Трудности, возникающие при изучении тем: ... функций, решение уравнений и неравенств графическим способом, исследование функций Введение.

Введение.
Трудности, возникающие при изучении тем: исследование и построение графиков
функций, решение уравнений и неравенств графическим способом, исследование функций
с помощью производной, нахождение первообразной функции и площади криволинейной
трапеции, требуют новых подходов к организации учебного процесса. Использование на
уроках алгебры ИКТ, в частности графического пакета Advanced Grapher, математикам
позволяет с успехом решать эти задачи, наглядно демонстрировать результаты и
расширить горизонты школьной математики.
Advanced Grapher мощная и простая в использовании программа для построения
графиков и их анализа. Поддерживает построение графиков функций вида Y(x), X(y), в
полярных координатах, заданных параметрическими уравнениями, графиков таблиц,
неявных функций (уравнений) и неравенств. До 100 графиков в одном окне.
Вычислительные возможности: регрессионный анализ, нахождение нулей и экстремумов
функций, точек пересечения графиков, нахождение производных, уравнений касательных
и нормалей, численное интегрирование. Большое количество параметров графиков и
координатной плоскости. Имеет возможности печати, сохранения и копирования
графиков в виде рисунков, многодокументный настраиваемый интерфейс. Поддерживает
русский интерфейс. Пользователи из России могут в некоммерческих целях использовать
программу бесплатно.
Возможности программы Advanced Grapher и ее описание.
Программа Advanced Grapher обладает современными графическими характеристиками.
Вы можете свободно добавлять, перемещать, копировать графики и изменять их
расположение на графическом листе. Внешний вид программы:
Панель
инструментов
Главное
меню
Заголовок
окна
Рабочая
область
 Функции:
Advanced Grapher позволяет использовать следующие функции:
sin - синус
cos - косинус
tan - тангенс
cot - котангенс
atan - арктангенс
asin - арксинус
acos - арккосинус
1
abs – абсолютная величина (модуль)
sqrt - корень
ln – натуральный логарифм
lg – логарифм по основанию 10
exp - экспонента
int – целая часть числа
round – округленное значение
frac – дробная часть числа
sinh – гиперболический синус
cosh – гиперболический косинус
tanh – гиперболический тангенс
coth – гиперболический котангенс
random – счетчик случайных чисел (пример, random(x)=rnd*x, rnd –случайная величина,
0<=rnd<1)
and, or, not-логические функции

Очередность выполнения операций:
1. Функции
2. ^
3. *,/
4. +,5. >=,=,<=,<,>,<>
6. not
7. and, or, not

Постоянные (константы):
Advanced Grapher распознает число .

Переменные:
Программа позволяет использовать одну или несколько переменных, например: X, Y, A
или T (в зависимости от поставленной задачи).

Операции импорта и экспорта данных
Advanced Grapher позволяет ввод и вывод информации из других программ и файлов. Вы
можете импортировать и экспортировать следующую информацию:
 графические рисунки. Advanced Grapher позволяет:
1. Копировать графические рисунки в формате EMF или BMP в другие документы (с
помощью команд главного меню: Правка/Копировать как рисунок). Копировать в
формате EMF особенно важно, если вам необходимо экспортировать графики в
документы Microsoft Word.
2. Сохранять графические рисунки в формате EMF или BMP (с помощью команд
главного меню: Файл /Сохранить как). Когда вы копируете или сохраняете графики
как рисунки, вы можете устанавливать коэффициент масштабирования. Это
особенно важно, если вы хотите печатать графические рисунки из Advanced Grapher в
других программах.
 Табличная информация. Вы можете:
1.импортировать таблицы из текстовых файлов (с помощью команд главного меню:
Файл/Импорт таблицы).
2
2. экспортировать таблицы в текстовые файлы (с помощью команд главного меню:
Файл/Экспорт таблицы). Вы можете также копировать/вырезать/вставлять таблицы,
когда вы работаете с графиками в рабочем окне программы.
Печать графических рисунков осуществляется с помощью команд главного меню:
Файл/Печать.
Дополнительные свойства:


При создании нескольких графиков на одном графическом листе, вы можете
использовать разные цвета и тип линий, записывать легенду (формулу графика
функции) и вносить дополнительные записи в рабочую область выбранным (размером
и цветом) шрифта.
Функция может быть задана:
 в декартовой системе координат Y(X), X(Y);
 в полярной системе координат R(a);
 в параметрической системе координат X(t), Y(t).

Для решения уравнений или неравенств используется команда F(x,y)>|=|<0
3

Программа позволяет производить вычисления с помощью команды калькулятор.

Программа позволяет вычислять производную, строить ее график, находить нули
функции и экстремумы;

Advanced Grapher используется для построения касательной (нормали) к графику
функции в точке и нахождения уравнения касательной;
4
Уравнение
касательной
После построения касательной, можно найти точку пересечения касательной с графиком
функции:
5

Advanced Grapher позволяет находить площадь криволинейной трапеции и интеграл.

