VGasp_MetricGeometry_2012 (новое окно)

Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Метрическая геометрия, пространства ограниченной кривизны
Metric Geometry and Spaces of Bounded Curvature
Язык обучения
русский
Трудоемкость в зачетных единицах: 2
Регистрационный номер рабочей программы:
Санкт-Петербург
2012
Раздел 1.
Характеристики учебных занятий
1.1. Цели и задачи учебных занятий.
Дать аспиранту достаточно полное представление о метрической геометрии и теории
пространств ограниченной кривизны.
1.2. Требования подготовленности обучающегося к освоению содержания учебных
занятий (пререквизиты).
Обучающиеся должны обладать знаниями по геометрии, топологии и алгебре в объеме
стандартных университетских курсов. Более конкретно необходимо знание общей топологии,
основ теории многообразий, линейной алгебры, теории групп и алгебр.
1.3. Перечень результатов обучения (learning outcomes).
Слушатели курса должны овладеть теорией и навыками использования материала курса.
Формируемые компетенции.
ОКА-1: способность применять научный подход в своей профессиональной
деятельности, разделять ценности научно-педагогического сообщества;
ОКА-2: способность работать с текстами профессиональной направленности и
сообщать о результатах своей учебной и научной работы на
английском/иностранном и русском языках;
ОКА-3: способность исполнять обязанности исследователя, в том числе проводить
научные исследования по специальности, разрабатывать и готовить к изданию
научные труды и статьи, обеспечивать обучение в индивидуальном порядке и в
форме семинаров.
1.4. Перечень и объём активных и интерактивных форм учебных занятий.
зачет 2 часа
Раздел 2.
Организация, структура и содержание учебных занятий
2.1. Организация учебных занятий
2.1.1 Основной курс
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
Трудоёмкость
Объём активных и интерактивных
форм учебных занятий
итоговая аттестация
(сам.раб.)
промежуточная аттестация (сам.раб.)
текущий контроль (сам.раб.)
сам.раб. с использованием
методических материалов
Самостоятельная работа
итоговая аттестация
под руководством
преподавателя
в присутствии
преподавателя
промежуточная
аттестация
текущий контроль
коллоквиумы
контрольные работы
лабораторные работы
консультации
практические
занятия
семинары
Период
обучения
(модуль)
лекции
Контактная работа обучающихся с преподавателем
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
2 год
обучения
34
2
36
2
ИТОГО
34
2
36
2
Виды, формы и сроки текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
Виды итоговой
аттестации
Формы текущего
(только для программ
Виды промежуточной
контроля
итоговой аттестации и
Код модуля в
аттестации
успеваемости
дополнительных
составе
образовательных
дисциплины,
программ)
практики и
Формы Сроки
Виды
Сроки
Виды
Сроки
т.п.
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
зачет, устно,
по графику
традиционная
промежуто
2 год обучения
форма
чной
аттестации
2.2. Структура и содержание учебных занятий
№
Наименование темы (раздела, части)
п/п
1
Метрические пространства.
2
Внутренние метрики.
3
Конструкции.
4
Пространства ограниченной кривизны.
5
Гладкие внутренние метрики.
6
Кривизна римановой метрики.
7
Пространство метрических
пространств.
8
Геометрия крупного масштаба.
9
Пространства ограниченной сверху
кривизны.
Пространства ограниченной снизу
кривизны.
Зачет
10
11
Вид учебных занятий
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
промежуточная аттестация
Количество
часов
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
Тема 1. Метрические пространства.
Определения. Примеры. Метрика и топология. Липшицевы отображения. Полные
пространства. Компактные пространства. Мера Хаусдорфа и хаусдорфова размерность.
Тема 2. Внутренние метрики.
Функционалы длины. Первые примеры функционалов длины. Длины, индуцированные
метриками.
Характеризация
внутренних
метрик.
Кратчайшие.
Длина и мера Хаусдорфа. Длина и скорость липшицевых путей.
Тема 3. Конструкции.
Локальность, склеивание и максимальные метрики. Полиэдральные пространства.
Изометрии и фактор-пространства. Локальные изометрии и накрытия. Отображения,
сохраняющие длины кривых. Произведения и конусы.
Тема 4. Пространства ограниченной кривизны.
Определения. Примеры. Углы в пространствах Александрова и эквивалентность
определений. Анализ дистанционных функций. Формула первой вариации. Ненулевые
ограничения на кривизну и глобализация. Кривизна конуса.
Тема 5. Гладкие внутренние метрики.
Римановы пространства. Экспоненциальное отображение. Гиперболическая плоскость.
Пространства Карно—Каратеодори. Римановы и финслеровы объемы. Неравенство
Безиковича.
Тема 6. Кривизна римановой метрики.
Мотивировка:
вычисления
в
координатах.
Ковариантное
дифференцирование.
Геодезическая и гауссова кривизны. Геометрический смысл гауссовой кривизны. Теоремы
сравнения.
Тема 7. Пространство метрических пространств.
Примеры. Расстояние по Липшицу. Расстояние по Громову—Хаусдорфу. Сходимость по
Громову—Хаусдорфу. Сходимость пространств с внутренней метрикой.
Тема 8. Геометрия крупного масштаба.
