Error! Reference source not found.

Error! Reference source not found.
1
Электронная физико-техническая школа
2
1 Введение
Конкурс “Волшебный сундучок” – это заочный конкурс по математике для
школьников, который проводится совместно с Московским физико-техническим
институтом.
Ученикам 4-9 классов предлагаются нестандартные интересные задачи по
математике, которые они могут решить дома, оформить свои решения и отправить
через интернет.
Задания конкурса состоят из двух частей. Решение заданий первой части
сводится к выбору правильного ответа из числа предложенных. Решение задачи
второй части нужно оформить со всеми необходимыми пояснениями и
обоснованиями. Подводя итоги, жюри будет учитывать обоснованность
рассуждений, полноту решения и его оригинальность.
Адрес конкурса в России: http://eftsh.ru/maths/magicbox
Ошколе
Наша электронная дистанционная школа объединяет в себе:

многолетний педагогический опыт, прекрасный состав методистов и
рецензентов;

высокотехнологичную систему гибридного документооборота;

модульную систему, постоянно развивающуюся по требованию наших
пользователей;

уникальные методы видеообразования, интегрированные в обучающий
процесс;

работу с широкой аудиторией, повышение школьных оценок и уровня
знаний, доступность информации на слабом уровне подготовки и
интересный материал для мотивированных подготовленных школьников;

Опыт с большой буквы. Мы не первый год готовим абитуриентов для
поступления. Опыт методистов и авторов исчисляется десятками лет. Наши
технологии регулярно представляются на мировых выставках. Мы
собираем лучшее из имеющегося на рынке.
Сайт: eftsh.ru
e-mail: info@eftsh.ru
Решебник для 9 класса
3
Решебник для 9 класса
2 Перваячастьзаданий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
А
Б
В
Г
Б
В
Г
В
А
Б
Задача №1
На клетчатой плоскости дан треугольник АВС. Косинус угла
ВАС равен ...
А.
2
.
5
Б.
1
.
5
В.
1
.
2
Г.
1
.
4
Решение
Выберем за единицу масштаба сторону клетки. Тогда нетрудно найти стороны
треугольника АВС, рассматривая их как гипотенузы прямоугольных треугольников
АМВ, BNC, APC (см. рис.) и пользуясь теоремой Пифагора:
АВ2 = АМ2 + ВМ2 = 16 + 4 = 20, АВ = 2 5 ,
ВС2 = BN2 + CN2 = 4 + 1 = 5, BC = 5 ,
AC2 = AP2 + CP2 = 16 + 9 = 25, AC = 5.
Из равенства АВ2 + ВС2 = 20 + 5 = 25 = АС2 на основании
теоремы, обратной теореме Пифагора, следует, что треугольник
АВС – прямоугольный и угол В - прямой. Тогда, по определению косинуса острого
угла прямоугольного треугольника, имеем:
cos BAC 
Ответ. А.
AB 2 5
2


