Лекция 28

1
Дифференциал функции.
1. Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью.
2. Дифференциальная функции, его геометрический смысл.
3. Свойства дифференциала, инвариантность его формы.
4. Дифференциал высших порядков.
Введение.
Дифференцирование функции есть одна из важнейших операций
математического анализа, которую мы должны поэтому тщательно изучить.
Учение о правилах дифференцирования и о свойствах производных
называется дифференциальным исчислением и составляет собой один из
основных разделов математического анализа . В первую очередь мы должны
овладеть рядом как общих правил, так и специальных приемов
дифференцирования, которые в конечном счете позволят нам находить
производные и дифференциалы весьма широкого класса функций, в том
числе – всех элементарных функций.
1. Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью.
Определение. Функция y  f (x) называется дифференцируемой в точке
x 0 , если её приращение  y в этой точке можно
представить в виде
y  Ax   (x)x
(1)
где А – некоторое число, не зависящее от x , а  (x) функция аргумента x , являющаяся бесконечно малой
при x  0 .
Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и
существованием производной в этой же точке.
Теорема1. Для того чтобы функция y  f (x) была дифференцируема в
необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную
производную.
Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и
существование производной – понятия равносильные. Поэтому операцию
нахождения производной часто называют дифференцированием.
Установим
связь
между
понятием
дифференцируемости
и
непрерывности.
Теорема2. Если функция y  f (x) дифференцируема в точке x 0 , то она
непрерывна в этой точке.
2
Замечание. Обратное утверждение неверно. Функция может быть
непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т.е. не иметь
производной в этой точке.
Например, функция y  x непрерывна в точке x0  0 , но производной в этой
y
x
 lim
 1; f (0)

