Введение - Казанский государственный архитектурно

УДК 624.04 (075)
ББК 38.112
Г 96
Г96
Методические указания к выполнению работы «Расчет стержневых
систем с помощью полной системы уравнений строительной механики»/
Сост. С.В. Гусев, Казань: КГАСУ, 2012. – 19с.
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского
государственного архитектурно-строительного университета
В методических указаниях приведен пример построения дискретной
модели для расчетной схемы и алгоритм проектировочного расчета по
подбору сечений.
Рецензент
Доктор
физико-математических наук,
профессор, заведующий
кафедрой сопротивления материалов и основ теории упругости
Р. А. Каюмов
УДК 624.04 (075)
ББК 38.112
© Казанский государственный
архитектурно-строительный
университет, 2012
© Гусев С.В., 2012
2
Введение
Полная система уравнений строительной механики включает в себя
статические (1), геометрические (2) и физические уравнения (3)


AS + P = 0 ,
(1)


A U+  =0,
T
(2)


BS =  ,

(3)



где, U , P - векторы узловых перемещений и нагрузок, S ,  - векторы
усилий и деформаций в стержневых элементах, А, В - матрицы равновесия
и податливости, “Т” – операция транспонирования.
Решение системы уравнений (1) - (3) сводится к решению системы
алгебраических уравнений


K U  P,
(4)
где K  A B 1 AT – матрица жесткости элементов. Исходными данными

являются вектор P , матрицы А и В. В результате решения системы (4)