AC
5
5.
2
.
5
Задача №2
Какое наименьшее количество точек следует отметить на поверхности куба,
чтобы на каждой грани были одно и то же число отмеченных точек, не равное
нулю?
Б. 2.
А. 1.
В. 6.
Г. 8.
Решение
Если отметить две вершины куба, являющиеся концами его
диагонали (см. рис.), то в каждой грани будет одна отмеченная
точка. Очевидно, что не существует точки на поверхности куба,
принадлежащей всем его граням. Следовательно, искомое
количество точек равно 2.
Ответ. Б. 2.
Задача №3
Электронная физико-техническая школа
4
Дождь начался между 10 и 11 часами, когда часовая и минутная стрелки были
направлены в противоположные стороны, а закончился между 16 и 17 часами, когда
стрелки совпали. Сколько времени шёл дождь?
В. 6 ч.
А. 5 ч 50 мин.
Б. 5 ч 55 мин.
Г. 6 ч 5 мин.
Решение
За одну минуту минутная стрелка поворачивается на 6, так как за 60 минут она
поворачивается на 360. Часовая стрелка поворачивается за одну минуту на 0,5, так
как полный оборот она делает за 6012 минут.
Пусть в какой-то момент времени между 10 и 11 часами часовая и минутная
стрелки были направлены в противоположные стороны, то есть угол между ними
равнялся 180. Тогда через 6 часов = 360 минут часовая стрелка повернётся на 180, а
минутная стрелка за это время сделает 3606 оборотов и будет на том же месте.
Следовательно, часовая и минутная стрелки совпадут. И это будет между 16 и 17
часами, дождь шёл 6 часов.
Ответ. В. 6 ч.
Задача №4
Когда из набора одинаковые шары разложили в виде равностороннего
треугольника, то 19 шаров оказались лишними. Но чтобы каждую сторону
треугольника увеличить на 1 шар, не хватит 5 шаров. Сколько шаров в наборе?
Г. 295.
А. 229.
Б. 250.
В. 272.
Решение
Одинаковые шары можно разложить в
виде равностороннего треугольника так, как
это показано на рисунках. Для обоснования
этого можно воспользоваться свойством
касательной к окружности. На рис. 1, 2, 3
стороны отличаются друг от друга на один
шар. Количество шаров в добавленном ряду
на единицу больше, чем в соседнем.
Из условия следует, что 19 + 5 = 24 шара образуют ряд, добавление которого к
построенному треугольнику увеличивает его сторону на 1 шар. Следовательно,
построенный треугольник содержит 23 ряда. Так как номер ряда, отсчитываемый от
вершины треугольника, совпадает с количеством шаров в этом ряду (см. рис. 1, 2, 3),
то в построенном треугольнике количество шаров равно 1 + 2 + 3 + … + 23 = (1 + 23)
+ (2 + 22) + (3 + 21) + … + (11 + 13) + 12 = 2411 + 12 = 276. Кроме того, 19 шаров
оказались лишними. Следовательно, в наборе 276 + 19 = 295 шаров.
Ответ. Г. 295.
Задача №5
При
каких
из
указанных
размеров
параллелепипеда,
составленного из чёрных и белых кубиков со стороной 1 см, как
показано на рисунке, сумма объёмов чёрных кубиков равна половине
объёма параллелепипеда?
А. 333.
Б. 433.
В. 533.
Г. 733.
Решебник для 9 класса
5
Решение
Так как чёрные и белые кубики равны, то равенство суммы объёмов чёрных
кубиков в параллелепипеде половине его объёма равносильно равенству числа
белых и чёрных кубиков в нём.
Данные параллелепипеды можно рассматривать составленными из слоёв,
состоящих из 9 кубиков (33). В двух соседних слоях количества белых и чёрных
кубиков одинаковые, так как каждому белому кубику в одном слое соответствует
чёрный кубик в другом, прилегающем к нему, и наоборот.
Тогда параллелепипед размерами 433 удовлетворяет требованию, так как его
можно представить в виде двух пар соседних слоёв. Во всех остальных случаях, после
отбрасывания пар соседних слоёв остаётся один слой, в котором 9 кубиков.
Следовательно, в этих случаях количества белых и чёрных кубиков не равны.
Ответ. Б. 433.
Задача №6
16 мандарин стоят столько же долларов, сколько их можно купить на 1 доллар.
Сколько мандарин можно купить на 3 доллара?
А. 6.
Решение
Б. 9.
В. 12.
Г. 15.
Пусть 16 мандарин стоят х долларов. Тогда на 1 доллар можно купить
мандарин. По условию,
16
x
16
= х, или х2 = 16, или х = 4. Следовательно, на один
x
доллар можно купить 4 мандарина, а на 3 доллара – 12 мандарин.
Ответ. В. 12.
Задача №7
В некотором университете: 60% студентов – иногородние и живут в общежитии,
20% студентов учится на экономическом факультете, 45% студентов в свободное
время работают, 80% студентов поступили в университет сразу после окончания
школы. Какое из следующих утверждений обязательно верно?
А. Есть иногородние, обучающиеся на экономическом факультете.
Б. Нет иногородних, поступивших сразу после школы и обучающихся на
экономическом факультете.
В.Часть местных студентов, живущих дома, в свободное время работает.
Г. Есть иногородние, работающие в свободное время.
Решение
Из приведенных в ответах утверждений верно то, которое следует из условия.
Утверждение А не следует из условия, так как на экономическом факультете
могли обучаться только не иногородние. Их число больше числа обучающихся на
экономическом факультете.
Утверждение Б также не следует из условия, так как нет никаких оснований
отрицать существование иногородних студентов, обучающихся на экономическом
факультете и поступивших туда сразу после школы.
Электронная физико-техническая школа
6
Утверждение В не следует из условия, так как все работающие в свободное время
студенты могут быть иногородними, ведь они составляют 60 % от числа студентов.
Утверждение Г следует из условия, так как 45 % студентов в свободное время
работают, а не иногородних среди студентов только 40 %. Следовательно, есть
иногородние студенты, работающие в свободное время.
Ответ. Г.
Задача №8
Группу туристов решили рассадить по автобусам так, чтобы в каждом было
одинаковое количество пассажиров. Сначала сажали по 22 человека, однако
оказалось, что при этом не удаётся посадить одного туриста. Когда же один из
автобусов уехал пустым, то в оставшиеся все туристы сели поровну. Cколько
туристов в группе, если известно, что в каждый автобус помещается не более 32
человек?
В. 529.
А. 45.
Б. 485.
Г. 1936.
Решение
Пусть первоначально было k автобусов, а после отъезда одного автобуса в
оставшиеся сажали по п человек. По условию, k  2, п  32. Число туристов равно 22k
+ 1. После того как один автобус уехал, в оставшиеся посадили п(k – 1) туристов.
22k  1 22(k  1)  22  1
23
.

