Об осциллирующем медленном изменении функций.

ÓÄÊ 517.518
È.Ý.Äàíèåëÿí
ÎÁ ÎÑÖÈËËÈÐÓÞÙÅÌ ÌÅÄËÅÍÍÎÌ ÈÇÌÅÍÅÍÈÈ ÔÓÍÊÖÈÉ
10. Îïðåäåëåíèå Èçìåðèìàÿ íà R+=(0,+) ôóíêöèÿ
L(t)>0 ìåäëåííî ìåíÿåòñÿ ïðè t  , åñëè äëÿ ëþáîãî
x>0 ñóøåñòâóåò ïðåäåë [1]:
L( xt ) =1 .
(1)
lim
t   L( t )
 äàëüíåéøåì ñèìâîë L ïðèíèìàåòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ
ìåäëåííîãî èçìåíåíèÿ.
Îáîçíà÷èì
L = lim L(t)
è L=
L(t) .
(2)
ëè
ìåäëåííî
ôóíêöèÿ L(t)
ìåíÿþùàÿñÿ
ñ çàðàíåå
t  
Âîïðîñ:
áåñêîíå÷íî
Ñóùåñòâóåò
îñöèëëèðóþùàÿ
çàäàííûìè L è L ?
Äëÿ ïîëîæèòåëüíîãî îòâåòà
ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ

lim
t  
íà

ýòîò
L1 t   1  at   sin 2  lne  t  , t  0 ,
âîïðîñ
ãäå
lim 1  at  lne  t    ,
âíà÷àëå
0<a(t)<1
è
(3)
t 
ìåäëåííî ìåíÿåòñÿ.
Âûêëàäêè óïðîñòÿòñÿ, åñëè âìåñòî L1 âçÿòü ôóíêöèþ


1  a t   sin 2  ln t , êîòîðàÿ
íå
ÿâëÿåòñÿ
âåùåñòâåííîé
ïðè t(0,1). Îäíàêî, ïðè t+ èõ îòíîøåíèå ñòðåìèòñÿ
ê 1.
"ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ, ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß, ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ" - Âûï. 3/2000ã.
1


1  at   sin 2  ln t ,
Äëÿ
x  1
ôèêñèðîâàííîãî


 
sin 2  ln xt   sin 2 


èìååì:

ln t  ct  x  


 sin 2 ln t  cos2  ct  x   cos 2  ln t  sin2  ct  x ,
def
ãäå 1 ln x  1  1 ln x   c t  x  
2 ln t  4 ln t 
t.
1
2
ln x  ln t  ln t 
Óñëîâèå f t   gt , t   îçíà÷àåò, ÷òî
ln x ,
ln t
f t 
 1.
t    g t 
lim
Èç íåðàâåíñòâ

 1 
1  a t   sin 2  ln xt 

1  a t   sin 2  ln t

a t 
 sin 2  ln xt   sin 2  ln t 
1  a( t )




