Двумерные случайные величины.

Часто бывает, что исходу случайного эксперимента можно сопоставить не одну, а несколько
случайных величин.
Пример. В урне 5 белых, 7 красных и 10 синих шаров. Из урны случайным образм вынимаем 7
шаров.
Пусть h- число белых ,m- число красных шаров в выборке.
Очевидно, что η может принимать целые значания от нуля до 5, а величины μ может принимать
значения от нуля до 7, и при этом
h C m % 7.
Двумерная случайная величина x = h, m соответствующая нашему опыту, однозначно
описывается вероятностями
5
7
10
$
$
i
j
7 Ki Kj
n
n!
P h = i, m = j =
,
=
. Докажите это!
k
22
k! n Kk !
7
1. Пусть (ξ,, h) – дискретные случайные величины. Для (x, h) можно ввести
Pxh x, y = P x = x, h = y
h
x
y1
y2
...
ym
x1
P1, 1
P1, 2
...
P1, m
x2
P2, 1
P2, 2
...
P2, m
...
...
...
...
...
xn
Pn, 1
Pn, 2
...
Pn, m
где
Pi, j = P x = xi, h = yj
>P x = x , h = y
i
i, j
j
=1
Это двумерное распределение. Зная его можно найти одномерное распределение каждой из
величин x и h, то есть P x = xi и P h = yj
m
P x = xi =
>P
j=1
ij
n
P h = yj =
>P
i= 1
ij
Пример. Двумерная случайная величина(ξ,, h) задана таблицей:
y
x
0
1
2
K1
0.1
0.2
0
0
0.3
0.1
0.1
1
0.1
0
0.1
Из двумерного распреденения находим одномерные:
x
P x = xi
h
P h = yj
K1
0.1 C0.2 C0
= 0.3
0
0.1 C0.3 C0.1
= 0.5
0
0.3 C0.1 C0.1
= 0.5
1
0.2 C0.1 C0
= 0.3
1
0.1 C0 C0.1
= 0.2
2
0 C0.1 C0.1
= 0.2
Случайные величины x и h называются независимыми, если
P x = xi, h = yj = P x = xi $P h = yj