получается вектор перемещений U , по которому из (2) отыскивается


вектор деформаций  , затем из (3) – вектор усилий S .
В методических указаниях приведен пример построения дискретной
модели для расчетной схемы и алгоритм проектировочного расчета по
подбору сечений.
3
1. Выбор расчетной модели
Расчетная модель представляет собой набор элементов различного
типа. Для получения расчетной модели заданная система изображается в
виде элементов с шарнирными и жесткими узлами по концам (рис.1).
Элементы еi нумеруются в произвольном порядке.
Рис.1
Для примера (рис. 6а) расчетная модель состоит из двух гибридных
элементов (е1, е2) и одного балочного е3. Консольный стержень 2-5 не
включен в число элементов, поскольку точка 5 не является узлом. Узел –
это точка, в которой элемент граничит с другими элементами системы или
опорными связями. Эпюра моментов на консоли не зависит от реакций
остальных опор и приведена в таблице 1 решение 2.
2. Построение вектора перемещений
Длина вектора перемещений равна числу степеней свободы узлов.
Свободный жесткий узел, как тело, обладает на плоскости тремя степенями
свободы, шарнирный, как точка на плоскости, – двумя (на рис. 1, W –
число степеней свободы).
В расчетной модели примера (рис. 6б) два шарнирных (в точках 1 и 4)
и два жестких (в точках 2 и 3) узла обладают десятью степенями свободы
U
101
( x1 , y1 ,
x2 , y2 ,  2 ,
x3 , y3 ,  3 ,
x 4 , y4 ) ,
(5)
где x i , y i - линейные и  i - угловые перемещения узлов. На узлы
наложены пять опорных связей, которые делают пять перемещений
нулевыми (рис.2).
4
Рис. 2
В искомом векторе
перемещения узлов.
перемещений
U ( x1 ,
51
записываются
x 2 , y 2 ,  2 , y4 )
ненулевые
(6)
Вводится базис перемещений (рис. 6в), по которому определяются
положительные направления для построения перемещения узлов расчетной
модели по вектору U. По этому же базису определяются знаки проекций
вектора Р и знаки слагаемых в уравнениях равновесия, которые
реализуются матрицей равновесия А .
3. Построение вектора нагрузок
Вектор узловых нагрузок является двойственным к вектору
перемещений, т.е. имеет одинаковую структуру. Если U имеет структуру
(6), то Р имеет аналогичный вид
( Px1 , Px 2 , Py 2 , M 2 , Py 4 ) .
P
51
(7)
Нагрузки, приложенные не в узлах системы, переносятся в узлы
статически эквивалентно с помощью таблицы 1. Эквивалентные узловые
усилия равны по модулю реакциям опорных связей.
В примере для приведения внеузловых нагрузок к узлам в элементах
1
е и е3 расчетной модели применяются табличные решения № 6 и 7
таблицы 1, для консоли – стандартное решение №2 (рис. 6г) .
После приведения нагрузок к узловым, значения вектора Р
определяются как проекции и моменты сил, приложенных к узлам по
направлению степеней свободы этих узлов (рис. 6д). Знаки проекций и
моментов элементов вектора усилий определяются согласно выбранному
базису (рис. 6в).
Расчетный изгибающий момент M P выбирается максимальным
среди изгибающих моментов, образующих вектор нагрузок (рис. 6е).
5
4. Вектор усилий
На основании принципа независимости действия сил, эпюра
моментов представляется в виде суммы эпюр моментов от узловых и
внеузловых нагрузок.
В примере для построения Мвнеузл (рис. 6з) для элементов е1 и е3
расчетной модели (рис. 6б) применяются табличные решения № 6 и 7
таблицы 1, для консоли – стандартное решение №2. На элементе 2
Мвнеузл=0, так как на него нагрузок не приложено.
Длина вектора усилий зависит от количества и типа элементов
расчетной модели. В балочных элементах три неизвестных усилия (N, MН,
MК), в гибридных – два (N, M), в ферменных – одно (N).
В примере первые два элемента гибридные, третий - балочный.
Длина вектора усилий равна 2+2+3=7, а сам вектор имеет вид:
S (N1, M1к, N2, M2к, N3, M3н, M3к).
(8)
7 1
Если принять в элементе положительные направления внутренних
