Метрическая геометрия и пространства Александрова

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Метрическая геометрия и пространства Александрова
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Геометрия и топология
Федеральный ГОС ВО
Форма обучения: очная
Программу в соответствии с ФГОС ВО разработал
Г.н.с., профессор, д.ф.-м.н.
Ю.Д. Бураго
Санкт-Петербург
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
- Целью преподавания данной дисциплины является подготовка
высококвалифицированных специалистов в области геометрии и топологии.
Метрическая геометрия является основой для не локального подхода к различным
метрическим структурам, в частности к римановой геометрии, а пространства
Александрова являются важнейшими примерами метрических структур,
возникающих при замыкании классов римановых многообразий. В курсе особое
внимание уделяется развитию у учащихся навыков самостоятельного анализа
решений различных задач геометрии
- Задачей освоения дисциплины является изучение метрических аспектов
различных геометрических структур. Причем акцент делается на изучение не
индивидуальных пространств, а различных их классов (снабженных метрикой
Громова-Хаусдорфа), таких как пространства ограниченной снизу кривизны и
пространства кривизны, ограниченной сверху, в частности – CAT (k) пространств.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Метрическая геометрия и пространства
Александрова».
Код
ПК-1
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
Готовность применять методы римановой геометрии в задачах математики,
механики и математической физики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Метрическая геометрия и пространства Александрова» и её вклад
в формирование результатов обучения (компетенций) слушателя:
- умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать
методы для решения теоретических задач.
- умение представить полученные научные результаты.
- знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе
дисциплины.
- умение применять освоенные теоретические методы в смежных
дисциплинах.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА
АСПИРАНТУРЫ
Дисциплина «Метрическая геометрия и пространства Александрова» изучается в
четвертом семестре 2 курса аспирантуры.
Изучение данной дисциплины опирается на знания аспирантов в общих курсах
математического анализа, алгебры, римановой геометрии и топологии. Освоение
дисциплины «Метрическая геометрия и пространства Александрова» должна дать
аспирантам возможность выйти на уровень, который позволил бы им проводить
исследования на переднем крае геометрии, включая такие явления как коллапс.
3.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ПО
ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
3.1 Виды учебной деятельности
Виды учебной работы
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа (СР)
Экзамен (Э)
Трудоемкость по семестрам
4 сем.
ач/нед
ач/сем
12
-
Итого, ач
12
-
Общая трудоемкость освоения дисциплины
В академических часах, ач
12
В зачетных единицах, ЗЕ
3
3.2 Разделы дисциплины и виды учебной работы
Изучаемый вопрос
1 Внутренние метрики.
2 Метрические конструкции.
3 Пространства метрических пространств.
4 Пространства ограниченной кривизны:
начальные сведения.
5 Пространства кривизны, ограниченной сверху.
6 Общая теория пространств ограниченной снизу
кривизны.
7 Конечномерные пространства ограниченной снизу
кривизны.
Итого по видам учебной работы
Общая трудоемкость освоения дисциплины: а.ч./ЗЕ
Л, ач
1
1
1
1
ПЗ, ач
СР, ач
2
2
2
2
12/3 ЗЕ
4. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ
Разделы дисциплины
Содержание разделов
Внутренние метрики.
Функционалы длины, длины,
индуцированные метриками. Различные
характеризации внутренних метрик.
Строго внутренние метрики и
кратчайшие. Длина и скорости липшицевых
путей.
Метрические конструкции.
Локальность внутренних метрик.
Максимальные метрики и склеивание.
Полиэдральные пространства. Изометрии,
локальные изометрии, фактор-метрики.
Метрические произведения и конусы.
Пространства метрических
пространств.
Метрика Громова-Хаусдорфа и липшицевы
метрики. Пределы по Громову –Хаусдорфу
для некомпактных пространств.
Касательный и асимптотический конусы.
Квази-изометрии. Пример: периодические
метрики.
Пространства ограниченной кривизны:
начальные сведения.
Углы в метрических пространствах.
Пространства кривизны, ограниченной
снизу или сверху – простейшие локальные
свойства и эквивалентность различных
определений. Формула первой вариации
длины. Анализ дистанционных функций.
Пространства кривизны, ограниченной
сверху.
Примеры возможных вырождений при
предельном переходе в общем случае.
Пространства Адамара и теорема
Громова-Александер-Бишоп о глобализации.
Свойства фундаментальной группы
пространства Адамара отрицательной
кривизны. Фундаментальная группа
пространства неположительний кривизны.
Общая теория пространств
ограниченной снизу кривизны.
Условие четырех точек. Важные примеры.
Теорема о глобализации. Теорема о
расщеплении. Кривизна и диаметр.
Градиентный поток.
Конечномерные пространства
ограниченной снизу кривизны.
