Лекция 10. «Пространственная когерентность

Лекция 10. Пространственная когерентность.
Рассмотрим классическую схему Юнга, источником в которой является
щель шириной S . Выберем узкую полоску щели шириной dy , находящуюся
на расстоянии y от оси системы и найдем разность фаз для волн, идущих от
этой полоски.
Оптическая разность фаз, набираемая волнами 1 и 2 в области,
y
x
S/2
1
dy
0

d

2
-S/2
l
b
лежащей за Юнговскими щелями
1 
2 x  d
.
 l
(1)
.
В левой части схемы волны, идущие от точки с координатой y
набирают дополнительную разность фаз
2 
2 y  d
,
 b
(2)
где b -расстояние от иточника до экрана с Юнговскими щелями.
Суммарная разность фаз   1   2
Конечным образом, задача сводится к нахождению суперпозиции
интерференционных картин, образующихся при сложении волн, идущих от
разных некогерентных частей источника.
Интенсивность волн, идущих от бесконечно узкого участка щели dy ,
находящегося на расстоянии y от центра щели dI  2di(1  cos ) .
Элементарная интенсивность
di 
I0
dy ,
S
(3)
где I 0 -интенсивность света, испускаемого всей щелью.
Полагая, что волны идущие от разных участков щели некогерентны,
можем записать выражение для интенсивности интерференционной
картртины:
I
S
2
2I 0
2 y  d
)dy .
 (1  cos(1 
S S
 b
(4)
2
Выполнив интегрирование получим
S  d


 sin
2 x  d  


b
I  2 I 0 1 
 cos


S

d

l

 


b

Видность интерференционной картины
V
sin
S  d
b ,
S  d
b
(4)
.
В отличии, от решенной нами задачи о временной когерентности, в
данном случае видность интерференционной картины зависит только от
параметров источника и расстояния между щелями и не зависит от
координаты точки наблюдения. Первое исчезновение интерференционной
картины наблюдается при условии
S  d
 ,
b
(5)
или при ширине щели
b
S max 
d
,
(6)
при этом интерференционная картина исчезает во всем пространстве
независимо от координаты x .
Оценки и цифры:
  5 107 м, d  103 м, b  0.1м, Smax  5 105 м  0.05мм .
Поэтому все спектральные приборы оснащены щелевыми
механизмами, позваляющими регулировать ширину входной и выходной
щелей с точностью до тысячной доли милиметра.
Для характеристики степени когерентности введем параметр  ,
называемый радиусом когерентности. Величина данного параметра равна
максимальному расстоянию между Юнговскими щелями при котором еще
видна интерференционная картина, данный параметр является
характеристикой источника в месте построения интерференционной схемы.
I
d << 
4I0
d » 0 ,6 
d
2 I0
X¢
O
Рис.2.7. Распределение по оси
X¢
интенсивности интерференционной картины
для трех значений расстояния между щелями
Нетрудно показать, что при заданном размере источника S
 ког  d мах 
b
S
Учтя, что угловой размер источника  
выражение для радиуса когерентности:
 ког 

.

.
(7)
S
получим известное
b
(8)
Очевидно, чем меньше угловой размер источника, тем больше радиус
когерентности источника. Можно показать, что волны, идущие от точек,
отстоящих друг от друга на расстояние  , имеют разность фаз  и гасят
друг друга, чем и объясняется эффект исчезновения интерференционной
картины.
Обычные источники имеют пространственный размер и широкий
спектр, поэтому для их характеристики вводится объем когерентности:
2
V   ког
Lког
(9)
Многолучевая интерференция.
Рассмотрим теперь интерференционную картину от N когерентных
источников для случая, когда фаза n -го источника отличается от фазы
первого источника на величину n , где  - разность фаз между соседними
источниками. Согласно принципу суперпозиции комплексная амплитуда
суммарного волнового поля этих источников определяется выражением для
суммы членов геометрической прогрессии
Е  А0 e it (1  ei  ei 2  ei 3  ....  ei ( N 1) )
Амплитуда
1  exp( iN )
~ N
A   A0 exp( in )  A0
n 1
1  exp( i )
В соответствии с формулой (2.1), после преобразований получаем формулу
для интенсивности
 sin N  2  
 ,
I  I 0 


sin

2


2
(10)
где I 0 - интенсивность света, испускаемого одним источником.
В частности, когда
источники расположены на
(N-1)Δ
отрезке прямой на равном
расстоянии d друг от друга,
выражение для разности фаз
имеет вид:

2

d sin  .
(11)
Из формулы (10) легко показать,
что интенсивность излучения для
углов,
удовлетворяющих
условию   2m , или
d sin  m
(12)
2
оказывается в N больше интенсивности одного источника I 0 , т.е. в этих
направлениях наблюдаются (главные) максимумы излучения.
Интерференционные минимумы определяются равенством 0 только
числителя при не равном 0 знаменателе в выражении (2). Условия минимума:
  2 (m  l N ) или
d sin   (m  l N ) , где l  1,2,...., N  1 , то есть между главными
максимумами наблюдается  N  1 -минимум.
Распределение интенсивности при многолучевой
интерференции (N=5)
2
Интенсивность в максимуме интеренции увеличивается N раз,
ширина максимума уменьшается в N раз, что позволяет использовать
многолучевую интерференции для наблюдения узких спектральных линий.
На основе данного явления работают многолучевые интерферометры и
дифракционные решетки.