Medvedev_AE

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ КРОВИ ПРИ ТЕЧЕНИИ
В МЕЛКИХ СОСУДАХ
А.Е. Медведев
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН
630090, Новосибирск,
e-mail: medvedev@itam.nsc.ru
Введение. Течение крови имеет ряд особенностей – в крупных кровеносных сосудах (более 1000 микрон) кровь ведет себя как ньютоновская вязкая несжимаемая жидкость, для более мелких сосудов необходимо учитывать реологические неньютоновские
свойства течения крови [1]. Поэтому для математического описания течения крови в
крупных сосудах обычно используется модель вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости, а для мелких кровеносных сосудов – различные реологические модели неньютоновской жидкости.
Особенности течения крови. Кровь (с точки зрения механики) представляет собой
суспензию, состоящую из плазмы (вязкая несжимаемая жидкость) и эритроцитов (двояковогнутые деформируемые диски размером 8 мкм на 2.5 мкм, заполненные гелем). Одной из основных характеристик крови является показатель гематокрита H – объемное
содержание эритроцитов в крови. Течение крови в сосудах отличается особенностями
(эффектами): I) зависимость показателя гематокрита от диаметра сосуда (эффект Фареуса); II) существование пристеночного слоя плазмы без эритроцитов; III) тупой (по сравнению с профилем течения Пуазейля) профиль скорости крови; IV) вязкость крови падает с уменьшением размера сосуда (эффект Фареуса-Линдквиста.
Модель течения крови. Рассмотрим кровь как суспензию, состоящую из двух
несжимаемых фаз. Первая фаза – плазма крови, вторая – эритроциты. Относительная
вязкость суспензии зависит от концентрации и, согласно формуле Эйнштейна, имеет
вид
   1  1  n  m2  m2 ,
(1)
где m2  H – объемная доля эритроцитов (локальный показатель гематокрита),  , 1
– динамическая вязкость крови и плазмы, соответственно.
Известно ([2]), что эритроциты неравномерно распределены по сечению сосуда,
то есть объемная доля эритроцитов m2  r  зависит от радиуса. Решение уравнений,
аналогичных уравнениям Пуазейля, но с переменной вязкостью, дает скорость крови
w     wmax  M 1  M   ,

M     2    d  ,
(2)
0
где   r r0 – безразмерный радиус, wmax – максимальная скорость течения Пуазейля.
Скорость крови w   имеет более тупой профиль, по сравнению с параболическим


решением Пуазейля wP    wmax 1   2 . Это связано с тем, что концентрация эритроци Медведев А.Е., 2011
тов m2 имеет максимум на оси сосуда и минимум на стенке. В силу этого относительная
вязкость  (1) имеет максимум на оси и минимум на стенке сосуда. Тогда в центре сосуда (при   0 ) имеем M 1  1 , отсюда получим w  0  wP  0 ; на стенке сосуда (при
  1 ) скорость течения крови w 1  wP 1  0 . Таким образом, профиль скорости тече-
ния крови тупой, по сравнению с профилем скорости Пуазейля.
a
b
1.0
HD=0.60
5
HD=0.45
0.9
HD=0.30
HD=0.10
4
0.8
rel
HT
3
0.7
HD=0.50
HD=0.30
HD=0.10
0.6
2
1
0.5
10
d0 (мкм)
100
10
1000
100
1000
d0 (мкм)
Рис. 1. Зависимость отношения показателей гематокрита H T H D (a) и относительной наблюдаемой вязкости  rel (b) от диаметра сосуда d 0 для фиксированных значений показателя гематокрита H D . Значки – экспериментальные данные из [2] для стеклянных трубок. Линии (a) –
аппроксимация экспериментальных точек [2], линии (b) – относительная наблюдаемая вязкость,
рассчитанная по предлагаемой модели.
Для простоты примем, что распределение объемной доля эритроцитов m2 по
сечению сосуда задается ступенчатой функцией:
m
m2     20
0
при
при
0    1 h,
1  h    1,
(5)
где h – относительная толщина пристеночного слоя плазмы, m20 – объемная доля
эритроцитов на оси сосуда.
Эффект образования пристеночного слоя связан с поперечной миграцией эритроцитов при движении по сосуду. В механике суспензий это явление называется эффектом
Сегре-Зильберберга. Толщина пристеночного слоя зависит от диаметра трубы, свойств
несущей жидкости и частиц. Поведение эритроцитов во время движения кардинально
отличается от твердых частиц – эритроциты могут деформироваться и слипаться, образую “монетные столбики”. Для нахождения уравнения состояния крови были взяты экспериментальные данные по зависимости показателя гематокрита от диаметра сосуда
(рис. 1a).
Задача нахождения уравнения состояния крови сводится к решению алгебраического уравнения на толщину пристеночного слоя h и объемной доли эритроцитов m20 :


(5)
функция,
аппроксимирующая
1  1  1   m20  x 2  2  d0 , H D  1  1  1 2  m20  x ,
x  1  h   H D   d0 , H D  m20 ,
экспериментальные данные на рис. 1a.
2
где
  d0 , H D 
–
a
b
0.8
HD=0.45
w(r)
wP(r)
HD=0.40
0.6
HD=0.20
w (мкм/сек)
h
45% [3]
20% [3]
40% [3]
10% [3]
0.4
эксперимент
8000
HD=0.10
4000
0.2
0.0
0
20
40
60
80
d0 (мкм)
100
120
140
0
4
8
12
16
20
24
r (мкм)
Рис. 2. (a) Зависимость относительной толщины пристеночного слоя плазмы h от диаметра сосуда
d 0 для 4-x значений показателя гематокрита H D . Точки – эксперименты из [3]. Сплошные линии
– расчет по предложенной модели. (б) Сравнение экспериментального (точки из [4]) и расчетного
по (2) (сплошная красная кривая) распределения скорости крови в стеклянной трубке диаметром
54.2 мкм ( H D  0.335 , градиент давления  dp dz  3809 дин/см3). Синяя линия – скорость течения Пуазейля.
Выводы. Проведено сравнение с известными экспериментальными данными [13] по относительной наблюдаемой вязкости rel (рис. 1a), по толщине пристеночного
слоя h (рис. 2a) и профилю продольной скорости крови w (рис. 2b). Как видно из рис. 1
и 2, несмотря на грубое приближение профиля локального гематокрита ступенчатой
функцией (5), результаты расчета по модели находятся в рамках погрешности экспериментальных измерений.
Получена зависимость вязкости крови от диаметра сосуда для описания течения
в сосудах диаметра больше 4.5 микрон. Данные зависимости имеют единые вид для
сосудов всех размеров и переходят в формулы течения Пуазейля при больших диаметрах сосудов.
Работа выполнена при поддержке междисциплинарного интеграционного проекта
СО РАН № 91.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левтов В.А., Регирер С.А., Шадрина Н.Х. Реология крови. М.: Медицина, 1982. 272 с.
2. Pries A.R., Secomb T.W. In: Handbook of Physiology: Microcirculation. Ed. Tuma R.F., Dura W.N., Ley K. 2nd
ed. Academ Press. 2008. P. 3–36.
3. Sharan M., Popel A.S. A two-phase model for flow of blood in narrow tubes with increased effective viscosity near
the wall // Biorheology. 2001. V. 38. P. 415–428.
4. Long D.S., Smith M.L., Pries A.R. et al. Microviscometry reveals reduced blood viscosity and altered shear rate
and shear stress profiles in microvessels after hemodilution // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2004. V. 101. N. 27.
P. 10060–10065.