Размерность и объем. Распертые точки,
распоры и локальное строение
пространства в окрестности распертых
точек. Пространства направлений и
касательные конусы. Теоремы Перельмана о
стратификации.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Преподавании курса носит форму лекций с проверкой усвоения материала курса в форме
экзамена. Вместе с тем, в преподавании курса используются современные технологии,
такие как проблемное обучение, междисциплинарное обучение.
Традиционным для курса является широкое использование знаний аспирантов,
полученных ими в ходе освоения смежных теоретических курсов. Курс лекций
«Метрическая геометрия и пространства Александрова» базируется на знаниях,
приобретенных слушателями на предыдущих этапах обучения, в частности при изучении
математического анализа, алгебры, римановой геометрии и топологии.
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
6.1 Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Метрическая
геометрия и пространства Александрова» является приобретение им знания:
- Определение и основные свойства внутренних метрик,
- Определение и основные свойства полиэдральных пространств, метрических
произведений и конусов.
- Определение и основные свойства метрики Громова-Хаусдорфа и
липшицевых метрик, касательного и асимптотического конусов, квази-изометрии.
- Определение и основные свойства пространств ограниченной кривизны.
- Формулировка и структура доказательства теоремы
- Громова-Александер-Бишоп о глобализации.
- Построение общей теорий пространств ограниченной снизу кривизны.
Условие четырех точек.
- Формулировка и доказательство теорем о глобализации и о расщеплении.
- Конструкция градиентного потока.
- Определение и основные свойства размерности и объема в пространствах
Александрова.
- Определение и основные свойства Перельмана о стратификации.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
6.2 Оценочные средства
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Метрическая геометрия и
пространства Александрова» является посещение лекций и успешная сдача экзамена для
приобретения дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи кандидатского
экзамена по специальности 01.01.04 Геометрия и топология и выполнения
квалификационной работы и последующей защиты кандидатской диссертации.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендованная литература
1. Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С.В. Иванов, “ Курс метрической геометрии“,
Москва – Ижевск, 2004, 512 стр.
2. Ю. Бураго, М.Громов, Г. Перельман, “Пространства А.Д. Александрова с
ограниченными снизу кривизнами”, Успехи матем.наук, 47, вып. 2, 1992, 4-51
Дополнительная литература
1. M. R. Bridson and A. Haffliger “Metric spaces of non-positive curvature”, in Ser. A
Series of Comprehensive Stadies in Mathematics, vol. 319, Springer-Verlag
2. M. Gromov, “Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces”,
Progress in Mathematics 152, Birkhauser, Boston, 1999.
3. Г. Перельман, “Начала теории Морса для пространств Александрова”, Алгебра
и Анализ. 5 (1994), no. 1, 205-214.
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория геометрии и топологии ПОМИ РАН, оснащенная необходимой техникой,
оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
Фонд оценочных средств
Метрическая геометрия и пространства Александрова
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Геометрия и топология
Санкт-Петербург
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
- Целью преподавания данной дисциплины является подготовка
высококвалифицированных специалистов в области геометрии и топологии.
Метрическая геометрия является основой для не локального подхода к различным
метрическим структурам, в частности к римановой геометрии, а пространства
Александрова являются важнейшими примерами метрических структур,
возникающих при замыкании классов римановых многообразий. В курсе особое
внимание уделяется развитию у учащихся навыков самостоятельного анализа
решений различных задач геометрии
- Задачей освоения дисциплины является:
- изучение метрических аспектов различных геометрических структур. Причем
акцент делается на изучение не индивидуальных пространств, а различных их
классов (снабженных метрикой Громова-Хаусдорфа), таких как пространства
ограниченной снизу кривизны и пространства кривизны, ограниченной сверху, в
частности – CAT (k) пространств.
- Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование
которых ориентировано изучение дисциплины «Метрическая геометрия и
пространства Александрова».
Код
ПК-1
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
Готовность применять методы римановой геометрии в задачах математики,
механики и математической физики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Метрическая геометрия и пространства Александрова» и её вклад
в формирование результатов обучения (компетенций) слушателя:
 умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать
методы для решения теоретических задач.
 умение представить полученные научные результаты.
 знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе
дисциплины.
 умение применять освоенные теоретические методы в смежных
дисциплинах.
2. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
2.1. Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Метрическая
геометрия и пространства Александрова» является приобретение им знания:
- Определение и основные свойства внутренних метрик,
- Определение и основные свойства полиэдральных пространств, метрических
произведений и конусов.
- Определение и основные свойства метрики Громова-Хаусдорфа и
липшицевых метрик, касательного и асимптотического конусов, квази-изометрии.
- Определение и основные свойства пространств ограниченной кривизны.
- Формулировка и структура доказательства теоремы
- Громова-Александер-Бишоп о глобализации.