усилий как в балке (М > 0, если растянуты нижние волокна), то
положительные значения моментов откладываются снизу от оси элемента
(рис. 3). На каждом элементе расчетной модели обозначается «н» - начало,
и «к»- конец, тогда базис моментов располагается снизу от оси элемента.
Для вертикальных элементов аналогично.
Рис.3
Правильность задания векторов перемещений и усилий можно
проверить. Разность между длиной вектора усилий и вектора перемещений
должна совпадать со степенью статической неопределимости системы.
В примере длина вектора перемещений равна 5, вектора усилий -7.
Система два раза статически неопределима:
6
W  3  Д  2  Ш  С 0 = 3·1 – 5 = -2,
где W – число степеней свободы сооружений, Д – число дисков, Ш –
количество шарниров между дисками, С0 – число опорных связей.
Соотношение 7-5=2 выполняется.
5. Матрица равновесия
С помощью матрицы равновесия А реализуются уравнения
равновесия (1) узлов расчетной модели. Число строк матрицы совпадает с
числом степеней свободы узлов, то есть длиной вектора U. Каждая строка
матрицы равновесия отражает уравнение равновесия узла по его степени
свободы. Каждое уравнение равновесия узлов реализуется в виде суммы
произведений коэффициентов из строки матрицы А на вектор-столбец
внутренних усилий S, поэтому количество столбцов равно длине вектора.
Порядок уравнений соответствует порядку степеней свободы в
векторе перемещений. В примере второй элемент вектора перемещений х2, тогда вторая строка матрицы равновесия соответствует уравнению
проекций внутренних усилий и узловых сил на ось х для узла 2 (рис. 6и).
Fx 2  0 ;  N 1  Q2  Q3  Px 2  0,
(9)
Поперечные силы Q1, Q2 выражаются через моменты, взятые из
базиса моментов (рис. 6з), по формуле Журавского (рис. 6к) и
подставляются в (9). Слагаемые располагаются в соответствии со
структурой вектора усилий (8), причем усилия, которые не участвуют в
уравнении (9) умножаются на нулевые коэффициенты. После подстановки
получаем
Fx 2  0;  1  N 1  0  M1 К  0  N 2  0.5  M 2  0  N 3 
 0.2  M 3  0.2  M 3  Px 2  0.
(10)
Коэффициенты уравнения (10) являются второй строкой матрицы
равновесия. При записи уравнения моментов, направления моментов,
действующих на узел, согласуются с базисом моментов (рис. 6з).
Например, момент М2к (рис. 6и) направлен по часовой стрелке, поскольку
он растягивает левые волокна, так как в базисе моментов эпюра
расположена слева от второго элемента.
Для удобства слева от матрицы А можно писать название уравнений
равновесия узлов, сверху – название элементов вектора усилий, на которые
умножается строка матрицы равновесия.
7
6. Матрица податливости
С помощью матрицы податливости В реализуется закон Гука (3),
который связывает вектор внутренних усилий элементов S с двойственным
ему вектором деформаций  . Матрица В является блочной и диагональной
(рис. 4). Если элемент балочного типа, то соответствующий блок имеет
размер 3  3 и реализует три зависимости:
l
(11)
L 
N ,
EA
l
l
(12)
 H 
 MH 
 MK ,
3 EI
6 EI
l
l
(13)
 K 
 MH 
 MK ,
6 EI
3 EI
где L ,  H ,  K - изменения длины и углов поворота начала и конца
балочного элемента. Зависимости (11)-(13) отражены в третьем блоке
матрицы В (рис. 4). Для гибридного элемента размер блока 2  2, для
ферменного элемента блок состоит из одного числа. В примере первыми
обозначены два гибридных элемента, третий – балочный, соответственно,
матрица В состоит из двух блоков 2  2 и одного блока 3  3 (рис. 4).
Рис. 4
Для задания компонентов Вij требуются геометрические
характеристики: длина элемента l, площадь A и момент инерции сечения Iх,
8
которые нужно определить. Их подбор в проектировочном расчете
осуществляется итерационно, то есть по шагам. На первом шаге из условия
прочности для всех элементов подбирается одинаковый размер сечения:
M
MP
 max  P ≤ R ,
