VGasp_RiemannianDiffAndMetricGeometry_2014 (новое окно)

Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Риманова, дифференциальная и метрическая геометрии
Riemannian, Differencial and Metric Geometry
Язык обучения
русский
Трудоемкость в зачетных единицах: 4
Регистрационный номер рабочей программы:
Санкт-Петербург
2014
Раздел 1.
Характеристики учебных занятий
1.1. Цели и задачи учебных занятий.
Дать аспиранту общее представление об основных разделах римановой, дифференциальной и
метрической геометрий.
1.2. Требования подготовленности обучающегося к освоению содержания учебных
занятий (пререквизиты).
Обучающиеся должны обладать знаниями по геометрии, топологии и алгебре в объеме
стандартных университетских курсов. Более конкретно необходимо знание общей топологии,
основ теории многообразий, линейной алгебры, теории групп и алгебр.
1.3. Перечень результатов обучения (learning outcomes).
Слушатели курса должны овладеть теорией и навыками использования материала курса.
Формируемые компетенции.
ОКА-1: готовность применять научный подход в своей профессиональной деятельности,
разделять ценности научно-педагогического сообщества;
ОКА-3: готовность исполнять обязанности исследователя в соответствии с научной
специальностью, в том числе обеспечение руководства обучением в индивидуальном порядке
и в форме семинаров, проведение исследований по специальности, разработка и подготовка к
изданию научных трудов и статей.
1.4. Перечень и объём активных и интерактивных форм учебных занятий.
зачет 2 часа
Раздел 2.
Организация, структура и содержание учебных занятий
2.1. Организация учебных занятий
2.1.1 Основной курс
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
Трудоёмкость
Объём активных и интерактивных
форм учебных занятий
итоговая аттестация
(сам.раб.)
промежуточная аттестация (сам.раб.)
текущий контроль (сам.раб.)
сам.раб. с использованием
методических материалов
Самостоятельная работа
итоговая аттестация
под руководством
преподавателя
в присутствии
преподавателя
промежуточная
аттестация
текущий контроль
коллоквиумы
контрольные работы
лабораторные работы
консультации
практические
занятия
семинары
Период
обучения
(модуль)
лекции
Контактная работа обучающихся с преподавателем
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
2 год
обучения
52
2
90
4
ИТОГО
52
2
90
4
Виды, формы и сроки текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
Виды итоговой
аттестации
Формы текущего
(только для программ
Виды промежуточной
контроля
итоговой аттестации и
Код модуля в
аттестации
успеваемости
дополнительных
составе
образовательных
дисциплины,
программ)
практики и
Формы Сроки
Виды
Сроки
Виды
Сроки
т.п.
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
зачет, устно,
по графику
традиционная
промежуто
1 год обучения
форма
чной
аттестации
2.2. Структура и содержание учебных занятий
№
Наименование темы (раздела, части)
п/п
Тема 1. Предварительные сведения из
1
дифференциальной геометрии.
2
Тема 2. Риманово многообразие.
3
Тема 3. Линейые связности.
4
5
Тема 4. Геодезические и
экспоненциальное отображение.
Тема 5. Геодезические в римановом
многообразии.
6
Тема 6. Полнота.
7
Тема 7. Кривизна.
8
Тема 8. Подмногообразия.
9
Тема 9. Псевдоримановы мноообразия.
10
Тема 10. Комплексные римановы
многообразия.
11
Тема 11. Формула второй вариации.
12
Тема 12. Уравнения Якоби.
13
Тема 13. Римановы многообразия
неположительной кривизны.
14
Тема 14. Индексная форма.
15
Тема 15. Теоремы сравнения.
Вид учебных занятий
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
Количество
часов
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
3
4
3
5
3
5
3
5
3
5
3
16
Тема 16. Элементы теории Морса.
17
Тема 17. Радиус инъективности и
множество раздела.
Тема 18. Римановы метрики на группах
Ли.
Тема 19. Римановы метрики на
однородных пространствах.
Тема 20. Симметрические
пространства.
Зачет
18
19
20
21
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
промежуточная аттестация
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
2
Тема 1. Предварительные сведения из дифференциальной геометрии.
Касательное пространство и касательное расслоение. Дифференциал гладкого
отображения. Погружение, вложение, субмерсия. Векторные поля на многообразии. Скобка
Ли.
Тема 2. Риманово многообразие.
Риманова структура. Длина кривой. Метрика. Объем.
Тема 3. Линейые связности.
Наводящие соображения. Ковариантное дифференцирование. Символы Кристоффеля.
Симметричная связность. Риманова связность. Связность Леви—Чевита.
Векторное поле вдоль отображения. Ковариантная производная вдоль пути. Параллельное
векторное поле. Параллельный перенос.
Тема 4. Геодезические и экспоненциальное отображение.
Геодезические. Существование геодезических. Экспоненциальное отображение.