 22 
k 1
k 1
k 1
23
Так как п – натуральное, то число
должно быть целым. Но 23 – простое
k 1
Поэтому 22k + 1 = п(k – 1). Отсюда n 
число. Следовательно, либо k – 1 = 1, либо k – 1 = 23. Если k = 2, то п = 45, что
противоречит условию. Если же k = 24, то п = 23. Условия задачи удовлетворяются.
При этом число туристов в группе равно п(k – 1) = 2323 = 529.
Ответ. В. 529.
Задача №9
Некто купил 14 м ткани первого вида, 5 м второго, 9 м – третьего. За всё он
заплатил 160 долларов. Другой покупатель приобрёл соответственно 4, 13 и 9 м
таких тканей и заплатил за всё 128 долларов. Какая ткань дороже – первого или
второго вида, если цены 1 м ткани каждого вида выражается целым числом
долларов?
А. Первого.
Б. Второго.
В. Цены одинаковы. Г. Определить невозможно.
Решение
Обозначим через х, у z цены 1 м в долларах соответственно первого, второго и
третьего видов ткани. Тогда, по условию, имеем два равенства: 14x + 5y + 9z = 160, 4x
+13y + 9z = 128. Вычитая из первого равенства второе, получим: 10х – 8у = 32, или 5х –
4у = 16.
Так как, по условию, х и у – целые числа, то из последнего равенства вытекает,
что 5х, а значит и х делится на 4, то есть х может принимать значения 4, 8, 12, и т. д.
Если х = 4, то у = 1; если х = 8, то у = 6. Значения 12, 16, … х принимать не может, так
как в этом случае 14х больше 160. В обоих рассмотренных случаях цена ткани
первого вида больше цены ткани второго вида.
Решебник для 9 класса
7
Ответ. А. Первого.
Задача №10
На трёх полках нужно разместить 100 книг. На верхней полке можно разместить
от 25 до 40 книг, на средней – от 30 до 40 книг, на нижней – от 30 до 40 книг. Сколько
имеется различных вариантов размещения книг на полках?
Б. 106.
А. 144.
В. 81.
Г. 72.
Решение
Обозначим через х, у, z число книг, которые можно разместить соответственно на
верхней, средней и нижней полках. По условию, x + y + z = 100, 25  х  40, 30  у  40,
30  z  40. Значение z однозначно определяется, если известны х и у: z = 100 – (х + у).
При этом третье неравенство из условия принимает вид 60  х + у  70. Итак, нужно
найти число решений системы неравенств 60  х + у  70, 25  х  40, 30  у  40.
Рассматривая целые допустимые значения у, будем находить значения х,
удовлетворяющие двум неравенствам. Например, если у = 30, то х удовлетворяет
системе неравенств
60  x  30  70,
30  x  40,
или 
или 30  х  40.

