Решения 4-5 класса

Ошибка! Источник ссылки не найден.
1
Электронная физико-техническая школа
2
1 Введение
Конкурс “Золотой ключик” – это заочный конкурс по математике для
школьников, который проводится совместно с Московским физико-техническим
институтом.
Ученикам 4-9 классов предлагаются нестандартные интересные задачи по
математике, которые они могут решить дома, оформить свои решения и отправить
через интернет.
Задания конкурса состоят из двух частей. Решение заданий первой части
сводится к выбору правильного ответа из числа предложенных. Решение задачи
второй части нужно оформить со всеми необходимыми пояснениями и
обоснованиями. Подводя итоги, жюри будет учитывать обоснованность
рассуждений, полноту решения и его оригинальность.
Адрес конкурса в России: http://eftsh.ru/maths/goldkey
О школе
Наша электронная дистанционная школа объединяет в себе:
♦
многолетний педагогический опыт, прекрасный состав методистов и
рецензентов;
♦
высокотехнологичную систему гибридного документооборота;
♦
модульную систему, постоянно развивающуюся по требованию наших
пользователей;
♦
уникальные методы видеообразования, интегрированные в обучающий
процесс;
♦
работу с широкой аудиторией, повышение школьных оценок и уровня
знаний, доступность информации на слабом уровне подготовки и
интересный материал для мотивированных подготовленных школьников;
♦
Опыт с большой буквы. Мы не первый год готовим абитуриентов для
поступления. Опыт методистов и авторов исчисляется десятками лет. Наши
технологии регулярно представляются на мировых выставках. Мы
собираем лучшее из имеющегося на рынке.
Сайт: eftsh.ru
e-mail: info@eftsh.ru
Решебник для 4-5 класса.
3
Решебник для 4-5 класса.
2 Первая часть заданий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Б
В
В
А
А
Г
Г
Б
В
Г
А
Б
Г
Г
В
Решение 1 части.
Задача №1
Наполненный доверху водой сосуд весит 5 кг, а наполненный наполовину - 3 кг
250 г. Сколько воды вмещает сосуд?
Решение
Половина содержимого воды в сосуде весит 5 кг – 3 кг 250 г = 1 кг 750 г, поэтому
сосуд вмещает 3 кг 500 г воды.
Ответ. Б. 3 кг 500 г.
Задача №2
Дима сложил квадратный листок бумаги пополам, потом еще раз и еще раз.В
центре того, что получилось, он проделал дырку, а потом снова развернул лист.
Сколько дырок он увидел?
Решение
Каждое складывание увеличивает число листов бумаги в два раза. Дима
складывал бумагу три раза и получил 2 · 2 · 2 = 8 листов бумаги. Дырки получатся
на каждом листе. Итого 8 дырок.
Ответ. В. 8.
Задача №3
У Гарри Поттера есть волшебные очки, в которых он видит все чёрное - белым, а
все белое – чёрным. Гарри посмотрел через эти очки на прямоугольник,
изображенный справа. Что он увидел?
Решение
Выберем у верхнего прямоугольника верхний левый квадрат. Он белый.
Следовательно он виден в очках чёрным. Имеем двух кандидатов: В и Г. Случай Г
отпадает, так как у него только 3 чёрных квадрата. Остается случай В. Он
действительно соответствует условию.
Ответ. В.
Задача №4
4
Электронная физико-техническая школа
На прямой отметили несколько точек. Затем отметили середины отрезков,
соединяющих соседние точки. Всего отмеченными оказались 137 точек. Сколько
точек отметили вначале?
Решение
Пусть на прямой отметили х точек. Тогда отрезков, соединяющих соседние
точки, х – 1, на них отметили х – 1 точек. Всего отмеченных точек 2х – 1. Имеем
уравнение: 2х – 1 = 137. Отсюда х = 69.
Ответ. А. 69.
Задача №5
Буквами от А до И обозначены цифры от 1 до 9: каждая буква обозначает одну
цифру и каждая цифра обозначена одной буквой. Две буквы, стоящие рядом
обозначают соответствующее двузначное число. Г + Д = Б; Б×З = ЖВ; Б = В×А;
Б×В = ЕИ; Д > Г; Б < З. Чему равно З + И?
Решение
Учитывая, что произведение В×А – однозначное число, Б×З – двузначное число,
цифры которого отличны от Б, Б×В – двузначное число, Б < З, перебором приходим
к выводу, что Б = 8, З = 9, Ж = 7, В = 2, А = 4, Е = 1, И = 6. Тогда легко проверить, что Г
= 3, Д = 5, З + И = 9 + 6 = 15.