Тема 5. Геодезические в римановом многообразии.
Формула первой вариации длины. Лемма Гаусса. Шары и кратчайшие. Длина и
кратчайшие в классе всех путей. Сходимость геодезических. Специальные координаты.
Тема 6. Полнота.
Теорема Хопфа—Ринова. Замкнутые геодезические. Лемма Берже.
Тема 7. Кривизна.
Искривленность как отличие от евклидова пространства. Преобразование кривизны.
Геометрическая интерпретация преобразования кривизны. Тензор кривизны и его
алгебраические свойства. Преобразование и тензор кривизны в локальных координатах.
Кривизна Римана. Секционная кривизна. Пространства постоянной кривизны (начальные
сведения). Кривизна Риччи и скалярная кривизна. Преобразование кривизны и параллельный
перенос. Локальная изометрия. Риманова субмерсия. Формула О’Нейла.
Тема 8. Подмногообразия.
Индуцированная связность. Вторая основная форма. Теорема Гаусса. Вторая форма
относительно нормали. Вполне геодезические подмногообразия.
Тема 9. Псевдоримановы мноообразия.
Псевдоевклидовы пространства. Псевдоримановы мноообразия. Подмногообразия в
псевдоримановом мноообразии.
Тема 10. Комплексные римановы многообразия.
Почти комплексные структуры. Комплексное многообразие. Эрмитовы и кэлеровы
многообразия.
Тема 11. Формула второй вариации.
Энергия пути. Вторая вариация энергии. Вторая вариация длины. Некоторые
применения формулы второй вариации. Теорема Синга.
Тема 12. Уравнения Якоби.
Поля Якоби. Сопряженные и фокальные точки. Сопряженные точки как критические
точки экспоненциального отображения. Об изометриях пространств постоянной кривизны.
Искажения расстояний при экспоненциальном отображении.
Тема 13. Римановы многообразия неположительной кривизны.
Теорема Картана—Адамара. Фундаментальная группа многообразий неположительной
кривизны.
Тема 14. Индексная форма.
Индексная форма геодезической и вторая вариация энергии. Индексная форма и поля
Якоби. Экстремальное свойство полей Якоби. Индекс геодезической.
Тема 15. Теоремы сравнения.
Поля Якоби при ограниченной сверху кривизне. Основная конструкция. Теоремы Рауха
и Берже. Сравнение углов треугольников. Сравнение объемов. Теорема компактности
Громова и пространства Александрова.
Тема 16. Элементы теории Морса.
Функции Морса. Пространство путей и его конечномерная аппроксимация.
Тема 17. Радиус инъективности и множество раздела.
Радиус инъективности. Точка раздела вдоль геодезической и множество раздела.
Оценки радиуса инъективности снизу. Теорема о сфере. Обзор. Различные доказательства
теоремы о сфере. Обобщения и родственные результаты.
Тема 18. Римановы метрики на группах Ли.
Группы Ли. Левоинвариантные поля и метрики. Вспомогательные предложения
Свойства биинвариантных метрик. Кривизна. Алгебра Ли группы Ли. Пример Берже.
Тема 19. Римановы метрики на однородных пространствах.
Однородные пространства. Примеры. Сдвиги. Инвариантные метрики. Римановы
однородные пространства. Признаки существования инвариантных метрик. Кривизны
римановых однородных пространств. Подъем метрики с однородного пространства на
исходную группу.
Тема 20. Симметрические пространства.
Симметрические
пространства.
Локально-симметрические
многообразия.
Трансвекции. Характеризация симметрических пространств среди однородных.
Раздел 3.
Обеспечение учебных занятий
3.1. Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Посещение лекций.
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Основная и дополнительная литература.
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Методика проведения зачета
Зачет проводятся в устной форме. Билет состоит из двух вопросов. Один из вопросов может
быть задачей. Время подготовки ответа на вопросы билета составляет 60 минут.
Использование конспектов и учебников, а также электронных устройств хранения, обработки
или передачи информации при подготовке и ответе на вопросы экзамена категорически
запрещено. В случае обнаружения факта использования недозволенных материалов
(устройств) составляется акт и студент удаляется с зачета. После ответа на вопросы билета
преподаватель задает несколько дополнительных вопросов или задач, на основании оценки
ответов на которые решение о выставлении зачета может быть скорректировано.
Критерии выставления зачета
Зачет ставится за верно изложенный теоретический материал билета, и правильно решенные
задачи (возможно с помощью наводящих подсказок преподавателя).
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные
средства)
Список вопросов к зачету.
1. Касательное пространство и касательное расслоение. Дифференциал гладкого
отображения. Погружение, вложение, субмерсия. Векторные поля на многообразии. Скобка
Ли.
2. Риманова структура. Длина кривой. Метрика. Объем.
3. Наводящие соображения. Ковариантное дифференцирование. Символы Кристоффеля.