1  at 1  2  c t  x   1  at 1   
ln x
ln t
è óñëîâèÿ (3) ñëåäóåò
óòâåðæäåíèå â ñëó÷àå
x1.
Ïåðåâåðíóâ îòíîøåíèå L1(xt)/L1(t) è çàìåíèâ xt íà t,
óáåæäàåìñÿ â ñïðàâeäëèâîñòè óòâåðæäåíèÿ ïðè 0<x<1.
Ïóñòü
÷èñëà
L è L
(ãäå
L < L ) çàäàíû.
a) Ïðè
L <+ óñëîâèþ (3) óäîâëåòâîðÿåò
L >0 è
ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ ôóíêöèÿ
L(t)=1/2 L + L L1(t) ,
t>0,
ãäå
a(t)=( L -
L )/( L + L ).
Ïðè ýòîì âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû L è L
äîñòèãàþòñÿ íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ tn+=exp(n+1/4)2-e
è
tn-=exp(n--1/4)2-e,
n1
ñîîòâåòñòâåííî.
2
á) Ïðè
óñëîâèþ (3) óäîâëåòâîðÿåò
L =0 è L <+
ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ ôóíêöèÿ
L(t)=( L /2)L1 (t),
t>0,
ãäå a(t) íå óáûâàåò,
lim a( t )  1
t  
(4)
è âûïîëíåíî óñëîâèå (3). Òàêîâà ôóíêöèÿ
a(t)=1-ln(e+t)}-1/2,
(0,1/2); t>0,
ò.ê. ïðè (0,1/2) âûïîëíåíû óñëîâèÿ (4) è (3).
L =+ óñëîâèþ
L >0 è
ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ
ôóíêöèÿ
t>0, ãäå a(t) îïðåäåëåíî ðàâåíñòâîì
ã) Ïðè
L =+ óñëîâèþ
L =0 è
â) Ïðè
(5)
(3) óäîâëåòâîðÿåò
L(t)=2 L /L1(t),
(5).
(3) óäîâëåòâîðÿåò
ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ
ôóíêöèÿ L(t)=ln(e+t)}L1(t),
(0,1/2-), t>0, ãäå a(t) îïðåäåëåíî ðàâåíñòâîì (5).
Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê äëÿ a(t) âûïîëíåíû óñëîâèÿ (3)
è (4), òî L1 ìåäëåííî ìåíÿåòñÿ, à L, êàê ïðîèçâåäåíèå
äâóõ ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ ôóíêöèé, òàêæå ìåíÿåòñÿ
ìåäëåííî. Ïðè ýòîì, L =2 lim ln(e+tn+)=+.
n  
ñòîðîíû
0 L 
Ñ äðóãîé
lim 1-a(t)ln(e+t)= lim ln(e+t)+-
t  
t  
1/2=0.
20. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü íà êîíå÷íûõ ñåãìåíòàõ èç

â (1), âêëþ÷àåìàÿ â îïðåäåëåíèå ìåäëåííîãî
R
èçìåíåíèÿ, åñòü ñëåäñòâèå îïðåäåëåíèÿ (ñì.[1]). Ìû
ïðèâåäåì íîâîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî èçâåñòíîãî ôàêòà.
"ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ, ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß, ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ" - Âûï. 3/2000ã.
3
Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì ìåäëåííî ìåíÿþùóþñÿ ôóíêöèþ
L1 (x)=L(xln(b/a)) è îáîçíà÷èì
u=(x/a)1/ln(b/a)
è
1/ln(b/a)
v=(ay)
.
Óñëîâèÿ y+ è v+, x[a,b] è u[1,e]
ðàâíîñèëüíû.
Èç
ìåäëåííîãî
èçìåíåíèÿ
L
è
òîæäåñòâà
L( xy ) L1 ( uv ) L( ay )
âûòåêàåò ðàâíîñèëüíîñòü ðàâíîìåðíûõ


L( y )
L1 ( v ) L( y )
ïî
x[a,b]
y+
è
è
u[1,e]
L1( uv )
1
L1( v )
ñõîäèìîñòåé
ïðè
v+
L( xy )
1
L( y )
ïðè
ñîîòâåòñòâåííî.
Ïîêàæåì, ÷òî ñõîäèìîñòü (1) ðàâíîìåðíà ïî x
I=[1,e]. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ò.å. ïðåäïîëîæèì, ÷òî
íàéäóòñÿ (0,1) è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè tn è xn I,
ãäå tn+ ïðè n +, òàêèå ÷òî
L( x n  t n )
 1   ïðè âñåõ n1.
L( t n )
(6)
Äëÿ èçìåðèìûõ ïðè êàæäîì n1 ïîäìíîæåñòâ