Пределы по Громову—Хаусдорфу для некомпактных пространств. Касательный и
асимптотический конусы. Квазиизометрии. Гиперболические по Громову пространства.
Периодические метрики.
Тема 9. Пространства ограниченной сверху кривизны.
Определения и локальные свойства. Пространства Адамара. Фундаментальная группа
пространства неположительной кривизны. Пример: полурассеивающие бильярды.
Тема 10. Пространства ограниченной снизу кривизны.
Условие четырех точек. Конструкции и примеры. Теорема Топоногова. Кривизна и
диаметр. Теорема о расщеплении. Размерность и объем. Пределы по Громову—Хаусдорфу.
Локальные свойства. Пространства направлений и касательные конусы. Дальнейшая
информация.
Раздел 3.
Обеспечение учебных занятий
3.1. Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Посещение лекций.
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Основная и дополнительная литература.
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Методика проведения зачета
Зачет проводятся в устной форме. Билет состоит из двух вопросов. Один из вопросов может
быть задачей. Время подготовки ответа на вопросы билета составляет 60 минут.
Использование конспектов и учебников, а также электронных устройств хранения, обработки
или передачи информации при подготовке и ответе на вопросы экзамена категорически
запрещено. В случае обнаружения факта использования недозволенных материалов
(устройств) составляется акт и студент удаляется с зачета. После ответа на вопросы билета
преподаватель задает несколько дополнительных вопросов или задач, на основании оценки
ответов на которые решение о выставлении зачета может быть скорректировано.
Критерии выставления зачета
Зачет ставится за верно изложенный теоретический материал билета, и правильно решенные
задачи (возможно с помощью наводящих подсказок преподавателя).
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные
средства)
Список вопросов к зачету.
1. Метрические пространства. Определения. Примеры. Метрика и топология. Липшицевы
отображения.
2. Полные пространства.
3. Компактные пространства.
4. Мера Хаусдорфа и хаусдорфова размерность.
5. Функционалы длины. Первые примеры функционалов длины.
6. Длины, индуцированные метриками. Характеризация внутренних метрик.
7. Кратчайшие.
8. Длина и мера Хаусдорфа.
9. Длина и скорость липшицевых путей.
10. Локальность, склеивание и максимальные метрики.
11. Полиэдральные пространства.
12. Изометрии и фактор-пространства. Локальные изометрии и накрытия. Отображения,
сохраняющие длины кривых.
13. Произведения и конусы.
14. Пространства ограниченной кривизны. Определения. Примеры. Углы в пространствах
Александрова и эквивалентность определений.
15. Анализ дистанционных функций.
16. Формула первой вариации. Ненулевые ограничения на кривизну и глобализация.
Кривизна конуса.
17. Римановы пространства.
18. Экспоненциальное отображение.
19. Гиперболическая плоскость.
20. Пространства Карно—Каратеодори.
21. Римановы и финслеровы объемы.
22. Неравенство Безиковича.
23. Кривизна римановой метрики. Мотивировка: вычисления в координатах.
24. Ковариантное дифференцирование. Геодезическая и гауссова кривизны.
25. Геометрический смысл гауссовой кривизны.
26. Теоремы сравнения.
27. Пространство метрических пространств. Примеры. Расстояние по Липшицу.
28. Расстояние по Громову—Хаусдорфу. Сходимость по Громову—Хаусдорфу.
29. Сходимость пространств с внутренней метрикой.
30. Пределы по Громову—Хаусдорфу для некомпактных пространств.
31. Касательный и асимптотический конусы.
32. Квазиизометрии. Гиперболические по Громову пространства.
33. Периодические метрики.
34. Пространства ограниченной сверху кривизны. Определения и локальные свойства.
35. Пространства Адамара. Фундаментальная группа пространства неположительной
кривизны.
36. Полурассеивающие бильярды.
37. Пространства ограниченной снизу кривизны. Условие четырех точек. Конструкции и
примеры.
38. Теорема Топоногова.
39. Кривизна и диаметр.
40. Теорема о расщеплении.
41. Размерность и объем.
42. Пределы по Громову—Хаусдорфу. Локальные свойства.
43. Пространства направлений и касательные конусы.
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
3.2. Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация штатных преподавателей и иных лиц,
допущенных к проведению учебных занятий
К проведению занятий должны привлекаться преподаватели, имеющие ученую степень
доктора или кандидата наук (в том числе степень PhD, прошедшую установленную
процедуру признания и установления эквивалентности) или ученое звание профессора или
доцента.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
Не требуется.
3.3. Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории с возможностью электронной
презентации курса.
3.3.2 Характеристики аудиторного оборудования, в том числе неспециализированного
компьютерного оборудования и программного обеспечения общего пользования
Доска для письма мелом или фломастером, мультимедийный проектор.
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
Не требуется.
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
Не требуется.
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
Мел, фломастеры для доски, губка.
3.4. Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
1. M. Gromov, Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces, электронный
ресурс, https://find.library.spbu.ru/vufind/Record/978-0-8176-4583-0
3.4.2 Список дополнительной литературы
1. Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва—Ижевск,
Инст. компьютерных исследований, 2004.
3.4.3 Перечень иных информационных источников
Раздел 4. Разработчики программы
Звагельский Михаил Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
высшей геометрии, zvag@pdmi.ras.ru