Симметричная связность. Риманова связность. Связность Леви—Чевита.
4. Векторное поле вдоль отображения. Ковариантная производная вдоль пути. Параллельное
векторное поле. Параллельный перенос.
5. Геодезические. Существование геодезических. Экспоненциальное отображение.
6. Формула первой вариации длины. Лемма Гаусса. Шары и кратчайшие. Длина и
кратчайшие в классе всех путей. Сходимость геодезических. Специальные координаты.
7. Теорема Хопфа—Ринова. Замкнутые геодезические. Лемма Берже.
8. Искривленность как отличие от евклидова пространства. Преобразование кривизны.
Геометрическая интерпретация преобразования кривизны.
9. Тензор кривизны и его алгебраические свойства. Преобразование и тензор кривизны в
локальных координатах. Кривизна Римана. Секционная кривизна. Пространства постоянной
кривизны (начальные сведения).
10. Кривизна Риччи и скалярная кривизна. Преобразование кривизны и параллельный
перенос. Локальная изометрия. Риманова субмерсия. Формула О’Нейла.
11. Индуцированная связность. Вторая основная форма. Теорема Гаусса. Вторая форма
относительно нормали. Вполне геодезические подмногообразия.
12. Псевдоевклидовы пространства. Псевдоримановы мноообразия. Подмногообразия в
псевдоримановом мноообразии.
13. Почти комплексные структуры. Комплексное многообразие. Эрмитовы и кэлеровы
многообразия.
14. Энергия пути. Вторая вариация энергии. Вторая вариация длины. Некоторые применения
формулы второй вариации. Теорема Синга.
15. Поля Якоби. Сопряженные и фокальные точки. Сопряженные точки как критические
точки экспоненциального отображения. Об изометриях пространств постоянной кривизны.
Искажения расстояний при экспоненциальном отображении.
16. Теорема Картана—Адамара. Фундаментальная группа многообразий неположительной
кривизны.
17. Индексная форма геодезической и вторая вариация энергии. Индексная форма и поля
Якоби. Экстремальное свойство полей Якоби. Индекс геодезической.
18. Поля Якоби при ограниченной сверху кривизне. Основная конструкция. Теоремы Рауха и
Берже. Сравнение углов треугольников. Сравнение объемов. Теорема компактности Громова
и пространства Александрова.
19. Функции Морса. Пространство путей и его конечномерная аппроксимация.
20. Радиус инъективности. Точка раздела вдоль геодезической и множество раздела. Оценки
радиуса инъективности снизу. Теорема о сфере. Обзор. Различные доказательства теоремы о
сфере. Обобщения и родственные результаты.
21. Группы Ли. Левоинвариантные поля и метрики. Вспомогательные предложения Свойства
биинвариантных метрик. Кривизна. Алгебра Ли группы Ли. Пример Берже.
22. Однородные пространства. Примеры. Сдвиги. Инвариантные метрики. Римановы
однородные пространства. Признаки существования инвариантных метрик. Кривизны
римановых однородных пространств. Подъем метрики с однородного пространства на
исходную группу.
23. Симметрические пространства. Локально-симметрические многообразия. Трансвекции.
24. Характеризация симметрических пространств среди однородных.
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
3.2. Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация штатных преподавателей и иных лиц,
допущенных к проведению учебных занятий
К проведению занятий должны привлекаться преподаватели, имеющие ученую степень
доктора или кандидата наук (в том числе степень PhD, прошедшую установленную
процедуру признания и установления эквивалентности) или ученое звание профессора или
доцента.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
Не требуется.
3.3. Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории с возможностью электронной
презентации курса.
3.3.2 Характеристики аудиторного оборудования, в том числе неспециализированного
компьютерного оборудования и программного обеспечения общего пользования
Доска для письма мелом или фломастером, мультимедийный проектор.
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
Не требуется.
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
Не требуется.
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
Мел, фломастеры для доски, губка.
3.4. Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
1. J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, электронный ресурс,
https://find.library.spbu.ru/vufind/Record/978-3-540-77341-2
2. V. A. Toponogov, V. Yu. Rovenski, Differential Geometry of Curves and Surfaces A Concise
Guide, электронный ресурс, https://find.library.spbu.ru/vufind/Record/978-0-8176-4402-4
3. P. Petersen, Riemannian Geometry, электронный ресурс,
https://find.library.spbu.ru/vufind/Record/978-0-387-29403-2
4. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия. Методы и
приложения. Том 1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей, М., Дрофа,
2013.
3.4.2 Список дополнительной литературы
1. Ю. Д. Бураго, В. А. Залгаллер, Введение в риманову геометрию, Санкт-Петербург, Наука,
1994.
3.4.3 Перечень иных информационных источников
Раздел 4. Разработчики программы
Звагельский Михаил Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
высшей геометрии, zvag@pdmi.ras.ru