x

0
x
x
точке не имеет. Действительно,
.
y
 x
x  0 lim
 lim
 1 f (0)
x 0 x
x 0 x
Если функция f (x) имеет производную в каждой точке некоторого
промежутка, то будем говорить, что функция f (x) дифференцируема на
x  0 lim
x 0
данном промежутке.
2. Дифференциальная функции, его геометрический смысл.
Рассмотрим понятие дифференциала функции, которое тесно связано с
понятием производной. Термин дифференциал происходит от латинского
слова differentia, означающего разность. Этот термин был введен
Лейбницем. Обозначается буквой d.
Пусть функция y  f (x) , дифференцируема в точке x 0 , т.е.
y  Ax   (x)x , где lim  (x)  0 . Слагаемое Ax является при x  0
x 0
бесконечно
малой
одного
порядка
Ax
 A)
x
Слагаемое  (x)x при x  0
 (x)x
 0.
порядка, чем x lim
x 0
x
с
x (ïðè A  0) ,
оно
линейного
относительно x lim
x 0
Таким образом, первое слагаемое
приращения функции y  f (x) .
бесконечно малое более высокого
(ïðè A  0) является главной частью
Определение. Дифференциалом функции y  f (x) в точке x 0 называется
главная, линейная относительно x , часть приращения
функции в этой точке:
dy  Ax
(2)
Учитывая, что A  f ( x0 ) (на основании теоремы: Для того
чтобы функция y  f (x) была дифференцируема в точке
x 0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой
точке конечную производную), формулу (2) можно
записать в виде
dy  f ( x0 )x
(3)
Пусть f ( x)  x . Тогда по формуле (3)
3
dy  ( x0 )x  ( lim
x 0
x0  x  x0
)x  1* x  x .
x
Дифференциалом независимой переменной x назовем
приращение этой переменной dx  x . Тогда формула (3)
примет вид
(4)
dy  f ( x0 )dx
Заметим, что с помощью равенства (4) производную
f ( x0 ) можно вычислить как отношение дифференциала
функции dy к дифференциалу независимой переменной,
dy
т.е. f ( x0 )  .
(5)
dx
Таким образом, если функция y  f (x) имеет производную
в любой точке x , то dy  f ( x)dx (5) и f ( x) 
dy
dx
(6)
Геометрический смысл дифференциала.
Пусть точка M на графике функции y  f (x) соответствует значению
аргумента x , точка M1  x  x , прямая MT - касательная к графику функции
y  f (x) в точке M ,  - угол между касательной и осью OX , приращение
функции y равно величине отрезка NM1 . Из прямоугольного
треугольника MNK получаем
NK  tg * x  f ( x)x  dy ,
т.е. дифференциал функции равен величине отрезка NK , причем, как видно
из рисунка величины отрезков NM1 и NK различны.
4
Таким образом, дифференциал функции y  f (x) геометрически
представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции
в точке с абсциссой x при переходе от точки касания в точку с абсциссой
x  x (в то время как приращение функции NM изображается приращением
ординаты самой кривой y  f (x) , на этом же участке).
Если x - время, а y  f (x) координата точки на прямой, в момент x , то
дифференциал dy  f ( x)x равен этому изменению координаты, которое
получила бы точка за время x , если бы скорость точки на отрезке времени
x; x  x была постоянной и равной f ( x) . Изменение скорости на этом
отрезке приводит к тому, что, вообще говоря, y  dy . Однако на малых
промежутках времени x изменение скорости незначительно и
y  dy  f ( x)x . (механический смысл дифференциала).
3. Свойства дифференциала, инвариантность его формы.
Задача нахождения дифференциала функции равносильна нахождению
производной. Следовательно, большинство теорем и формул, относящихся к
производным, сохраняет свою силу и для дифференциала.
1. dc  0 .
2. d (u  v)  du  dv .
3. d (uv)  vdu  udv, d (cv)  cdv .
u
v
4. d ( ) 
vdu  udv
.
v2
Пример.
Найти
дифференциал
функции
u  A cos( w0 t  q0 ) .
du   Aw0 sin( w0 t  q0 )dt .
Найдем дифференциал сложной функции. Пусть y  f (u ) , где u  q (x) ,
т.е.
Тогда по правилу дифференцирования сложной
y  f q(x) .
dy
 f (u )q ( x) , или dy  f (u )q ( x)dx . Но q ( x)dx  du , следовательно
dx
dy  f (u )du .
Если сравнить эту формулу с формулой dy  f ( x)dx , то можно видеть,
функции
что форма дифференциала не зависит от того, является аргументом
функцией независимой переменной или функцией от независимой переменной.
Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы
дифференциала.
Пример. y  cos x . Найти dy :
dy   sin x *
1
2 x
или dy   sin x d ( x ) .
5
4. Дифференциал высших порядков.
Дифференциалы высших порядков определяются по аналогии с
производными. Второй дифференциал d 2 y есть дифференциал от первого
дифференциала, т.е. d 2 y  d (dy) ; и вообще, d ( n) y  d (d ( n1) y) .
Найдем выражение для дифференциалов высших порядков от функции
y  f (x) , считая, что её аргумент x - независимая переменная:
d (dy )  (dy )dx  ( f ( x)dx)dx  f ( x)dxdx; или d 2 y  f ( x)dx 2 .
Здесь при дифференцировании по xdx выступает в роли постоянной
величины.
Аналогично d 3 y  f ( x)dx 3 и вообще d n y  f n ( x)dx n , (7), т.е.
дифференциал порядка n равен производной того же порядка, умноженной
на n -ю степень дифференциала аргумента. Отсюда
формула является обобщением формулы y  
y
(n)
dny
 n (8). Эта
dx
dy
и может служить удобным
dx
обозначением для производных высших порядков.
Применение дифференциала а приближенных вычислениях.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях основано на
замене приращения функции её дифференциалом y  dy . Абсолютная
погрешность при такой замене равна y  dy и является при x  0
бесконечно малой более высокого порядка, чем x .
Приращение функции y  f ( x  x)  f ( x) может сложно зависеть от x ,
и его вычисление часто сопряжено с большими трудностями. Вычисление же
f ( x)dx просто. Геометрически замена
дифференциала по формуле
приращения функции дифференциалом означает замену участка кривой в
окрестности некоторой точки отрезком касательной к этой кривой в
данной точке. Эта операция в математике получила название спрямление
кривой или линеаризации.
Приближенное равенство y  dy применяется в основном в двух
задачах:
1). Приближенном вычислении значения функции.
2). Оценке погрешностей в приближенных вычислениях.
Пусть известны значения функции y  f (x) в некоторой точке x 0 и её
производной f ( x0 ) . Требуется найти значение функции в точке x  x .
y  f ( x0  x)  f ( x0 ); dy  f ( x0 )x
f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 )x
отсюда
или
f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 )x (9).
6
Пример1. Вычислить приближено 36,32 .
y x
Решение.
Пусть
Тогда
x 0 =36.
1
1
1
Подставляя
f ( x0 )  36  6. x  36,32  36  0,32. f ( x) 
; f ( x0 ) 
 .
2 x
2 36 12
1
полученные значения в формулу (8) получим 36,32  6  * 0,32  6,026 . Итак
12
36,32  6,026 .
;
Заключение.
Определение дифференциала как главной линейной части приращения чрезвычайно важно, так как именно на нем основаны все важнейшие
применения дифференциала . Как мы увидим дальше, в случае функций нескольких переменных существование производных и существование главной
линейной части приращения не являются уже равнозначными требованиями;
и весьма замечательно, что наиболее естественным определением дифференцируемости функции там оказывается, как мы увидим, не существование
производных, а именно существование главной линейной части приращения.
Отыскание дифференциала данной функции, так же как и отыскание
ее производной, называется дифференцированием этой функции. То, что
этим двум операциям присваивается одно и то же наименование, естественно и понятно : если производная у’ найдена, то для получения дифференциала dy достаточно умножить ее на данное число ∆ х, задаваемое совершенно
отдельно и независимо от х , что, очевидно, никаких новых аналитических
расчетов уже не требует.