная площадка имеет форму прямоугольника, длина которого на 5 см
больше ширины, а площадь ее 1050 м2. Найдите размеры площадки.
3) Произведение двух натуральных чисел равно 221. Найдите эти числа, если одно
из них на 4 больше другого.
Ответы:
15 см и 8 см
30 см и 35 см
13 см и 17 см
Подведем итог урока.
Чем мы занимались на уроке?
Что было не понятно тебе на уроке?
Какую оценку вы бы поставили за работу на уроке? Почему?
Какую оценку поставили бы себе? Почему?
После обсуждения выставляются оценки за урок каждому ученику с учетом
результатов теста и самостоятельного решения задач.
Дома: 1) Площадь прямоугольного треугольника 52 см2. Найдите катеты этого
треугольника, если один больше другого на 5 см.
2) Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.
3) Повторить формулу, связывающую скорость, время и расстояние.
Спасибо за урок.