25  x  40
25  x  40
Следовательно, при у = 30 существует 11 целых значений х, удовлетворяющих
системе неравенств.
И вообще, при каждом у  [30; 35] рассматриваемая система имеет 11 решений (х;
у), где х  [60 – у; 70 – у]. При любом у  {36; 37; 38; 39; 40} она имеет решение (х; у),
где х  [25; 70 – у]. Общее число решений системы, а следовательно, и задачи равно
66 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 = 106.
Ответ. Б. 106.
Электронная физико-техническая школа
8
3 Втораячастьзаданий
Задача №1
Три трубы диаметром 1 м каждая связаны туго натянутой
металлической лентой, как показано на рисунке. Найдите длину
ленты с точностью до 1 дм.
Решение
Из условия следует, что длина ленты равна длине кривой, проходящей через
точки А1, А2, …, А6 и состоящей из трёх равных отрезков А2А3, А4А5, А6А1 и трёх
равных дуг 
A1aA2 , 
A3bA4 , 
A5 cA6 (см. рис.).
Равенство отрезков следует из условий касания окружностей и
касания отрезков с окружностями: О1О2 = О2О3 = О3О1, А2А3 = О1О2,
А4А5 = О2О3, А6А1 = О3О1, так как О1А2  О1О2, О2А3  О1О2, …, О3А6
 О1О3, О1А2 = О2А3 = … = О3А6. Из приведенных равенств следует,
что длина каждого из указанных отрезков равна диаметру трубы,
то есть равна 1 м.
Равенство дуг следует из того, что треугольник О1О2О3 равносторонний, а
стороны углов А1О1А2, А3О2А4, А5О3А6 соответственно перпендикулярны сторонам
углов треугольника. Так как эти углы тупые, то каждый из них в сумме с углом
треугольника равен 180. Следовательно, эти углы равны по 120. Тогда сумма длин
соответствующих дуг равна длине окружности с радиусом 0,5 м. Поэтому она равна
 м, а искомая длина ленты равна 1 +   4,1 (м).
Задача №2
Можно ли полностью покрыть квадрат со стороной 5 м тремя
квадратами со стороной 10( 2 – 1) м?
Решение
Рассмотрим квадрат со стороной а = 10( 2 – 1) (см. рис. 1).
Пусть МС = а, а MK  AC. Так как а больше половины диагонали
квадрата
ABCD,
10 


2  1  2,5 2 ,
то
достаточно
показать, что АK  а. Треугольник АМK прямоугольный,
равнобедренный. Поэтому

АK2 = 2АМ2 = 2(АС – МС)2 = 2 5 2  10


2


 2 10  5 2 , AK  2 10  5 2  10

Искомое покрытие изображено на рис. 2.


2 1  a

2 1
2
Решебник для 9 класса
9
Задача №3
В магазин привезли костюмы трёх цветов и трёх фасонов. Можно ли для
витрины выбрать три костюма так, чтобы были представлены все цвета и все
фасоны?
Решение
Нет. Достаточно привести пример, удовлетворяющий условию задания и не
удовлетворяющий его требованию. Обозначим фасоны цифрами 1, 2, 3, а цвета –
буквами к (коричневый), ч (чёрный), с (синий). Пусть в магазин привезли четыре
костюма 1к, 2к, 3ч, 3с. Здесь представлены три фасона и три цвета. Однако никакие
три из них не представляют все фасоны и все цвета. В этом можно убедиться,
перебрав все варианты троек костюмов: (1к, 2к, 3ч), (1к, 2к, 3с), (1к, 3ч, 3с), (2к, 3ч, 3с).
Задача №4
Имеются упаковки, содержащие по 5 и 8 одинаковых книг. Какое число книг
можно выдать целым числом упаковок?
Решение
Рассмотрим различные варианты выбора упаковок и соответствующее им
количество книг.
Количество упаковок
5
1 0 2
1
0
3
2
1
0
4
3
2
1
0
5
4
3
2
1
0
6
5
8
0 1 0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
0
1
Кол- 5 8 10 13 16 15 18 21 24 20 23 26 29 32 25 28 31 34 37 40 30 33
во
книг
Проанализировав последнюю строку таблицы, можно сделать вывод, что нельзя
выдать целым числом упаковок следующие количества книг:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 17, 19, 22, 27.
Если продолжить рассмотрение вариантов, то можно убедиться, что все
количества книг, большие 27, появляются на каком-то шаге. Это даёт основание
высказать гипотезу о том, что любое число, большее 27, можно представить в виде 5х
+ 8у, где х и у – целые неотрицательные числа. Справедливость этой гипотезы
следует из того, что пять последовательных чисел 28, 29, 30, 31, 32 можно
представить в указанном виде (это видно из таблицы). Добавляя к ним числа вида
5k, k = 1, 2, …, мы можем получить любое натуральное число, большее 32.
Следовательно, любое число, большее 32, можно представить в виде 5х + 8у.
10
Электронная физико-техническая школа