=> W ≥
,
(14)
W
R
где R - допустимое напряжение для материала, W - момент
сопротивления сечения, M P - расчетный изгибающий момент,
определенный в пункте 2. По ближайшему большему значению W из
таблицы 2 сортаментов выбирается номер двутавра и соответствующие ему
геометрические характеристики: площадь А и момент инерции Ix.
Чтобы избежать неудобств, связанных с малыми числами, при
вычислении Вij рекомендуется использовать нормирующий множитель
1/ЕА1. Нормировка матрицы податливости В не влияет на расчет вектора
усилий S. Результаты вектора перемещений необходимо умножить на
нормирующий множитель.
7. Проектировочный расчет
В результате решения системы линейных уравнений получается
вектор усилий S, значения узловых моментов которого откладываются на
базисе моментов (рис. 6з) и получается эпюра М УЗЛ (рис. 6м).
Окончательная эпюра моментов получается сложением эпюры от узловых
нагрузок (рис. 6м) с эпюрой от внеузловых нагрузок (рис. 6ж):
M ОК  МУЗЛ  М ВН .
(15)
Равновесие узла 2 должно выполняться (рис. 6о). Если оно не
выполняется, необходимо проверить правильность матрицы равновесия А.
На последующих итерациях по эпюре M OK для каждого элемента по
максимальному на элементе значению момента из условия прочности (14)
подбирается свой номер двутавра (рис. 6п) и соответствующие ему
площадь А и момент инерции Ix. Затем вычисляется новая матрица
податливости В и расчет повторяется. Итерации заканчиваются, когда
размер сечений не уточняется, и условия прочности для всех элементов
выполнены. В статически неопределимых системах значения усилий в
элементах зависят от соотношения жесткостей самих элементов. В
статически неопределимых системах более жесткие элементы
воспринимают нагрузку, разгружая соседние элементы.
9
8. Построение эпюр внутренних усилий Q, N
После прекращения итераций (номера сечений повторились), по
эпюре МОК строится эпюра поперечных сил Q (рис.6т) по формуле
Журавского
M iK  M iH
Qi  Q БАЛ 
,
(16)
li
где QБАЛ – балочное решение (рис. 5б).
Для первого элемента эпюры МОК (рис.6р) на рис. 5 приведен пример
получения эпюры Q по формуле Журавского. На участках, где эпюра
моментов линейна, в формуле (16) QБАЛ=0.
Рис. 5
Из последовательности чисел вектора усилий S выбираются значения
продольных сил для элементов, и по ним строится эпюра продольных сил
N (рис.6у). Для проверки эпюр Q, N используется равновесия узла (рис.6ф).
Для окончательной проверки по эпюрам M ОК , Q, N определяются значения
опорных реакций заданной системы и проверяется выполнение уравнений
статики.
9. Построение деформированного состояния
Деформированное состояние системы строится по вектору узловых
перемещений, взятому с последней итерации (рис. 6с). Максимальное
линейное перемещение принимается за единицу, остальные перемещения
пересчитываются по отношению к единице и затем откладываются на
чертеже
(рис.
6х).
Изгибы
деформированных
стержней
на
10
деформированном состоянии изображаются в соответствии с эпюрой
моментов M OK , учитывая, что значения моментов отложены со стороны
растянутых волокон. Согласно эпюре M OK (рис. 6р) у элемента 1
растянутые волокна – снизу, у элемента 2 – справа, у элемента 3 – нижние
левые и верхние правые. Узел 2 поворачивается по часовой стрелке. При
изображении поворотов узлов достаточно придерживаться только
направления поворота.
ВОПРОСЫ К РГР
1. Какие величины связывают статические, геометрические и
физические уравнения строительной механики?
2. Что значит задать дискретную модель системы?
3. Как происходит приведение нагрузки к узлам?
4. Как проверить правильность размеров векторов и матриц модели?
5. Что такое напряженно-деформированное состояние (НДС) системы?
6. От чего зависит число строк и столбцов матрицы равновесия? Как
классифицируется
система по кинематическому признаку в