Ответ. А. 15.
Задача №6
От кубика, склеенного из бумаги (см. рисунок справа), отрезали уголок. Этот
кубик разрезали по некоторым ребрам, развернули и получили одну из
фигурок A - Г. Какую?
Ответ. Г.
Задача №7
На каждой кочке в маленьком болотце сидят не меньше, чем по 3 лягушки, а
всего лягушек – 145 .Тогда число кочек в этом болотце не может равняться …
Решение
Число кочек меньше частного от деления 145 на 3, то есть оно не превосходит 48.
Единственный из ответов не удовлетворяет этому условию – это 55.
Ответ. Г. 55.
Задача №8
Вы стоите против дома, номер которого 53 (нечётная сторона улицы). Мимо
скольких домов по этой стороне вы должны пройти, чтобы дойти до дома, номер
которого в три раза больший, если на улице нет домов с одинаковыми номерами?
Решение
Решебник для 4-5 класса.
5
Между домами № 53 и № 159 находится 52 дома. Вы стоите против дома № 53.
Следовательно, идя к дому № 159, вы пройдёте мимо него. Итак, придётся пройти
мимо 53 домов.
Ответ. Б. 53.
Задача №9
Товарный поезд имеет длину 1 км и движется со скоростью 50 км/ч. За какое
время он пройдёт тоннель длиной 1 км?
Решение
Поезду предстоит пройти путь, равный сумме длин тоннеля и поезда, то есть 2
км. Он движется со скоростью 50 км/ч. Число 2 в 25 раз меньше 50. Поэтому на весь
путь ему понадобится время, в 25 раз меньшее часа, то есть 60 мин.:25 или 3600 с : 25
= 144 с или 2 мин. 24 с.
Ответ. В. 2 мин. 24 с.
Задача №10
Автобусу нужно 30 минут, чтобы добраться из пункта А в пункт Б. Автобусы из
пункта А отправляются каждые две минуты. Одновременно с одним из автобусов из
пункта А в пункт Б отправился автомобиль. Автомобилю требуется 7,5 минут, чтобы
добраться до пункта Б. Сколько автобусов обгонит на своем пути автомобиль?
Решение
Промежутков между отправлениями автобусов от А до Б – 15, а автобусов – 16
(один – стартует, другой – финиширует ), а значит в пути всегда 15 автобусов. За 7,5
мин., которое автомобиль находится в пути, финиширует 3 автобуса, 4-ый не
успеет. Значит 15 – 3 = 12.
Ответ. Г. 12.
Задача №11
Четверо друзей играли в футбол. Вот что они говорят:
Тарас: «Гол забил либо я, либо Саша».
Саша: «Гол забил не я и не Дима».
Дима: «Один из них сказал неправду».
Даниил: «Ты ошибаешься, Дима».
Кто же забил гол, если только трое из них сказали правду?
Решение
Если Тарас или Саша сказали неправду, то правду сказал Дима. И тогда, по
крайней мере, два мальчика сказали неправду, так как высказывание Даниила тоже
ложно в этом случае. А если Тарас и Саша сказали правду, то соврал Дима, а Даниил
сказал правду. В этом случае гол забил Тарас. Это следует из высказываний его и
Саши.
Ответ. А. Тарас.
Задача №12
Четверо работников должны были выполнить определённую работу за
определённый срок. Каждый из них работал с одинаковой скоростью, однако после
первого дня работы двое уволились. Двое оставшихся могут закончить работу на два
6
Электронная физико-техническая школа
дня позже запланированного срока. Сколько дней первоначально отводилось для
выполнения всего объёма работы?
Решение
За два дня сверхплановой работы двое оставшихся работников выполнили
однодневную работу четырёх. Если предположить, что первоначально на
выполнение всего объёма работы отводилось два дня, то она фактически будет
выполнена за три дня, то есть понадобится 3 – 2 = 1 сверхплановый день.
Противоречие. Если предположить, что первоначально на выполнение всего объёма
работы отводилось три дня, то она фактически будет выполнена за пять дней, что
согласуется с тем, что понадобилось 2 сверхплановых дня. Если предположить, что
первоначально на выполнение всего объёма работы отводилось четыре дня, то она
фактически будет выполнена за семь дней, то есть понадобится 7 – 4 = 3
сверхплановых дня. Противоречие. Аналогично другие предположения приводят к
противоречию. Итак, первоначально отводилось на выполнение всей работы 3 дня.