- Построение общей теорий пространств ограниченной снизу кривизны.
Условие четырех точек.
- Формулировка и доказательство теорем о глобализации и о расщеплении.
- Конструкция градиентного потока.
- Определение и основные свойства размерности и объема в пространствах
Александрова.
- Определение и основные свойства Перельмана о стратификации.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
2.2. Оценочные средства
Промежуточная аттестация производится в форме экзамена.
Вопросы экзамена:
1. Функционалы длины, длины, индуцированные метриками. Различные
характеризации внутренних метрик.
2. Строго внутренние метрики и кратчайшие. Длина и скорости липшицевых путей.
3. Локальность внутренних метрик. Максимальные метрики и склеивание.
Полиэдральные пространства.
4. Изометрии, локальные изометрии, фактор-метрики. Метрические произведения и
конусы.
5. Метрика Громова-Хаусдорфа и липшицевы метрики. Пределы по Громову –
Хаусдорфу для некомпактных пространств.
6. Касательный и асимптотический конусы. Квази-изометрии. Пример: периодические
метрики.
7. Углы в метрических пространствах.
8. Пространства кривизны, ограниченной снизу или сверху – простейшие локальные
свойства и эквивалентность различных определений.
9. Формула первой вариации длины. Анализ дистанционных функций.
10. Примеры возможных вырождений при предельном переходе в общем случае.
11. Пространства Адамара и теорема Громова-Александер-Бишоп о глобализации.
12. Свойства фундаментальной группы пространства Адамара отрицательной
кривизны. Фундаментальная группа пространства неположительний кривизны.
13. Условие четырех точек. Важные примеры пространств ограниченной снизу
кривизны.
14. Теорема о глобализации.
15. Теорема о расщеплении.
16. Кривизна и диаметр пространств ограниченной снизу кривизны.
17. Градиентный поток в пространствах ограниченной снизу кривизны.
18. Размерность и объем в пространствах ограниченной снизу кривизны.
19. Распертые точки, распоры и локальное строение пространства в окрестности
распертых точек.
20. Пространства направлений и касательные конусы в пространствах ограниченной
снизу кривизны.
21. Теорема Перельмана о стратификации.
Тесты:
1. Произвольное метрическое пространство не обладает этим свойством
a. компактность;
b. наличие первой аксиомы счётности;
c. хаусдорфовость;
d. паракомпактность.
2. Орисфера в гиперболическом пространстве с внутренней метрикой изометрична.
a. евклидовой сфере;
b. евклидовой плоскости;
c. плоскости с расстоянием Чебышева;
d. плоскому тору.
3. Изометрии не всегда сохраняют
a. расстояния;
b. углы;
c. объём;
d. ориентацию.
4. Расстояние по Громову-Хаусдорфу это
a. расстояние между открытыми выпуклыми подмножествами метрического пространства;
b. расстояние между граничными точками метрического пространства;
c. расстояние между геодезическими в метрическом пространстве;
d. расстояние между компактными метрическими пространствами.
5. Пространство изометрических классов компактных метрических пространств,
снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа не является
a. линейно связным;
b. полным;
c. геодезическими;
d. компактным.
6. Касательный конус пространства ограниченной кривизны
a. конус над пространством направлений;
b. конус над душой;
c. конус над границей;
d. сферическая надстройка над границей.
7. Пространство направлений трехмерной сферы гомеоморфно
a. тору;
b. проективной плоскости;
c. окружности;
d. плоскости.
8. Угол в пространстве Александрова неотрицательной кривизны
a. больше либо равен углу сравнения;
b. больше удвоенного угла сравнения;
c. меньше либо равен углу сравнения;
d. равен углу сравнения.
9. Угол в пространстве Адамара
a. больше либо равен углу сравнения;
b. меньше удвоенного угла сравнения;
c. меньше либо равен углу сравнения;
d. равен углу сравнения.
10. Диаметр пространства кривизны не меньше 1
a. ограничен снизу;
b. ограничен сверху;
c. неограничен;
d. равен 2.
11. Ретракция Шарафутдинова это
a. конструкция, ретрагирующая открытое пространство Александрова неотрицательной
кривизны на его границу;
b. конструкция, ретрагирующая открытое пространство Александрова неотрицательной
кривизны на его душу;
c. конструкция, ретрагирующая открытое пространство Александрова неотрицательной
кривизны на множество его экстремальных точек;
d. конструкция, ретрагирующая открытое пространство Александрова неотрицательной
кривизны в одну точку.
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Метрическая геометрия и
пространства Александрова» является посещение лекций и успешная сдача экзамена для
приобретения дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи кандидатского
экзамена по специальности 01.01.04 Геометрия и топология и выполнения
квалификационной работы и последующей защиты кандидатской диссертации.