Advanced
Grapher
позволяет
решать
иррациональные,
показательные,
логарифмические (используются функции натурального и логарифмического
логарифмов) уравнения и неравенства;

Удобный интерфейс позволяет строить несколько графиков в одной рабочей области,
располагая графические листы различным способом:
6
Квадратичная функция
(исследование и построение графика функции).
В 9 классе, при прохождении темы: «Квадратичная функция и ее график», Advanced
Grapher имеет большие возможности для применения.
Задание 1: Построить график функции y=x2+8x+2.
Найти, используя график
 Нули функции;
 Промежутки знакопостоянства (промежутки, в которых y>0, y<0);
 Промежутки возрастания, убывания функции;
 Область значений функции.
Решение: Для того, чтобы построить график квадратичной
функции, нужно:
b
1) Найти координаты вершины параболы (m;n), где m = - , n=y(m) и
2a
отметить ее в координатной плоскости;
2) Построить еще несколько точек, принадлежащих параболе (таблицу
значений);
3) Построить график функции, соединив отмеченные точки плавной
линией.
Графическая программа позволяет выполнить это задание гораздо быстрее и проще:
7
Координаты
вершины
параболы
На уроках алгебры графики функций вида: y=ax2+n,y=a(x-m)2, y=a(x-m)2+n строили с
помощью шаблона квадратичной функции. В этой теме, правильность выполнения
построений можно проверить с помощью программы Advanced Grapher.
Задание 2: Построить в декартовой системе координат графики функций: y=4(x+2)2,
y=4(x-2)2, y=-4x2-3, y=-4x2+3, y=4(x+2)2-3, y=-4(x+1)2-2, y=-4(x-2)2+3, y=4(x-1)2-2.
Решение:
Построим графики квадратичной функции с помощью программы Advanced Grapher.
8
Тригонометрическая функция
(исследование и построение графика функции).
В 10 классе, при изучении темы: «Тригонометрические функции», мы занимались
свойствами графиков тригонометрических функций: y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, видом
этих графиков в зависимости от формулы функции и построением их графического
изображения.
x
x
Задача 3: Построить график функции y=sin2x, y=sin , y=sin2x+1, y=sin (  1) , y=2sin2x,
2
2
1
y= sin2x , y=sin(-2x),
2
y=-sin2x и сделать вывод о расположении графика тригонометрической функции от
способа задания функции.
Решение:
9
Вывод:
1. Для построения графика функции y=f(x)+a, необходимо график функции
y=f(x) перенести вдоль оси OY на вектор (0; а);
2. Для построения графика функции y=f(x-a), необходимо график функции
y=f(x) перенести вдоль оси OX на вектор (а; 0);
3. Для построения графика функции y=kf(x), k>0 необходимо график функции
y=f(x) растянуть в k раз вдоль оси OY, для k>1 или сжать в 1/k раз вдоль оси OY, для k<1;
4. Для построения графика функции y=f(kx), k>0, необходимо график функции
y=f(x) сжать в k раз вдоль оси OX, для k>1 или растянуть в 1/k раз вдоль оси OX, для k<1;
5. Для построения графика функции y=-f(x) необходимо график функции y=f(x)
симметрично отобразить относительно оси OX;
6. Для построения графика функции y=f(-x) необходимо график функции y=f(x)
симметрично отобразить относительно оси OY.
Решение иррациональных уравнений и неравенств.
При изучении темы: «Решение иррациональных уравнений и неравенств», графическая
программа Advanced Grapher может стать необходимой для решения уравнений и
неравенств графическим способом. Приведем пример:
Задача 4:
1) Решим уравнение 2 x  1  3 .
Алгебраический способ:
( 2 x  1) 2  3 2 ;
2x-1=9;
2x=10;
x=5.
10
2 *5 1  3
Проверка: если x=5, то
9 3
3  3.
Ответ: 5.
Графический способ: Рассмотрим два графика y= 2 x  1 и y=3.
Точка пересечения графиков и является решением уравнения.
11
Ответ: 5.
2) Повторяем метод интервалов и рассматриваем алгебраический и графический
способ решения иррационального неравенства.
Алгебраический способ:
Задача 5:
Решим неравенство методом интервалов
Уравнение
Т.к.
равносильно :
x  3  2 и имеет корень
, как подкоренное выражение, то
,
.
Решением нашего неравенства является интервал
Ответ:
.
.
.
Графический способ:
12
Рассмотрим два графика
График функции
Ответ:
и
выше графика функции
, при
.
.
Производная и ее геометрический смысл.
Одна из самых важных тем алгебры и начала анализа в 10-11 классах является
нахождение производной функции и ее геометрический смысл. При вычислении
производной
алгебраическим
способом
используются
формулы
и
правила
дифференцирования, которые необходимо знать. С помощью программы Advanced
Grapher можно легко определить значение производной функции и построить ее
график.
Задача 6: Найти производную функции y= x3-3*x+1 и построить ее график.
Решение:
 Построим график функции y= x3-3*x+1;
 Найдем производную этой функции;
 Построим график производной данной функции.
