Задания для подготовки к экзамену По математике для 1 курса Тема: Вычисление производной функции. Задание 1. Применяя формулы вычисления производной вычислить производные следующих функций: 1 ́ − 3); 1.1 у = (2𝑥 1.2 𝑦 = (3𝑥 + 2); 1.3 𝑦 = (−2 + 3𝑥); 𝑥 1.5 у = 𝑥15 ; 1.6 𝑦 = 𝑥 −4 1 1.8 y=2𝑥 4 ; 1.9 y=2𝑥 −3; 1.4 𝑦 = (3 + 4) 1.7 𝑦 = 7 𝑥 7 ; 1 3 5 1.10 y= ; 1.11 y= 6 ; 1.12 y= 3 ; 𝑥 𝑥 𝑥 Задание 2: Найдите производные функций, применяя первое правило дифференцирования: (𝒇 ± 𝒈)′ = 𝒇′ ± 𝒈′ 1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 0,5 𝑥 8 + 𝑥 3 1 2) f(x) =2𝑥 − 𝑥 2 +3 𝑥 3 ; 1 3) 𝑓(𝑥) = 5 𝑥 5 − 3√𝑥 + 3; 4) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑡𝑔𝑥; 5) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑥 + 0,1; Задание 3: Найдите производные функций, применяя второе правило дифференцирования: (𝒇 ∙ 𝒈)′ = 𝒇′ ∙ 𝒈 + 𝒇 ∙ 𝒈′ 1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 2) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥; 3) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ (𝑥 − 2); 4) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ∙ (𝑥 5 − 5); 5) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2) ∙ 𝑐𝑜𝑠6𝑥. Задание 4: Найдите производные функций, применяя третье правило 𝒇 дифференцирования: (𝒈) ′ = 1) 𝑓(𝑥) = 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +2 𝑥−1 2𝑥−1 𝑥2 𝑒𝑥 𝒇′ ∙𝒈−𝒇∙𝒈′ 𝒈𝟐 ; ; 3) 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1 ; 𝑠𝑖𝑛𝑥 4) 𝑓(𝑥) = 3𝑥+1 ; 2𝑥+1 5) 𝑓(𝑥) = ; 𝑥 Задание 5: Найдите производные сложных функций. 1) 𝑓(𝑥) = √5𝑥 + 2; 2) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 3)6 ; 3) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥 + 𝜋); 4) 𝑓(𝑥) = (6𝑥 − 1) ∙ 𝑠𝑖𝑛6𝑥. 𝑐𝑜𝑠3 𝑥 5) 𝑓(𝑥) = x2 . Задания для самоконтроля: Найдите производные функций 1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 − 𝑥 + 4; 2) 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑒 𝑥 ; 1 3𝑥+2 3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 ; 4) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 2)5 ; 5) 𝑓(𝑥) = (5𝑥 − 2) ∙ 𝑐𝑜𝑠5𝑥. Найти значения обратных тригонометрических функций: 1 √3 ; arccos ( ) ; 2 2 √3 arc𝑐𝑜𝑠 + arctg√3; 2 √2 1. arcsin 2. 3. arcsin − arcctg(−√3); 2 √2 ); 2 √3 4. arccos(− arcsin (− √3 ); 2 5. arccos ( ) ; 2 6. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 (− 1. cosx = 2. 𝑐𝑡𝑔𝑥 − √3 ; 2 1 √3 1 ); √3 Решить уравнения: = 0; 3. 2𝑠𝑖𝑛𝑥 = √2; 𝜋 4. 2𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 + ) − 1 = 0; 3 5. 𝑡𝑔2 𝑥 + 𝑡𝑔𝑥 = 0 √3 ; 2 6. sinx = 7. 𝑐𝑡𝑔𝑥 = − 1 √3 ; 8. 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3 = 0; 𝜋 9. tg (𝑥 − ) = 1; 4 2 10.с𝑡𝑔 𝑥 − 2с𝑡𝑔𝑥 = 0 11.cosx = 12.𝑐𝑡𝑔𝑥 − √3 ; 2 1 √3 = 0; 13.2𝑠𝑖𝑛𝑥 = √2; 𝜋 14.2𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 + ) − 1 = 0; 3 15.sinx = 16.𝑡𝑔𝑥 = √2 ; 2 1 ; √3 17.2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2 = 0; 𝜋 1 18.cos (𝑥 − ) = ; 3 √3 − ; 3 2 19.ctgx = 20.2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 = 0 2 21.𝑠𝑖𝑛4𝑥 = 0; 𝜋 22.4𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + ) − 2√3 = 0 3 𝑥 23.𝑠𝑖𝑛 − 2 √3 2 = 0; Решить неравенство методом интервалов: (2х − 1)(х + 3)(2х + 4) > 0 (2x−4)(x+2) 3x−1 ≤0 (х − 1)(х + 2)(х − 4) < 0 x 2 + 4x − 5 ≥ 0 Применение производной функции. Задание 1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции 𝑓(𝑥) = 1 (3𝑥 − 1)5 в точке с абсциссой х 0 = 1 . 5 Задание 2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)= 1 4 𝑥 − 2𝑥 2 +3 в точке с абсциссой х 0 = 3 . 4 Задание 3. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x)= 𝑥 3 +3𝑥 2 - 2 в точке с абсциссой х 0 = - 2 . Задание 4. Тело движется по закону 𝑥(𝑡) = 2𝑡 2 − 3𝑡 − 3. Найдите скорость и ускорение в момент времени t, в какой момент времени тело остановится. Чему равно ускорение в момент времени 2 с.? Задание 5. Тело движется по закону 𝑥(𝑡) = sin 3𝑡. Найдите скорость тела в момент 𝜋 времени t= 3 . Задание 6. 1) Дана функция: 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 2 +1 𝑥 4 . Найдите ее критические точки. 2) Дана функция: 𝑓(𝑥) = 4 𝑥 − 𝑥 2 + 3. Найдите ее критические точки. Задание 7. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: 1. 𝑓(𝑥) = 0,5𝑥 4 − 𝑥 2 . 2. 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 2. 3. Задание 8. Найдите точки экстремума функции: 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥; 2. 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 2 − 𝑥; 3. 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥 3 + 3. 3 Задания для самоконтроля. 1. Найти угловой коэффициент касательной проведенной к кривой 𝑦 = √𝑥 − 2+3𝑥 3 в точке касания М(1;1). 2. Составить уравнение касательной проведенной к кривой 𝑦 = 𝑥 3 − 2𝑥 + 3 в точке с абсциссой 𝑥0 = 2. 𝑥3 3. Найти тангенс угла наклона касательной проведенной к кривой 𝑦 = 3 в точке с абсциссой 𝑥0 = 0.1 4. Точка движется прямолинейно по закону x(t)= 2𝑡 3 + 𝑡 2 − 5. Найти скорость в момент времени 𝑡 = 2. В какой момент времени тело остановится. 5. Точка движется прямолинейно по закону x(t)= 3𝑡 4 + 4𝑡 3 − 1. Найти ускорение в момент времени 𝑡 = 1. 6. Найдите точки экстремума функции 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥 3 + 3. Задание. Исследовать функцию и построить график 1. 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥; 2. 𝑦 = 𝑥 2 − 5𝑥 − 6; 3. 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1; 4. 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 3 ; 5. 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥; 6. 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 2; 7. 𝑦 = 3𝑥 − 2𝑥 2 ; 8. 𝑦 = 𝑥 3 − 8; 9. 𝑦 = 4𝑥 2 + 2𝑥 − 2; 10. 𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 ; 4