L x  t m 
An   x  I : 1   2 
 1   3 , m  n ,
Lt m 




L x  tm  xm 
Bn   x  I : 1    1    
 1   , m  n
Ltm  xm 


ìíîæåñòâà I èìååì A1 A2, B1 B2, UAn  I, UBn
 I. Îáðàòíûå âêëþ÷åíèÿ UAn  I, UBn  I âûòåêàþò èç
îïðåäåëåíèÿ ìåäëåííîãî èçìåíåíèÿ. Èòàê, UAn=UBn=I.
4
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî    e  1  íàéäåòñÿ öåëîå
 e  1
k1 òàêîå, ÷òî m(Ak) > e-1- è m(Bk) > e-1-,
ãäå m ìåðà Ëåáåãà.
Çàôèêñèðóåì k è ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Bk0=x xk :
xBk. Òîãäà m(Bk0)=xk m(Bk). Òàê êàê
m(I\Bk)<, òî
0
0
m(I\Bk )<xk<e,
è,
çíà÷èò,
m(Bk )>e-1-e.
Äàëåå,
m(Bk0)+m(Ak)-m(I)>e-1-(e+1)>0. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî AkBk0
íå ïóñòî, ò. å. ñóùåñòâóåò xA âèäà x=yxk, ãäå yBk.
Èòàê, íàéäåòñÿ xAk , äëÿ
êîòîðîãî (x/xk)Bk. Â
ñèëó (7) äëÿ âûáðàííîãî x âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà:
12 
L x  tk 
1
L xk tk  
L xk  tk  
1
.


 13,

Ltk 
1
L xtk   L x / xk xk tk   1    1   
Ñëåäîâàòåëüíî,
1 
L xk t k   L xt k  L xk t k  

  1 ,

Lt k   Lt k  L xt k  
÷òî ïðîòèâîðå÷èò (6).
30. Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë
0< lim L(t)=L<+,
t  
òî
ñõîäèìîñòü â (1) ðàâíîìåðíà íà [a;+), ãäå 0<a<+ .
Îäíàêî, óòâåðæäåíèå ýòîãî òèïà ñêîðåå èñêëþ÷åíèå,
÷åì ïðàâèëî.
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè â ñîîòâåòñòâèè ñ (2) L =+ ( L = 0)
äëÿ ôóíêöèè L, òî íè ïðè êàêîì à>0 ñõîäèìîñòü â (1)
íå ìîæåò áûòü ðàâíîìåðíîé íà [a,+).
Äåéñòâèòåëüíî,
äîïóñòèì
ïðîòèâíîå,
ò.å.
ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî a0>0 è ëþáîãî >0
ñóùåñòâóåò t0()>0, òàêîå, ÷òî:
"ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ, ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß, ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ" - Âûï. 3/2000ã.
5
L( x  t )
 1   ïðè âñåõ
L( t )
tt0 ()
è x[a0,+). (8)
Âûáåðåì âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü tn, òàêóþ,
÷òî: lim L( t n )   (=0). Ïóñòü öåëîå n0 >0 òàêîâî, ÷òî
n  
t n0  t 0  
è a0  t n  t 0   ïðè âñåõ
n>n0.
n1.
Òîãäà


Îáîçíà÷èì x n  t n t n ,
0
xn+
ïðè
n+.
def ____
Ñ îäíîé ñòîðîíû, â ñèëó (8), I  lim L xn  t n0   1   ,
n   Lt n0 
à ñ äðóãîé - I  lim L( t n )  1   .
n   L( t n0 )
Çàìå÷àíèå 2. Åñëè â ñîîòâåòñòâèè ñ (2) L < L
äëÿ
ôóíêöèè L, òî íè ïðè êàêîì a>0
ñõîäèìîñòü â (1) íå
ìîæåò áûòü ðàâíîìåðíîé íà a,+).
Äåéñòâèòåëüíî,
äîïóñòèì
ïðîòèâíîå,
ò.
å.
ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñïðàâåäëèâî (8). Âûáåðåì âîçðàñòàþùèå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
t n 
tk 
è
lim Lt k   L
k  
òàêèå, ÷òî:
è
lim Lt n   L .
n 
Ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âîçðàñòàþùèõ öåëûõ ÷èñåë
k(n), òàêàÿ, ÷òî:
lim t k n  t n   .


н  


Îáîçíà÷èì x n  t k n  t n . Òîãäà
xn+
ïðè
n+
è
6
lim
n  
Ñ

äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî (8),
÷òî ïðè

L( x n t n )
L( t' k ( n ))
 1  lim
1 1 L/ L 0.
n  
L( t n )
L( t n )
lim
n  
(9)
L( x n t n )
1  ,
L( t n )
  (0,1- L / L ) ïðîòèâîðå÷èò (9).
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
1. Ñåíåòà Å. Ïðàâèëüíî ìåíÿþùèåñÿ ôóíêöèè. –Ì.: Íàóêà,
1985, -141 ñ.
"ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ, ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß, ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ" - Âûï. 3/2000ã.
7