ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ Программа курса лекций (3 курс, 6 сем., 32 ч., диф.зачет) Профессор Киричук Валерий Сергеевич Доцент Косых Валерий Петрович Доцент Перетягин Георгий Иванович 1. 2. 3. 4. 5. 6. Классификация сигналов и способы их описания. Информативные характеристики детерминированных сигналов (энергия, мощность, моменты, автокорреляционная функция, спектральный состав). Гармонический анализ импульсной последовательности. Скважность, меандр, эффективная ширина спектра, база сигнала. Примеры. Процесс дискретизации сигналов (аналого-цифровое преобразование). Спектр дискретизованного сигнала. Восстановление аналогового сигнала по множеству отсчетов. Теорема Котельникова-Шеннона. Частота Найквиста. Эффект появления «ложных частот» (aliasing). Примеры. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Основные свойства ДПФ. Использование ДПФ для восстановления исходного сигнала и для вычисления отсчетов «непрерывного» спектра (интерполяция спектра). Вычисление линейной свертки при помощи ДПФ. Эффект «растекания» спектра и весовые функции (окна). Алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ). Ограничения и недостатки преобразования Фурье. Проблемы частотновременной локализации нестационарных сигналов. Оконное преобразование Фурье. Идея вейвлет-преобразования. Основы теории. Базисные функции непрерывного вейвлет – преобразования (WAVE -, MHAT -, DOG – вейвлеты). Примеры применения. Дискретный вейвлет-анализ. Кратномасштабное представление сигналов. Скейлинг-функция и материнский вейвлет. Вейвлеты Хаара и Добеши. Быстрое вейвлет-преобразование (алгоритм Малла). Примеры применения. Стохастическая модель сигналов и изображений (статистический ансамбль, совместное распределение, статистические моменты). Дискретные стационарные (однородные) случайные процессы и поля. Среднее, автокорреляция, автоковариация. Виды стационарности случайных процессов и полей. Спектральная плотность мощности 3 (СПМ) случайных процессов. Взаимосвязь с автоковариационной последовательностью (АКП) – теорема Винера-Хинчина. Свойства АКП и СПМ стационарных случайных процессов. 7. Некоторые модели случайных сигналов. Гармонический процесс со случайной фазой. Дискретный гауссовский случайный процесс. Марковское свойство. Винеровский процесс (броуновское движение) как пример гаусс-марковского случайного процесса. Случайный фототелеграфный сигнал (сканирование черно-белого изображения): вероятностная модель, автокорреляционная функция, спектральная плотность мощности. 8. Эргодичность. Основные принципы теории оценок (несмещенность, состоятельность). Оценивание автокорреляции и взаимной корреляции. Свойства оценок. Коррелограммный метод оценки СПМ. Метод Блэкмана-Тьюки. Периодограммные оценки СПМ. Свойства оценок. Спектральные окна. Метод Уэлча. 9. Линейные преобразования (фильтрация) стационарных случайных сигналов: свойства выходного сигнала (существование, моменты, автоковариационная функция). Описание фильтра в виде дискретной линейной системы: импульсная характеристика, частотная характеристика, фильтры с линейной фазовой характеристикой. Прямое Z-преобразование дискретных последовательностей. Область сходимости. Свойства Z-преобразования. Z-свертка последовательностей. Передаточная функция дискретной системы. 10. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами как модели цифровых (рекурсивных) фильтров. Численное интегрирование как пример рекурсивной фильтрации. Бегущий усредняющий фильтр, авторегрессионный фильтр. Обратное Z-преобразование. Нули и полюсы дискретной системы, минимально-фазовое свойство. Авторегрессионная (параметрическая) модель стационарных случайных процессов как универсальная модель стохастических сигналов. Взаимосвязь параметров авторегрессионной (АР-) модели с автокорреляционной последовательностью. Нормальные уравнения Юла-Уолкера. СПМ авторегрессионного процесса. 11. Оптимальный линейный прогноз стационарных случайных процессов. Принцип ортогональности. Разложение Вольда (регулярная и сингулярная составляющие случайного сигнала). Понятие «обновления». Алгоритм Левинсона рекуррентного оценивания параметров АР-модели. Спектральное оценивание. Характеристики АРоценок СПМ. 4 12. Оценивание случайного процесса по наблюдениям стохастически связанного с ним случайного сигнала (дискретное уравнение ВинераХопфа). Метод восстановления дискретного (полезного) сигнала в линейной модели наблюдений на основе оптимального линейного фильтра Винера-Колмогорова. Ошибка восстановления сигнала в простейших вариантах. 13. Аппроксимация (сглаживание) сигналов и метод наименьших квадратов (МНК). Алгебра и геометрия МНК. Нормальное решение. Метод псевдообратной матрицы. SVD-решение. Статистические свойства оценок МНК. 14. Проверка гипотез при спецификации аппроксимирующей модели сигнала (основы проверки статистических гипотез). Проверка линейных гипотез. Критерии удаления (включения) переменных в описание сигнала. 