Ответ. Б. 3.
Задача №13
14 ребят отправились в лодочный поход. У четверых из них вместе с каждым из
них в походе участвовало трое братьев, у каждого из шестерых ребят было по 2
брата – также участников похода. У двух человек вместе с ними в поход отправилось
по одному брату. И только у двоих ребят – участников похода не было ни одного
брата в этом походе. Сколько всего матерей дожидалось возвращения своих детей из
похода?
Решение
Так как у каждого из четырёх детей 3 брата, то они образуют одну семью с 4-мя
мальчиками. Остаётся 14 – 4 = 10 детей. Так как у шестерых из них было по два
брата, то это возможно с 6 мальчиками из двух семей, в каждой по 3 мальчика.
Остаётся 10 – 6 = 4 ребёнка. Два ребёнка, имеющих по одному брату, образуют одну
семью. Остаётся ещё 2 ребёнка без братьев, они из двух семей. Всего семей, а значит
и мам, 1 + 2 + 1 + 2 = 6.
Ответ. Г. 6.
Задача №14
На двух чашах весов стояли 24 гири: на левой чаше только пятикилограммовые,
на правой – только трёхкилограммовые. Весы находятся в равновесии. На какой
чаше больше гирь и на сколько?
Решение
Число гирь на правой чаше кратна 5, то есть оно может равняться 5 или 10 или 15
или 20. Но тогда на левой чаше соответственно или 19, или 14, или 9, или 5 гирь.
Учитывая, что число гирь на левой чаше должно делиться на 3, получим, что на
правой чаше 15 гирь, а на левой – 9.
Ответ. Г. На правой, на 6.
Задача №15
Решебник для 4-5 класса.
7
В урне лежит 30 шаров, белых и красных. Известно, что среди любых 12 шаров
имеется хотя бы один белый, а среди любых 20 – хотя бы один красный. На сколько
белых шаров больше, чем красных?
Решение
Белых шаров не может быть меньше 19, ибо, например, если их 18, то красных
шаров 12 и найдётся, следовательно, 12 шаров, среди которых не будет белого. Но
белых шаров не может быть и больше 19, ибо в противном случае найдётся 20
шаров, среди которых не будет красного. Итак, белых шаров – 19, а красных – 11.
Электронная физико-техническая школа
8
3 Вторая часть заданий
Задача №1
Разделите прямыми линиями этот треугольник так, чтобы в каждой фигуре
сумма чисел равнялась 12.
Решение
Два способа показано на рисунке.
Ответ.
Задача №2
Когда патрульная машина группы захвата получила приказ о преследовании
преступника, расстояние между нею и машиной преступника было 3 км. Машина
преступника уходит от машины группы захвата со скоростью 75 км/ч, а машина
группы преследует её со скоростью 80 км/ч. Какое расстояние будет между
машинами через 6 мин.?
Решение
Патрульная машина каждый час может сокращать расстояние между собой и
машиной преступников на 80 – 75 = 5 (км). 6 мин – это десятая часть часа, поэтому за
6 мин она сократит расстояние на 500 м. Расстояние между машинами через 6 мин
составит 2 км 500 м.
Ответ: 2 км 500 м.
Задача №3
Когда в Нью-Йорке 5 часов утра, в Киеве – полдень. Когда в Киеве 5 часов утра, в
Токио – полдень. Сколько времени в Нью-Йорке, когда в Токио 5 часов утра?
Решение
Разница во времени в Киеве и Нью-Йорке составляет 12 – 5 = 7 часов, такая же
разница в Токио и в Киеве. Поэтому разница во времени в Токио и Нью-Йорке
составляет 14 часов. Когда в Токио 5 часов утра, в Нью-Йорке 15 часов, то есть 3 часа
предыдущего дня.
Ответ: 3 часа предыдущего дня.
Задача №4
В клетках таблицы, содержащей 4 строки и 7 столбцов, нужно расставить
натуральные числа так, чтобы их сумма в каждой строке равнялась 28, а в каждом
Решебник для 4-5 класса.
9
столбце – 15. Можно ли осуществить требуемое? Если «да», то покажите, как; если
«нет», то объясните, почему.
Решение
Сумма чисел во всех строках должна равняться сумме чисел во всех столбцах. Но
112 = 28⋅4 ≠ 15⋅7 = 105.
Задача №5
Богдан рвет газету на 8 частей, одну из получившихся частей – еще на 8, и так
далее. Сможет ли он разорвать газету на 2012 частей?