зависимости от определителя матрицы равновесия?
7. Какие вектора дискретной модели являются двойственными?
8. Каков физический смысл элементов матрицы податливости системы?
9. Как получить элементы матрицы податливости для ферменного и
балочного элементов?
10.Каков алгоритм решения полной системы уравнений строительной
механики в случае статически определимой системы?
11.Каков алгоритм решения полной системы уравнений строительной
механики в случае статически неопределимой системы?
Литература
1. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика:
Учебник, 9-е изд. испр. – СПб.: Издательство «Лань», 2004. – 656 с.
2.
Саргсян
А.Е.,
Демченко
А.Т.,
Дворянчиков
Н.В.,
Джинчвелашвили Г.А. Строительная механика. Основы теории с
примерами расчетов: Учебник/ Под ред. А.Е. Саргсяна. – 2-е изд., испр. и
доп. - М.: Высшая школа, 2000. – 416с.
11
12
13
14
15
16
17
Таблица 2. Сталь горячекатаная. Балки двутавровые. Сортамент (ГОСТ 8239-72).
h – высота двутавра, b – ширина полки, s – толщина стенки, t – средняя толщина полки, Ix – момент инерции,
Wx – момент сопротивления изгибу, Sx – статический момент полусечения; i 
Номер
профиля
h
b
s
t
R1
R2
Площадь Масса
сечения, 1 пог.м,
см2
кг/м
мм
10
12
14
16
18
18а
20
20а
22
22а
24
24а
27
27а
30
30а
33
36
40
45
50
55
60
100
120
140
160
180
180
200
200
220
220
240
240
270
270
300
300
330
360
400
450
500
550
600
55 4,5 7,2 7,0
64 4,8 7,3 7,5
73 4,9 7,5 8,0
81 5,0 7,8 8,5
90 5,1 8,1 9,0
100 5,1 8,3 9,0
100 5,2 8,4 9,5
110 5,2 8,6 9,5
110 5,4 8,7 10,0
120 5,4 8,9 10,0
115 5,6 9,5 10,5
125 5,6 9,8 10,5
125 6,0 9,8 11,0
135 6,0 10,2 11,0
135 6,5 10,2 12,0
145 6,5 10,7 12,0
140 7,0 11,2 13,0
145 7,5 12,3 14,0
155 8,3 13,0 15,0
160 9,0 14,2 16,0
170 10,0 15,2 17,0
180 11,0 16,5 18,0
190 12,0 17,8 20,0
Справочные величины для осей
x-х
Ix ,
см
198
350
572
873
1290
1430
1840
2030
2550
2790
3460
3800
5010
5500
7080
7780
9840
13380
19062
27696
39727
55962
76806
4
2,5
3,0
3,0
3,5
3,5
3,5
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,5
4,5
5,0
5,0
5,0
6,0
6,0
7,0
7,0
7,0
8,0
12,0
14,7
17,4
20,2
23,4
25,4
26,8
28,9
30,6
32,8
34,8
37,5
40,2
43,2
46,5
49,9
53,8
61,9
72,6
84,7
100,0
118,0
138,0
9,46
11,50
13,70
15,90
18,40
19,90
21,00
22,70
24,00
25,80
27,30
29,40
31,50
33,90
36,50
39,20
42,20
48,60
57,00
66,50
78,50
92,60
108,00
I / F - радиус инерции.
Wx ,
см3
39,7
58,4
81,7
109,0
143,0
159,0
184,0
203,0
232,0
254,0
289,0
317,0
371,0
407,0
472,0
518,0
597,0
743,0
953,0
1231,0
1589,0
2035,0
2560,0
ix ,
Sx ,
Iy,
3
см
см
см4
4,06
23,0
17,9
4,88
33,7
27,9
5,73
46,8
41,9
6,57
62,3
58,6
7,42
81,4
82,6
7,51
89,8
114,0
8,28 104,0 115,0
8,37 114,0 155,0
9,13 131,0 157,0
9,22 143,0 206,0
9,97 163,0 198,0
10,10 178,0 260,0
11,20 210,0 260,0
11,30 229,0 337,0
12,30 268,0 337,0
12,50 292,0 436,0
13,50 339,0 419,0
14,70 423,0 516,0
16,20 545,0 667,0
18,10 708,0 808,0
19,90 919,0 1043,0
21,80 1181,0 1356,0
23,60 1491,0 1725,0
y-y
Wy ,
iy ,
см
6,49
8,72
11,50
14,50
18,40
22,80
23,10
28,20
28,60
34,30
34,50
41,60
41,50
50,00
49,90
60,10
59,90
71,10
86,10
101,00
123,00
151,00
182,00
см
1,22
1,38
1,55
1,70
1,88
2,12
2,07
2,32
2,27
2,50
2,37
2,63
2,54
2,80
2,69
2,95
2,79
2,89
3,03
3,09
3,23
3,39
3,54
3
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению работы:
«Расчет стержневых систем с помощью
полной системы уравнений строительной механики»
Составитель Гусев Сергей Вячеславович
Редактор Г.А. Рябенкова
Редакционно-издательский отдел
Казанского государственного архитектурно-строительного университета
Подписано к печати 15.05.12
Формат 60х84/16
Тираж 100 экз.
Печать ризографическая
Усл.-печ.л. !,19
Заказ № 282
Бумага офсетная № 1
Уч.-изд.л. 1,19
________________________________________________________________
Печатно-множительный отдел КГАСУ
420043, Казань, Зеленая, 1