15. Модели дискретных систем в пространстве состояний (уравнение состояния системы, уравнение измерения). Пример на основе авторегрессионной схемы описания. Построение алгоритма рекуррентной фильтрации Калмана для дискретной линейной динамической системы: коэффициент усиления фильтра, оптимальный выбор параметров фильтрации. Двумерная дискретная фильтрация (примеры построения винеровского и калмановского фильтров). Сравнительный анализ. 16. Распознавание образов (сигналов). Разделяющие функции. Алгоритмы классификации выборочных объектов. Байесовский метод распознавания. Дискриминантный анализ (распознавание) для двух многомерных нормальных выборок. Вероятности ошибок классификации. Виды и свойства оценок. 17. Применение методов классификации в алгоритмах сегментации изображений двумерных сцен. Задания 1. Вычислить коэффициенты ряда Фурье для последовательности прямоугольных импульсов. Охарактеризовать изменение спектра последовательности импульсов при увеличении периода их следования. 2. Вычислить спектр и автокорреляционную функцию гармонического сигнала A cos( 0 t 0 ) , учитывая, что период такого сигнала равен 2 0 . 5 3. Вывести взаимосвязь спектров аналогового сигнала и дискретной последовательности отсчетов этого сигнала. Как проявляется эффект «ложных частот». 4. Установить изменение спектра дискретного сигнала, состоящего из N отсчетов, при добавлении к нему N нулей. 5. Охарактеризовать суть эффекта «растекания» спектра и привести методы его уменьшения. 6. Как правильно вычислить линейную свертку с помощью БПФ? 7. Привлекая принцип неопределенности, определить вид частотновременных окон Фурье и вейвлет базисов на плоскости время-частота. 8. Определить скейлинг-функцию и коэффициенты вейвлетпреобразования базиса Хаара. 9. Показать, что гармонический сигнал со случайной фазой является стационарным случайным процессом. 10. Вывести автокорреляционную функцию фототелеграфного сигнала. 11. Стационарная последовательность (дискретный сигнал) {u k , k 0} определена соотношением u k k , где - случайный параметр со средним значением m и дисперсией D , { k } - центрированный дискретный белый шум с дисперсией 2 , не коррелированный с . 1 n uk , n>1, является n 1 k 0 несмещенной и состоятельной оценкой для . 12. Показать, что для оценки АКП Cˆ (m) оценка СПМ имеет вид Доказать, что среднее значение n uu M Pˆ ( f ) t Cˆ uu (0) 2t Cˆ uu (m) cos(2fmt ) . m 1 13. Пусть дано N отсчетов данных u (0), u (1),... u ( N ) . Показать, что коррелограммная оценка СПМ P( f ) t N 1 Cuu (m) exp(i 2fmt ) , m ( N 1) 6 в которой используется смещенная (альтернативная) оценка при максимальном числе возможных временных сдвигов, и выборочный энергетический спектр (периодограмма) t ~ P( f ) N N 1 u(n) exp(i 2fmt ) 2 , идентичны. n 0 14. Процесс наблюдения формируется по следующей схеме: uk f (k ) k , k 0 , где f(k) – полезный нестационарный случайный сигнал, а k - центрированный белый шум с дисперсией 2 . Для оценивания сигнала f(k) наблюдаемая последовательность подвергается преобразованию, которое называется фильтром экспоненциального сглаживания и имеет вид n n 1 (1 )un , где 0,1) параметр фильтра. Показать, что данный фильтр является линейным преобразованием вида n cnk uk . k 0 15. Пусть при [0,1) некотором последовательность n n 1 n , n 0 . Показать, что данное соотношение является линейным стационарным фильтром, и найти среднее, дисперсию и автоковариационную функцию последовательности { n } . 16. Найти область сходимости Z-преобразования последовательности n n 1, n 0 1 1 . x(n) u[n] u[n 1], u[n] 3 2 0, n 0 17. Найти представление автоковариационной последовательности через последовательность авторегрессионных параметров. 18. Пусть в АР-модели первого порядка белый шум является стационарным. Найти математическое ожидание и дисперсию АР(1)последовательности и показать ее стационарность. 19. Показать, что выход АР(p)-фильтра является регулярной последовательностью. 20. Охарактеризовать связь между фильтром линейного предсказания (прогноза) и АР – процессом. 7 21. Описать метод выбора порядка АР-модели в алгоритме Левинсона. 22. Дать геометрическую интерпретацию проблемы винеровской фильтрации. 23. Определить передаточную функцию фильтра Винера-Колмогорова. 24. Построить фильтр Калмана для скалярной модели наблюдений вида un un 1 n , u0 , n un n , n 1, где { n }, { n } - стационарные и центрированные белые шумы. Литература 1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2002. 2. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. – М., Мир, 1990. 3. Грузман И.С., Киричук В.С. и др. Цифровая обработка изображений в информационных системах. Учебное пособие. Новосибирск, 2001. 4. Методы компьютерной обработки изображений. /Под ред. В.А.Сойфера. – М.: Физматлит, 2001. 5. Н.М.Астафьева. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения. //Успехи физических наук. Т.166, №11, 1996. 6. Интернет-страничка «Теория и практика вейвлет-преобразования»: http://www.autex.spb.ru/techsupt/wavelet/ 7. Дьяконов В., Абраменкова И. МАТЛАБ. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. – СПб., Питер, 2002. 8. Балакришнан А.В. Теория фильтрации Калмана. – М., Мир, 1988. 9. Френкс Л. Теория сигналов.– М., Советское радио, 1974. 10. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. – М., Наука, 1979. 8