Решение
Каждое разрывание газеты или её части на 8 частей увеличивает число частей
газеты на 7. Поэтому общее число обрывков должно при делении на 7 давать в
остатке 1. Число 2012 этому условию не удовлетворяет.
Ответ: нет
Задача №6
Четыре друга участвовали в олимпиаде. Витя решил больше всех задач – восемь,
а Петя меньше всех – пять задач. Каждая задача олимпиады была решена ровно
тремя из друзей. Сколько задач было на олимпиаде?
Решение
Два друга Вити и Пети могли решить или 7 и 7 задач, или 7 и 6, или 6 и 6. Но
общее число задач, решённых четырьмя друзьями делится на 3. Этому условию
удовлетворяет из приведенных вариантов только один: 8 + 7 + 7 + 5 = 27.
Следовательно, на олимпиаде было 27:3 = 9 задач.
Ответ: 9 задач
Задача №7
В школе учится 390 учеников. а) Докажите, что найдутся 2 ученика, родившиеся
в один и тот же день. б) Обязательно ли найдутся 3 таких ученика?
Решение
а) Все учащиеся школы не могли родиться в разные дни, так как дней в году 365
или 366, а учащихся – 390.
б) Трёх учащихся, родившихся в один день может не оказаться. Например, все
они могли родиться по 2 в определённые 195 дней.
Задача №8
В трех карманах у Карлсона лежат три монетки – одна золотая, другая
серебряная, а третья — бронзовая. Монета, которая лежит в самом большом кармане
не золотая, серебряная монетка находится не в среднем кармане. А в самом
маленьком кармане лежит не золотая и не серебряная монета. Какая из них где
лежит?
Решение
Сразу из условия вытекает, что в самом маленьком кармане находится бронзовая
монета. Тогда в самом большом – серебряная, а в среднем – золотая монета.
Электронная физико-техническая школа
10
Задача №9
В бутылке, стакане, кувшине и банке находится молоко, лимонад, квас и вода.
Известно, что вода и молоко не в бутылке, а сосуд с лимонадом находится между
кувшином и сосудом с квасом, в банке - не лимонад и не вода. Стакан находится
около банки и сосуда с молоком. Как распределены эти жидкости по сосудам?
Решение
Для решения задачи удобно анализировать условие с помощью следующей
таблицы.
Вода Молоко Лимонад Квас
Бутылка -
-
Стакан
-
Кувшин
-
-
Банка
Так как вода и молоко не в бутылке, то ставим прочерки в соответствующих
строке и столбцах. Так как сосуд с лимонадом находится между кувшином и
сосудом с квасом, лимонад и квас не могут быть в кувшине. Отмечаем это в таблице
(в третьей строке и двух последних столбцах ставим прочерки). Так как в банке - не
лимонад и не вода, то прочерки ставим в 4 строке, в 1 и 3 столбцах. Так как стакан
находится около банки и сосуда с молоком, то молоко – не в стакане и не в банке
(отмечаем это в таблице).
Вода Молоко Лимонад Квас
Бутылка -
-
+
-
Стакан
+
-
-
-
Кувшин -
+
-
-
Банка
+
Тогда получаем, что молоко в кувшине. Поэтому в кувшине не может быть вода.
Вода может быть только в стакане. В стакане не могут быть лимонад и квас. Лимонад
поэтому в бутылке, а квас – в банке.
Ответ: Лимонад в бутылке, а квас в банке, молоко в кувшине, вода в стакане.
Задача №10
Когда ваши родители были детьми, молоко продавали в литровых и поллитровых стеклянных бутылках, пустые бутылки из-под молока можно было сдавать
в магазин по цене 20 коп. и 15 коп. соответственно. Петя пошёл в магазин без денег,
взяв с собой пустые бутылки – 6 литровых и 6 пол-литровых. В магазине было только
разливное молоко по 22 коп. за литр. Петя решил сдать часть бутылок, а купленное
на полученные деньги молоко налить в оставшиеся бутылки. Какое наибольшее
количество молока он сможет принести домой?
Решение
Петя мог сдать 6 пол-литровых бутылок, получить 90 коп. Если он на них купит
молоко (4 л), то у него ещё останется пустая посуда. Поэтому он может сдать ещё
Решебник для 4-5 класса.
11
одну литровую бутылку за 20 коп, у него будет 1 руб. 20 коп., за которые он купит 5
л молока и понесёт его домой в 5 литровых бутылках.
12
Электронная физико-техническая школа