13
График
производной
функции
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной
функции в точке равно угловому коэффициенту касательной k к графику функции в
этой точке. Программа Advanced Grapher позволяет решать такие задачи:
1) найти угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке с
абсциссой x0;
2) написать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с
абсциссой x0;
3) построить график касательной функции.
Задача 7:
1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y= x в точке с
абсциссой x0=1.
Решение:
 Построим график функции y= x и вычислим производную функции.
14
15
 Найдем значение производной в точке x0=1.
Скопируем формулу производной (Ctrl+C), найденную программой и вставим ее (Ctrl+V)
в поле для вычисления значения производной в точке х=1, нажмем кнопку «Считать».
В поле «Итог2 – отобразится найденное значение производной в точке =0,5.
Ответ: угловой коэффициент касательной к графику функции y= x в точке с абсциссой
x0=1 равен 0,5.
Задача 8: Написать уравнение касательной к графику функции y=x2+x+1 в точке с
абсциссой x0=1 и построить ее график.
Решение:
 Построим график функции y=x2+x+1.
16
В поле «Точка касания» пишем 1, выбираем «Касательная» и жмем на кнопку «Добавить
график»..
 Найдем уравнение касательной к графику функции y=x2+x+1 в точке с абсциссой x0=1.
В открывшемся окне «Добавить график» – выбираем толщину и цвет линии будущего
графика касательной, затем жмем ОК и наслаждаемся результатом.
17
Уравнение
касательной
3. Построим график касательной функции:
Исследование и построение графика функции
с помощью производной.
Особое место в алгебре и началах анализа занимает тема: «Исследование и
построение графика функции с помощью производной». Графическая программа
Advanced Grapher делает изучение этой сложной темы понятным и интересным.
4
Задача 9: Исследовать функцию y= x + и построить ее график.
x
Решение: При решении задач такого типа используется универсальная схема
исследования функции:
1. область определения функции D(f);
2. область значения функции E(f);
3. четность (нечетность) функции;
4. горизонтальная, вертикальная асимптота;
5. нули функции;
18
6. промежутки знакопостоянства;
7. стационарные и критические точки;
8. промежутки монотонности;
9. экстремумы функции;
10.наибольшее и наименьшее значения функции.
Построим график функции и исследуем его с помощью универсальной схемы.
1. D(y)=(-∞;0) U (0;∞);
2. E(y)=( -∞;-4) U (4; ∞);
3. Функция нечетная, т.к. симметрична
относительно начала координат ( f(-x) = 4
4
x+
= -(x+ ) = f(-x) );
x
x
4. Вертикальная ассимптота:
5. Нули функции:
19
6. Промежутки знакопостоянства: y>0, при xє(0; ∞);
y<0, при xє(-∞;0).
7. Стационарные и критические точки: -2;0;2.
8. Промежутки монотонности:
функция возрастает (-∞;-2) U (2;∞);
функция убывает (-2;0) U (0;2).
9. Экстремумы функции:
10. Наименьшее значение на интервале x>0 функция y= x +
4
принимает в точке x=2,
x
f(2)=4;
Наибольшее значение на интервале x<0 функция y= x +
4
x
принимает в точке x=-2, f(-2)=-4.
Задача 10: Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
y  x2 , x  2 , y  0 .
Для решения данной задачи используем уже знакомую нам схему:
1) Построим график функции y  x 2 , затем график x  2 , а y  0 - это ось ОХ – она
уже есть на плоскости.
20
2) Проведем интегрирование с помощью программы Advanced Grapher и получим
искомый результат. В окне Определенный интеграл функции выбираем из списка,
ставим галочку
, границы интегрирования
задаем с клавиатуры и жмем Считать. В поле Итог – видим результат S=2,6666667,
причем от количества шагов результат не зависит (например,10 шагов или 100).
21
Можем добавить график со штриховкой искомой области – для этого жмем Добавить
график и на вкладке Свойства задаем стиль штриховки и цвет.
Результат видим в окне сразу же после нажатия ОК, причем в поле Списки графиков
отобразится искомая область с формулой.
Ответ: S= 2
2
примерно равно 2,6666667;
3
Замечательные кривые.
Программу Advanced Grapher можно использовать для построения замечательных кривых
и для «рисования» собственных графических картин.
Построим некоторые из замечательных кривых:
1) розы
22
3) циклоида и эпициклоида
4) Спирали
5) астроида, конхоида, строфоида
23
6) Декартов лист, улитка Паскаля, лемниската Бернулли
Литература:
1. А.И. Азевич. Advanced Grapher на уроке после него// Математика, №13, 2003;
2. Замечательные кривые// Математика, №24, 2002;
3. Ю. Н. Макарычев и др. Алгебра 9 класс. - М.: Просвещение, 2007;
4. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. – М.: Мнемозина, 2008;
5. Ресурсы сети Интернет:
www.alentum.com/agrapher/index.htm.
24